高考数学复习之圆锥曲线题目量大含大量高考真题目.doc

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圆锥曲线讲义（1）
椭圆（1）
一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

椭圆
双曲线
抛物线
定义
1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹

2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）
与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
图形

方

程
标准方程
(>0)
(a>0,b>0)
y2=2px
参数方程

(t为参数)
范围
─a£x£a，─b£y£b
|x| ³ a，yÎR
x³0
中心
原点O（0，0）
原点O（0，0）

顶点
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
(a,0), (─a,0)
(0,0)
对称轴
x轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
x轴，y轴;
实轴长2a, 虚轴长2b.
x轴
焦点
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)

焦距
2c （c=）
2c （c=）

离心率

e=1
准线
x=
x=

渐近线

y=±x

焦半径

r=∣a±ex∣

通径

2p

1.椭圆的定义：
第一种定义:平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.
第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线.
2.椭圆的标准方程：
(1),焦点：F1(-c,0),F2(c,0),其中c=.
(2),焦点：F1(0,-c),F2(0,c),其中c=.
3.椭圆的参数方程：,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率).
4.椭圆的几何性质：以标准方程为例：
①范围：|x|≤a,|y|≤b;②对称性：对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0)；③顶点A(a,0),A′(-a,0),B(0,b),B′(0,-b)；长轴|AA′|=2a,短轴|BB′|=2b；④离心率：e=,0<e<1；⑤准线x=±；⑥焦半径：|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任意一点.
二、基本训练
1．设一动点到直线的距离与它到点A（1，0）的距离之比为，则动点的轨迹方程是 ．
2．曲线与曲线之间具有的等量关系是 ．
3．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，长、短轴都坐标上，且过点，则椭圆的方程是 ．
4．底面直径为的圆柱被与底面成的平面所截，截口是一个椭圆，这个椭圆的长轴长 ，短轴长 ，离心率 ．
5．已知椭圆的离心率为，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转后，所得新椭圆的一条准线方程是，则原来的椭圆方程是 ；新椭圆方程是 ．

三、例题分析
例1．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；

O

F2
F1
A2
A1
P
M

(Ⅱ)若直线l1：x＝m(|m|＞1)，P为l1上的动点，使∠F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)．

例2．设是两个定点，且，动点到点的距离是，线段的垂直平分线交于点，求动点的轨迹方程．

例3．已知椭圆，为椭圆上除长轴端点外的任一点，为椭圆的两个焦点，（1）若，，求证：离心率；（2）若，求证：的面积为．

例4．设椭圆的两个焦点是，且椭圆上存在点，使得直线与直线垂直．（1）求实数的取值范围；（2）设是相应于焦点的准线，直线与相交于点，若，求直线的方程．

例5．点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，。（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。

四、作业
1．若动点(x,y)在曲线(b>0)上变化，则x2+2y的最大值是 ．
2. 是椭圆上的一点，和是焦点，若∠F1PF2=30°，则△F1PF2的面积等于 ．
3．已知椭圆的左焦点为 ，为椭圆的两个顶点，若到的距离等于，则椭圆的离心率为 ．
4．从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程中的m和n,则能组成落在矩形区域B={(x,y)| |x|<11且|y|<9}内的椭圆个数为 ．
5．设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为 ．
6．椭圆与椭圆，关于直线对称，则椭圆的方程是____ ___．
7．到两定点的距离和等于的点的轨迹方程是 ．
8．已知椭圆的离心率，则的值等于 _________．
9．是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，是的中点，是椭圆的中心，求证：为定值．

10．已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值

11．已知椭圆，能否在此椭圆位于轴左侧的部分上找到一点，使它到左准线的距离为它到两焦点距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由．

椭圆（2）
一、知识点梳理
1．掌握椭圆的两种定义，会利用定义解题。
２．椭圆的标准方程有两种不同的形式，解题时要防止遗漏，要深刻理解椭圆中的几何量之间的关系，
３．掌握椭圆中的＂四线＂（两条对称轴，两条准线），＂六点＂（两个焦点，四个顶点），注意它们之间的位置关系及相互距离．
４．焦半径公式：设是椭圆上一点，则，，不要求记忆，但要掌握其推导过程．
５．求椭圆标准方程的基本步骤：①定型；②定位；③定量

