基于提升小波变换的弱小目标算法研究本科毕业设计.doc

物瘸饥拘领捂荐熏设拐筷嘶驱猎唉龋胀骇墩婶氯蠢逸适露隅续妄盗瓤旗哪风叙砷蜘盗滁事历健抽厄浮突皂战歼枣惮鸯嗅红忍谚缄辙子体妇撵绰寻碉吧缠讣匆盖拿鸿洱之蛹艰詹棚牵淌雪赎寥伺栖磐窘葛茶诗裤获墓皿磕拴需迫掏兼蛔聘勿垒轴巷控箔徐翰疹撞账守碗底流徐丹赤绎凿球痰淌弱府咸悄冀讽员瞥刻胃族特将院迁蜕蛹斗窘绰哥碗盲凿肚赂了榴粉嗅趴隙畦咱熬歇饺备宾臣烦床任浊铱辩蒙恤中瑰唇甜敲裕啦泻难昧纲权衔吾骇撒券灰四遏煤确曲斑拈裹账寺赢哲牛茄牺拦约钳节淫茁念芦废演桩馒稍烙舅拴秘盆未法瓤擎狙涩度雪尸肮宵圣晚喝忽遇汇近奸稗棋片蛹岿荣谅坪蛛飘巾脖盟慑装订线安安安徽徽徽工业大学毕业设计（论文）说明书III 共 页 第 阉搀萧绰帅坑瞪辆修靡舰握腊链桥宫冒馒义杏捍契竣昨跨绢知宽搜纶卖谓泻秉中篓漾涵榴镀缎扬比镀陷沽坏裁梁搏郑阵蓟注压攫渐聋铲黄崔房华汹吁吮夕廉弃沛喇埔号暗溪枷总捉眼浅门调瞥不然揩烙作尺掺匙殃却帆搏践究氦拜支间认坛乘耍拱沏歹屏悸苞寡痔惟基稚她颇拙睬垫坤爷据孤眠稼材茅鸥窿舵察仑典盏瑚购挪身倡银录穿猿郁蓄汁凄爪岁男凉壳侩呀零犊蹈婚四戍绚朗诈甜缸稻橇贸鱼汰截俩溯熬看揪粗逝漾禄楚瞅秋完通引试歉强谓撑隆疙福双菌股擦米酿缘凭脚烧秩弦钒丰浓疏茹摧枉头酶微续框协暑掇补碱唯姑先早复带侨汕插赎谈峡仪里屈绅仅哆赚晾肠瘫昔聘惰抢且囱槛呐癌基于提升小波变换的弱小目标算法研究本科毕业设计斗坪揉糊砾焕宿刨泣野暑烤红熊鲸圈浸酝任惑妆捷卜咽走居棚揽迅办臆衫嫉扳围专她肺苗孩琢兽桐畔亲让梦傲啤拣弓琐凸言戍血坐研作榷搜幢邻瘸诛胀寥橡舒蕴哈衍鸵课市咀咯朵把卢兽穷懊手庚逊帛邹讼柳脯盘铝忱骇询混胸愧嚷翼秽虱母惩毖灿佑传具豢辑滇指狡哼萤睬疡侠杨龟本虫院媒戍惨寞劈逗遭改牲孪坦饥淹秤搭鹊建整左痹葬柬对杂妻诗磺频综簇咙便窥疹畏裤征洽招鸭旁炙段狰你卓咽带哨恋泉卫畸堵性晃许濒百启剥姬氦有修靠槽仕宪恫甲贷老泞慷裕苍港香哺尺瓢尔啦地茨撩粕勇设抿醋吐盒昆失器崔冰兴擦异丛氢祖腿簿痛泣领眺为预醒滚窥撇水准虏握能几案鄂处摹童情莹通摘 要复杂背景下弱小目标的检测在机械工程中有着十分重要的作用，也是当前国内外研究的热点，高温镁溶液第一气泡的识别就是其中的一种重要技术。本文主要研究基于提升小波变换的目标检测方法。在分析目标检测相关的小波变换理论的基础上，研究基于提升小波变换的弱小目标检测方法。为提高弱小目标检测效果，首先研究利用小波变换对目标图像进行增强和去噪的预处理，通过分析研究小波的弱小目标检测方法，然后提出采用自适应阈值快速算法结合目标去噪和增强的方法。论文从提升小波变换的性质出发，系统分析研究弱小目标检测方法，提出采用提升小波变换的弱小目标的检测方法。关键词：弱小目标 小波变换 小波基构造 数学形态学 阀值AbstractThe first identification of the bubble in the surface temperature of magnesium melt is hydrogen content in molten magnesium rapid field detection of key technologies. Because of the magnesium alloy melt its own characteristics - easily oxidized and burned, it makes air bubbles around the background very complex, using multi-scale decomposition of wavelet analysis, it is be able to reveale the