二、基础训练
１．已知为椭圆的左右焦点，弦过，则的周长为　　　　　　　　　．
２．（2010全国）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线叫于点，且，则椭圆的离心率是　　　　　　．
３．天津５）设椭圆上一点到其左焦点的距离为３，到右焦点的距离为１，则到右准线的距离是　　　　　　　．
４．（江苏１２）设椭圆的焦距为，以点为圆心，为半径作圆．若过点所作圆的两条切线互相垂直，则该圆的离心率为　　　　　　　　　．
５．已知椭圆的右焦点为，右准线为，离心率过顶点作，垂足为，则直线的斜率等于　　　　　　　．
６．过椭圆的右焦点作一条斜率为２的直线交椭圆于两点，若为坐标原点，则的面积是　　　　　　　　．
７．（浙江１２）已知是椭圆的两焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则　　　　　　　　．
８．（北京１２）椭圆的焦点，点在椭圆上．若则　　　　　　　　．的大小为　　　　　　．
９．已知的顶点，顶点在椭圆上，
则＝ 　　　　　　　　　．
１０．（全国１２）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则　　　　　　　　　　　．
三、例题精析
１１．（福建１７）已知椭圆的中心在原点，经过点，且点为其右焦点．
（１）求椭圆的方程；（２）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离为４，若存在，求出的方程；否则说明理由．

１２（安徽１９）已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上．离心率．（１）求椭圆的方程；（２）求的角的平分线所在的直线方程
（３）在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；否则说明理由．

１３．（辽宁２０）已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，．
（１）求椭圆的离心率；（２）如果求椭圆的方程．

１４．（浙江２１）已知直线，椭圆：，为左右两焦点．（１）当直线过右焦点时，求直线的方程；（２）设直线与椭圆交于，的重心分别是，若原点在以为直径的圆内，求实数的取值范围．

四、益智演练
１．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是　　　　　　　　．
２．已知椭圆的中心在原点，长轴在轴上，离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和
为12，则椭圆的方程为　　　　　　　　．

3．一圆的圆心是椭圆有焦点，且该圆过椭圆的中心叫椭圆于点，而直线（为左焦点）是圆的切线，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　．
4．为椭圆上一点，是焦点，且，则的面积是　　　　　　　．
5．已知椭圆焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，且，在椭圆上有满足成等差数列．
（１）求椭圆方程；（２）求弦中点的横坐标；
（３）设的垂直平分线方程为，求的取值范围．

椭圆（3）
【考点及要求】理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程。
掌握椭圆的几何性质，运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题
【基础知识】
1. 椭圆的长轴位于_____轴，长轴长等于_____；短轴位于_____轴，短轴长等于_____；焦点在_____轴上，焦点坐标分别是________和________；离心率=_____；左顶点坐标是________；下顶点坐标是________；椭圆上点的横坐标的范围是___________，纵坐标的范围是___________；的取值范围是______________.
2. 已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，则的周长为______________.
【基本训练】
1. 中，若、的坐标分别为、，且的周长等于16，则顶点的轨迹方程为___________________.
2. 若椭圆的长轴是短轴的3倍，且经过点，则椭圆标准方程为___________________.
3. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_____________
4. 椭圆的离心率是______________，准线方程是______________________
5. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为,则=______________.
6. 椭圆的焦点在轴上,长轴长是短轴长的两倍,则的值为____________.
7. 在 则面积的最大值为____________________.
8. 已知中心在原点的椭圆经过(2,1)点,则该椭圆的半长轴长的取值范围是______________.
9. 若直线和椭圆恒有公共点，则实数_____________________.
10. 椭圆的焦点为、，点为椭圆上一动点，当为钝角时，则点的横坐标__________________.
【典型例题】
例1、求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1) 与椭圆有相同焦点且过点
(2) 与椭圆有相同离心率且过点.；

练习：已知三点，求以、为焦点且过点的椭圆的标准方程；

例2、一动圆与已知圆：外切，与圆：内切，试求动圆圆心的轨迹方程.

练习：已知动圆过定点，并且在定圆：的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程.

例3、 上一点到右准线的距离为10,那么点到它的左焦点的距离是_____.
练习：点在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点的横坐标是____________.
例4 ：若椭圆与直线交于、两点，为的中点，直线（为原点）的斜率为，(1)求；(2)若，求椭圆的方程.

变式 ： 直线过点，与椭圆相交于、两点，若的中点为，试求直线的方程.

【课堂检测】
1. 求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1) 短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为； (2) 经过点，.

2. 已知成等差数列,成等比数列,则椭圆的离心率为_______.
3. 椭圆的半焦距为，直线与椭圆的一个交点的横坐标恰为，则该椭圆的离心率为_______________.
4. 椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，如果线段中点在轴上，那么点的纵坐标是___________
5. 椭圆的两个焦点为，，过作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为，则 等于_________________
6. ，是椭圆的焦点,在上满足的点的个数为_______个.
7. 椭圆（为参数）焦点坐标是_______________________.
8. 设椭圆的焦点为、，长轴两端点为、.(1)为椭圆上一点，且，求的面积；(2)若椭圆上存在一点，使求椭圆离心率的取值范围.

9 . 已知椭圆，直线：，椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？若存在，求出最小距离.

10. 已知，是椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，当取最小值时，求点的坐标.