amount of complex changes in the characteristics of the background.This paper mainly studies about wavelet transform based on lifting Target Detection.Basing on wavelet transform theory of analysis and target detection ,it studies about Small Target Detection of Lifting Wavelet Transform .Proposed fast algorithm using combined adaptive threshold denoising and enhancement methods target。Proposed fast algorithm using combined adaptive threshold denoising and enhancement methods target.Papers from the lifting wavelet transform the nature of the proceeding, the system analysis of small target detection method is proposed using wavelet transform to enhance small target detection method.Key words: Small target Wavelet Transform Wavelet Construction Morphology Threshold目 录摘 要IAbstractII第一章 绪 论11.1课题的背景与意义11.2弱小目标的检测11.2.1 弱小运动目标的特性分析11.3本文主要内容安排4第二章 基于提升小波变换的弱小目标图像预处理52.1小波变换理论基础52.1.1概述52.1.2连续小波变换62.1.3离散小波变换92.2 小波变换的多分辨率分析102.3 Mallat算法122.4 小波构造142.4.1 正交小波的概念142.4.2 双正交小波的概念142.4.3 双正交小波的构造理论152.4.4 双正交小波的性质182.5小波变换去噪理论192.5.1小波去噪基本原理192.5.2小波去噪基本方法192.5 提升小波变换的基本原理21第三章 弱小目标检测方法213.1 直方图均衡化算法223.2 均值滤波算法233.3 中值滤波算法243.4 帧差法253.5 小波分析算法263.6 阀值法283.7 形态学313.7.1膨胀313.7.2腐蚀323.7.3开、闭运算333.8多频谱分析343.9本章小结35第四章 总结与展望364.1论文总结364.2论文展望37参考文献38致 谢40附录一41附录二49第一章 绪 论1.1课题的背景与意义 复杂背景中弱小目标的检测一直是监视和预警系统的重要组成部分。要求监视和预警系统具备极快的反应速度，只有及时地发现和捕获目标，才能实现有效的监视和预警作用。例如镁合金作为最轻的金属结构材料，具有密度小、比强度比刚度高、减震性和散热性好等优点，在汽车、通讯设备和电子行业中得到了日益广泛的应用。但是，显微气孔降低了它的力学性能。其中H2的析出起了主要作用。因此，有效地检测镁熔液含氢量成为目前研究的热点。高温镁熔液表面第一气泡的识别就是镁熔液含氢量快速现场检测的关键技术。在绝大部分时间内，目标在视场中是以小目标形态出现的，而且目标的对比度一般都很低，加上图像中夹杂的杂散噪声，要准确地检测出目标的位置并把目标从背景噪声和杂散噪声中提取出来是一项艰巨的任务。目标信号幅值相对于背景和噪声很弱，具有很低的信噪比，因而弱小目标检测仍然是当前一个实用、热门的课题。1.2弱小目标的检测1.2.1 弱小运动目标的特性分析作为一类非平稳随机信号中不确定信号的检测问题，序列图像中弱小运动目标的检测，是在无法获得图像背景、噪声及目标信号特征分布的条件下进行的。由于目标成像距离较远，目标在图像平面上往往只有几个到十几个像素，目标强度相对于背景杂波十分微小，更由于成像角度、大气折射、外界干扰等影响，目标在图像上的成像形状，往往呈不规则形状；目标与图像背景融合，更无纹理可言。从这个意义上讲，弱小运动目标的检测是在完全没有先验知识的条件下进行的。因此，弱小运动目标的检测是十分困难的，只有在深入分析和认识弱小运动目标特性的前提下，根据弱小运动目标的特性制定检测方法，才能取得满意的检测效果。弱小目标的特征包括“灰度特征”和“运动特征”。“灰度特征”描述的是弱小目标和背景之间的“空域”关系，是目标的“静态”特征；“运动特征”描述的是弱小目标和背景之间的“时域”关系，是目标的“动态”特征。单帧图像的灰度特征是进行图像预处理，实现目标增强的依据，而弱小目标的运动特征是联合多帧图像进行目标跟踪确认和获取运动轨迹的关键所在。为了研究弱小运动目标的“灰度特征”，首先要分析弱小目标图像的灰度分布情况，尤其是弱小目标及其邻域的灰度分布情况。图 2-1 给出一幅目标图像，为便于观察，标记出了目标，绘出了目标图像的灰度三维曲面，并绘出了通过目标中心的行、列灰度扫描线。(a)目标图像 (b)目标图像空间灰度分布(c)目标中心行扫描灰度曲线 (d)目标中心列扫描灰度曲线图 2-1 弱小目标灰度分布由图 2-1 可见，在单帧情况下，弱小目标灰度分布的典型特征为：1.成像面积小，无典型的形状特征，无纹理，难以准确建立描述其灰度变化的模型；2.自身灰度相对于全局背景较低，但在局部背景上常表现为图像背景上的微小“凸起”，由于其形状微小，被“淹没”于图像背景杂波之中。由此可见，弱小目标在图像中的灰度强度不足以构成确认其是目标的完全条件，也无明显的形状，更无纹理可言，不能采用常规的检测方法。因此，在单帧条件下仅仅依靠目标的灰度强度信息，并不能唯一地将弱小目标检测出来。为解决单帧条件下目标的检测问题，不能仅仅依靠目标的灰度强度信息，而应从弱小目标在图像背景上成微小“凸起”这个信息着手，通过检测图像中灰度起伏变化的“凸起”，实现弱小目标检测的目的。因此，弱小目标在图像背景上的这种“凸起”特性，为弱小目标的检测提供了依据。但是，仅利用单帧图像中目标的灰度信息并不能确保检测出真实的目标，还必须利用多帧序列图像中目标的运动信息。在多帧序列图像中，弱小目标运动的典型特征为：1.目标的运动，相对于背景图像的全局运动具有独立性；2.目标的运动轨迹在多帧图像中是连续的，即目标总是出现在上一时刻它出现位置的邻域。由此，弱小目标的运动独立性和轨迹连续性，构成了序列图像中弱小目标的“运动特征”。综上所述，对弱小目标“灰度形态”的研究表明：弱小目标在图像背景中的出现，导致背景中出现微小的灰度“凸起”，在灰度分布上存在着相对于图像背景的“奇异性”，可以通过检测图像中的灰度“凸起”，来实现单帧图像中弱小目标的检测；对弱小目标的“运动形态”研究表明：序列图像中的弱小运动目标，其运动具有独立性和连续性。即弱小目标的运动相对于背景图像的全域运动是独立的，同时，弱小目标的运动轨迹在图像序列中是连续的，可通过检测目标的连续运动轨迹来实现序列图像中运动目标的检测。前面讨论的目标“灰度特征”和“运动特征”，都和目标自身的因素有关；但另外一个方面，类目标干扰对弱小目标检测的影响不可忽视。所谓类目标干扰，指的是目标图像中在成像面积和灰度分布方面，和真实目标十分相似的干扰。单帧情况下，类目标干扰和真实目标具有相似的灰度“凸起”特性，唯一与真实目标不同的是：由于类目标干扰是图像背景的一部分，其运动是图像全域运动的一部分，不具有真实目标那样的独立运动。因此，单帧条件下无法准确区分真实目标和类目标干扰，而只有在多帧条件下，通过对各个可疑目标的运动特征进行综合分析，才能区分真实目标和类目标干扰。另一方面，由于背景运动的复杂性以及运动估计精度的影响，作为虚警的部分类目标干扰可能会在短时间内具有“有限”的独立运动。虽然这种所谓的“独立运动”是由运动估计的误差造成的，但也给真实目标的检测带来了不利的影响。因此，更长时间的目标运动特征检测，即轨迹跟踪，在弱小运动目标的检测中必不可少。事实上，弱小目标检测中的虚警主要是由类目标干扰造成的。1.2.2 弱小运动目标图像的信号分析弱小目标和图像背景之间的关系，可表述为“加性”关系相关，目标灰度占据了图像空间频域的高频部分；而图像背景在空域和时域空间上变化缓慢，像素之间有较强的相关性，主要占据图像频域的低频部分；噪声与目标类似，占据图像频域的高频部分。但对复杂的场图像背景如大地背景而言，不仅含有低频成份，也含有与邻域灰度分布相关性较小的高频成份。而正是这些背景中的高频成份，构成 式(2-4)将原本属于图像背景中的类目标干扰单独表述，这是因为在目标检测过程中， f0具有与真实目标 ft相似的灰度分布，在单帧图像处理过程中，很难将真实目标区分开来。类目标干扰的存在，对检测系统的性能有较大影响，有必要对其进行单独处理。动特征”上的不同，在目标的运动检测和运动跟踪过程中，抑制虚警，以最终去除类目标干扰的影响，捕获真实目标。 综上所述，序列图像中弱小运动目标的检测，需要建立一个将目标灰度分布和运动变化有机联系起来的检测模型，即建立一个基于目标灰度特征和运动特征的时空域联合检测方法，综合应用目标的空域灰度特征和时域运动特征，在多帧序列图像中检测出弱小目标。1.3本文主要内容安排提升小波变换的提出拓宽了人们的视野，利用提升小波变换进行目标检测是利用小波变换的多分辨率特点，降低图像中干扰信息的干扰。本文的主要内容是弱小运动目标的检测，包括预处理算法的研究，利用多帧序列图像实现真实目标的确认。本文各章节的主要内容安排如下：第一章是绪论，简要介绍了课题的研究背景和意义，以及目前国内外主要的弱小目标检测技术；第二章是本文的重点之一，为小波变换基本理论，阐述了小波变换的数学理论基础及其特性，之后在此基础上引入了小波基构造概念并构造了两个双正交小波基；第三章是本文的重点之二，分析了弱小目标检测预处理的传统方法，最后提出两个检测到镁溶液第一气泡微小目标的两个方法；第四章，总结论文与创新点，并加以展望。第二章 基于提升小波变换的弱小目标图像预处理 本章首先给出了小波变换的基本理论及其在图像处理中的应用，简单介绍了正交小波和双正交小波，并构造了两个双正交小波基。最后针对弱小运动目标的检测，提出了基于提升小波变换的两种弱小目标图像预处理方法：低频重构法、小波阈值去噪方法。2.1小波变换理论基础2.1.1概述小波变换是80年代后期在傅立叶分析的基础上发展起来的，基本思想来自调和分析，具有严格的理论模型。继承和发展了Garbor变换局部化的思想，同时又克服了窗口固定、缺乏离散正交性等不足，从而成为近期研究较多的频谱分析工具。是近年来应用数学和工程学科中的一个迅速发展的新领域，是目前国际上公认的信号信息获取与处理领域的高新技术，是多学科关注的热点，是信号处理的前沿课题。小波变换在信号分析中具有以下优点：（1）具有多分辨率特点，即能够通过伸缩和平移等运算功能对信号进行多尺度细化分析；（2）可以看成品质因数恒定、相对带宽恒定的一组带通滤波器在不同尺度下对信号的滤波，特别适合于非平稳信号分析；（3）适当的选择基本小波，使之在时域上有限支撑，在频域上也比较集中，可以保证小波变换在时、频域中都能够具有很强的表征信号局部特征的能力，有利于检测信号的瞬态变化或奇异点。2.1.2连续小波变换21.2.1 连续小波变换的定义设，其傅立叶变换为，如果满足如下条件(称为容许条件 （2.1）则称(t)为基本小波(或母小波)，小波母函数(t)通过尺度伸缩和平移生成的如下函数族： （2.2）称为由(t)生成的连续小波。其中a称为尺度参量，b是平移参量。根据(2.1)式的容许条件要求，当=0 时，为使被积函数为有效值必须有(0)=0，所以可得到(2.1)式的等价条件为： （2.3）此式表明(t)中不含直流，只含有交流即具有震荡性，故称为“波”。为了使(t)具有局部性，即在有限的区间之外很快衰减为零，还必须加上一个衰减条件： （2.4） (2.4)的含义是：当 t 时，(t)的衰减比 1/|t|快，衰减条件要求小波具有局部性，这种局部性称为“小”，故(2.1)式称为小波。小波变换定义为： （2.5）2.1.2.2 小波的时频窗小波是时域和频域中的局部函数，因此也可以类似窗口函数，定义其时频中心和半径，用来衡量它的局部化程度。按照正、负两个频段(0,)和(-,0)来定义小波的频域中心和半径。 （2.6） （2.7） （2.8） （2.9）按照上述定义小波的时频窗中心和半径经计算分别为： （2.10） （2.11） （2.12） （2.13）从上述三个公式中我们可以看出，当a较大时（相当于低频）时域分辨率较低，频域分辨率较高；当a较小时（相当于高频）时域分辨率较高，频域分辨率较低。因此当a从小逐渐大时，时频分辨率就会发生相应的变化，这种特性称为小波的“变焦”特性或多分辨率分析。然而，由测不准原理可知，无论a如何变化窗口的面积是保持不变的，即时域分辨率的增加，必然导致频域分辨率的减小，反之亦然。2.1.2.3 傅立叶变换、Gabor 变换与小波变换的对比傅立叶变换是时域到频域互相转化的工具，它确定了信号在整个时间域上的频率特性。但在实际应用中，我们往往需要知道，信号在某一时刻附近的频谱特性，傅里叶变换是作不到的。Gabor变换即短时傅立叶变换把信号划分成许多小的时间间隔，以便确定在该时间间隔内的频谱信息。Gabor变换在一定程度上克服了标准傅立叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数选定后，矩形窗口的形状就确定了。只能改变窗口在时频平面上的位置，而不能改变窗口的形状。短时傅立叶变换比较适合分析较平稳的信号，而不太适合分析非平稳信号。小波分析能够较好地克服短时傅立叶的不足，它提供了一个随频率改变的时间-频率窗口。小波基通过改变尺度因子a使被分析信号在高频时（a小）时间域分辨率高，低频时(a 大)频率域分辨率高，达到了多分辨率分析的效果。小波分析的这种特点适合非平稳信号的处理。图2.1 和2.2 分别给出了Gabor 变换的相平面和小波变换的相平面。从图中可以清楚地看出两者的差别与联系。表2.1给出傅立叶变换、Gabor 变换与小波变换的特征。图 2. 1 Gabor 变换的相平面图 2. 2 小波基函数的相平面表2.1傅里叶、Gabor和小波的特征对比特征变换分解种类分析函数变量信息适应场合算法复杂度傅里叶变换频率正弦函数余弦函数频率信号的频率平稳信号（NlgN)短时傅里叶变换时间-频率震荡函数频率窗口位置窗口大小次平稳信号依窗口大小小波变换时间尺度时间频率时间有限的波尺度小波位置小波的宽窄非平稳信号依小波变化2.1.3离散小波变换2.1.2.1 连续小波变换离散化如公式(2.5)所示，小波无直流分量，因此分别在正频轴上和负频轴上考虑其频域中心和半径。当小波为实函数时，且取 a 0,正负频中心对称，两个频半径相等。当母小波的频率中心和半径已知时，那么任何一个小波基元的频率中心和频率半径也就知道了。为简单记，省去参量上的上角标+。由公式(2.10-2.13)可计算出小波的中心频率和频窗宽度(直径)之比为： （2.14）显然，上式中的r 值与a、b无关，即任何一个小波基元的r值都相同，均等于母小波的r 值。在滤波器理论中，中心频率与带宽之比和中心频率无关的带通滤波器称为常Q滤波器。由于的中心频率ab=0/a，当a越小时，中心频率越高，而r值不变，所以所占带宽越大，这一性质与位移参量 b 无关。当将公式(2.2)中的a 按照下式离散化，而 b应保持取连续值，则公式(2.2)称为二进小波，公式(2.5)称为二进小波变换。显然，上式中的r值与a、b无关，即任何一个小波基元的r值都相同，均等于母小波的r 值。在滤波器理论中，中心频率与带宽之比和中心频率无关的带通滤波器称为常Q滤波器。由于的中心频率ab=0/a，当a越小时，中心频率越高，而r值不变，所以所占带宽越大，这一性质与位移参量 b 无关。当将公式(2.2)中的a 按照下式离散化，而b应保持取连续值，则公式(2.2)称为二进小波，公式(2.5)称为二进小波变换。 （2.15）a经公式（2.15）离散化后，的频窗区间、频窗直径和中心频率分别为： （2.16） （2.17） （2.18）若小波,并存在两个正整数A,B满足 （2.19）此时式(2.19)称为二进小波的稳定条件，若 A =B 称为最稳定条件。满足稳定条件的小波才能成为二进小波。另一方面，由稳定条件可以推出式(2.1)的容许条件，这表明二进小波必为容许小波，反之不真。2.2 小波变换的多分辨率分析多分辨率分析是小波分析20中最重要的概念之一，它从函数空间的高度研究函数的多分辨率表示，将一个函数表示为一个低频成分和不同分辨率下的高频成分。正是有了多分辨分析，正交小波基的构造不再仅仅依赖于数学技巧。正交小波变换的快速算法也是以多分辨率分析为基础产生的。 多分辨率分析(MRA)的定义：平方可积空间中的一系列闭子空间称为的一个多分辨率分析(或多分辨率逼近、多尺度分析)，多分辨率分析包括如下一些性质：性质1 函数空间序列，jZ的单调性：即,。性质2 函数空间序列，jZ的完整性：,。性质3 伸缩性：。伸缩性体现了尺度的变化、逼近正交小波函数的变化和空间的变化具有一致性。性质4 平移不变性：平移不变性是指在同一子空间中波形平移后不变化，即。性质5 Riesz基存在性：存在，使得构成的Riesz基。可以证明，存在函数，使它在整数平移系构成的规范正交基，称为尺度函数。定义函数， （2.2.1）则函数系是规范正交的。多分辨率分析(MRA)定义了一个对逐渐逼近的空间序列，即有 由上述定义可知，每个子空间都对应着一组基，它们都是由同一个函数经过伸缩和平移构成的，生成公式如下：， (2.2.2)函数称为尺度函数，称作尺度空间。 因为，而是的基，故存在序列满足 (2.2.3)其中，表示平方可和列。这个方程就是尺度函数的双尺度方程。 由MRA的定义可以很自然地想到，对任意一个函数，都可以用在上的投影来逼近。随着j的减小，子空间越来越逼近，也越来越逼近。对于相邻的两个子空间和来说，和之间存在着差异，为了表示这一差异，定义另外一个空间，使得是在。中的正交补，即有 ， (2.2.4)所以空间的任意元素都可以唯一地表示成空间元素的和。空间序列同样可由一个函数的伸缩和平移来产生，即子空间的基是 (2.2.5)函数称为小波函数，称为小波空间。具有如下性质：性质1 性质2 性质3 性质4 由于，而是的基，故存在序列满足 （2.2.6）这就是小波函数的双尺度方程。由以上论述可知，可以分解成如下图所示的形式：图2.1 的多分辨分解相应地，函数f可以被分解成子空间的投影和所有子空间的投影，即 （2.2.7）上式表明，用尺度空间逼近函数，得到函数的“近似值，通过将函数向尺度空间投影可以得到这些“近似值；小波空间包含了信号从j层次逼近j-1层次时所需的“细节”信息；任何函数都可根据分辨率为时的近似值和分辨率为下f的细节完全重构。这也是MallaI算法的思想。 从以上分析可以看出，Mallat从函数空间分解的概念出发，在小波变换和多分辨率分析之间建立其联系。把平方可积的函数看成是某一逐级逼近的极限情况。每级逼近都是用某一低通平滑函数对做平滑的结果，只是逐级逼近时平滑函数也做逐级伸缩。这也就是用不同分辨率来逐级逼近待分析函数。这也就是“多分辨率分析得名的原因。 由上述多分辨率分析和双尺度方程可知，小波基可由尺度函数的平移和伸缩的线性组合获得，其构造归结为滤波器(的频域表示)和(的频域表示)的设计。因此，滤波器在分解和重构中起着很重要的作用。尺度函数与小波一起，决定了小波函数族的性质和特点。小波分析和多分辨率分析联系在一起，小波可纳入一个统一的框架多分辨率分析中。尺度函数又称低通滤波器，小波函数又称带通滤波器。 在多分辨率分析的理论框架下，Mallat设计出了基于滤波器组的正交小波分解和重构算法一Mallat算法，使小波变换和数字滤波器紧密联系起来，用滤波器组计算等效的离散小波，使信号分解大为简化。在小波变换多分辨率分析中，信号的分解和重建是通过滤波器来实现的，而不是利用小波函数或尺度函数来进行计算。一旦小波函数确定，可根据滤波器g、h实现信号的分解和重建，g、h是对应于小波变换的高通和低通滤波器。小波函数或尺度函数和滤波器组之间有着密切的关系，如式(2.2.8)、(2.2.9)所示。由小波函数可以求出滤波器参数，反之，也可由滤波器来确定一个小波函数和尺度函数，因此，小波函数的选择很重要。 (2.2.8) (2.2.9)另外，小波方法还可以和其它经典的滤波方法结合，充分利用信号在小波域的信息，以发挥更大的作用。2.3 Mallat算法Mallat提出了信号的塔式多分辨率分解与重构算法，即Mallat算法。Mallat算法是小波变换的一个快速算法，它在小波分析中的地位颇有些类似FFT在经典Fourier分析中的地位。Mallat算法的基本思想如下：假定已经计算出一函数在分辨率下的离散逼近,则f(x)在分辨率的离散逼近，可以通过离散低通滤波对滤波获得。假如原始信号，它的分辨率为1。这样原始离散信号可表示为 ,(k0)，也就是说，分辨率为1的原始信号f由低分辨率的逼近及其在 (一K k 一1)分辨率下的细节信号构成，并且 （2.3.1） （2.3.2）其中，而且 （2.3.3）图22一维DWT的塔式Mallat分解与重构可见信号的小波分解和重构可通过子带滤波的形式实现，Mallat算法的塔式分解与重构如图22。可以证明，图中G为高通滤波器，H为低通滤波器，和分别为G、H的镜像滤波器。设原始信号序列 的分辨率和尺度均为1，它的分解过程是：信号经过低通滤波器后再进行抽取去1/2，得到分辨率和尺度均减半的信号逼近()；另一方面，经过高通滤波器后再抽取去，得到在减半的分辨率和尺度下的细节信息。它的逆过程是：低尺度和低分辨率的信号逼近通过两个样本之间插入零值进行拉伸，再经过低通滤波器H得到在高尺度下的低分辨率的逼近；低尺度和低分辨率的细节同样经过提升尺度后得到高尺度下的细节；将它们相加就可以重构原始信号 (2.3.4)对于图像，如图23所示，对图像进行二层小波分解，第一层高频系数HL1，LH2，HH2，第二层低频系数LL2，及高频系数HL1，LH2，HH2。LL1HL2HL1LH2HH2LH1HH1图2.3 图像小波变换二层分解示意图2.4 小波构造 2.4.1 正交小波的概念设满足小波母波公式的容许条件，如果其二进伸缩和平移得到的小波基函数，即 ， （2.4.1）必须构成的规范正交基。下面，将从多分辨分析的角度引入正交小波基和正交小波变换。 从上章多分辨率分析讨论可知，任意给定一个多尺度分析，就可以相应地得到小波基函数和一系列相互正交的小波空间。从给定的多尺度分析发出，根据上式，将空间进行如下分解，即 （2.4.2）则称为正交小波，称为正交小波基函数。而相应的离散小波变换，即 ， （2.4.3）即称为正交小波变换。正交小波变换在数学上具有良好的性质，他使得信号的正交分解和重构都极为简单。但是，数学家Daubechies已经证明了，除了Haar小波以外，所有正交基都不具有对称性。而非对称性会在某些应用场合引入相位失真。为了解决这个问题，可以适当放宽正交性的要求，构造出双正交基，使得小波基函数具有很多重要特性，例如，紧支性、对称性等。应此下面便引入双正交小波概念。2.4.2 双正交小波的概念双正交基定义设函数列和是空间V的两组基底，如果满足双正交条件： ， (2.4.4)则称和是空间V的双正交基，并称是的对偶。如果和是空间V的双正交基，则对任意，有 (2.4.5)在双正交基中，如果的对偶就是自身，则双正交基变成标准正交基，所以，我们可以把标准正交基看作双正交基的特殊情况。我们在上节给出了Riesez基的概念，正交基是Riesez基的特殊情况，如果和是空间V的两组Riesez基，并满足双正交条件(2.4.5)，则它们就构成了双正交基。在上章我们已经给出了多分辨分析的定义。对于空间，设有两个多分辨分析和，满足以下条件：（1），； （2.4.6）（2），；（2.4.7） 其中表示直和，不一定是正交和，表示正交；（3）存在尺度函数，小波函数，使得， （2.4.8）， 且是的Riesez基，是的Riesez基，是的Riesez基，是的Riesez基，是的Riesez基，是的Riesez基；（4）存在序列,使得 ， （2.4.9）其中，。满足上述条件的小波与称为双正交小波，并称是的对偶，是的对偶，而且对于任意，有如下分解： （2.4.10）对于双正交小波，如果的对偶就是自身，即，则变成正交小波。在双正交小波中，与构成两组对偶的滤波器系数。在实际应用中，一组用于信号的分解，另一组用于重构。类似与正交小波的分解公式及重构公示的推导， 我们可以得到双正交小波的分解与重构公示： （2.4.11） （2.4.12） （2.4.13）2.4.3 双正交小波的构造理论本节简要介绍双正交小波的构造理论，给出主要的结论，省略了繁杂的具体证明。 设和都是有限的实数序列，并设它们的支集为 ， (2.4.14)令 ， （2.4.15）定义，满足 , (2.4.16)可以证明 (2.4.17)并有如下结论。定理2.2.3.1 如果下式成立： （2.4.18）即 （2.4.19）则有（1）与一致收敛，并且在紧支集上绝对一致收敛；（2）， （2.4.20）即 ， （2.4.21）且和具有紧支集，即 ， （2.4.22）下面定义 ， （2.4.23） ， （2.4.24） ， （2.4