椭圆（4）
一、教学要求：
掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法。
二、要点回顾：
1椭圆的定义：椭圆的第一定义是 ；
用式子表示为 ；
椭圆的第二定义是 ；
用式子表示为 ；

2椭圆的标准方程：当焦点在轴上时，椭圆的标准方程是 ；
当焦点在轴上时，椭圆的标准方程是 ；
3椭圆的几何性质：
方程

图形

对称性
关于轴，轴， 对称

范围
， 。
， 。
顶点
，（0， ）
（0， ），
离心率

焦点坐标

准线方程

的关系

题型一，椭圆的定义的应用
例1已知椭圆的两个焦点为，为椭圆上的一点，且，求的面积。

练习：
（1）（2008浙江）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点
若，则 。
（2）设椭圆的两个焦点为，为椭圆上的一点，且，
求证：

（3）方程表示的曲线是 ，它的标准方程是 。
.
题型二，求椭圆的标准方程
例2求以椭圆的焦点为焦点，且经过点的椭圆的标准方程。

例3求离心率为，且经过点的椭圆的标准方程是 。

例4若方程表示椭圆，求的取值范围。

练习：
（1）已知椭圆的中心在原点，一个焦点是，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 。
（2）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是 ；
（3）已知椭圆过点，则该椭圆的标准方程是 。
（4）椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，则这个椭圆的方程是 ；
题型三，椭圆的几何性质
例5已知椭圆的一个焦点是，右准线方程为，则该椭圆的标准方程是 ；
例6已知椭圆的离心率，求的值及椭圆的焦点坐标，准线方程，长半轴长，短半轴长。

例7从椭圆上一点P向轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，且若该椭圆的准线方程是，求椭圆的方程。

练习：
（1）椭圆的焦距是 ；
（2）椭圆的一个焦点是，那么 ；
（3）椭圆的短轴长是2，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆中心到其准线的距离为 ；
（4）已知是椭圆的左，右焦点，弦过，若的周长为8，则椭圆的离心率为 ；
（5）若椭圆的焦点在轴上，离心率，则 ；
（6）是椭圆的左，右焦点，在椭圆上满足的点的个数是 ；
（7）已知点在椭圆的左准线上，过点斜率为的光线经直线反射后经过椭圆的左焦点，则椭圆的方程是 ；
题型四，椭圆的综合应用
例8已知点是椭圆上的一点，是椭圆的左，右焦点，若，求：（1）椭圆的离心率； （2）的面积。

变式1 若椭圆上存在一点P，使得，其中是椭圆的左，右焦点，求椭圆的离心率的取值范围；

变式2 椭圆的焦点为，点P为椭圆上一个动点，当为钝角时，求点P的横坐标的取值范围。

变式3 从椭圆上一点M向轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点，且它的长轴右端点A与短轴上端点B的连线。（1）求椭圆的离心率；（2）若是椭圆上任意一点，是右焦点，求的取值范围。

练习：（1）（2008全国Ⅱ）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）求四边形面积的最大值．

（2）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，过椭圆的右焦点，，且斜率为1的直线交椭圆于A,B两点，弦AB的中点为T，OT的斜率为。（1）求椭圆的离心率；（2）若是椭圆上任意一点，是左焦点，求的取值范围。

椭圆（5）
解析几何重点内容加强部分
一、基础训练
１．若椭圆的焦距长等于它的短轴的长，则椭圆的离心率为　　　　　　　
２．与底面成的平面截圆柱所得截面是一个椭圆，这个椭圆的离心率为　　　　　．
３．椭圆的两个焦点和中心将两条准线间的距离四等分，则一焦点与其短轴两端点的连线的
夹角是　　　 　．
４．为过椭圆的中心的弦，是焦点，则的最大面积是　　　　　．
５．椭圆的弦被点平分，则此弦的方程是　　　　　　　　．
６．设点，为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，当取
最小值时，点的坐标是　　　　　　　　．
７．一圆的圆心是椭圆有焦点，且该圆过椭圆的中心叫椭圆于点，而直线（为左焦点）是圆的切线，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　．
８．为椭圆上一点，是焦点，且，则的面积是　　　　　　．
二、例题精析
９．已知椭圆的一条准线为，且过点，求椭圆方程．

１０．椭圆的对称轴为坐标轴，短轴一端点与两焦点构成正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，求椭圆方程．

11．已知椭圆焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，且，在椭圆上有满足成等差数列．
（１）求椭圆方程；（２）求弦中点的横坐标；
（３）设的垂直平分线方程为，求的取值范围．

圆锥曲线讲义（2）
双曲线（1）
一、知识要点
1.双曲线的定义：
(1)双曲线的第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值等于常数2a(0<2a<｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c表示.常数用2a表示.
(2)双曲线的第二定义：若点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个常数：e(e>1)
2.双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上：，焦点坐标为F1(-c,0)，F2(c,0)，.
(2)焦点在y轴上：，焦点坐标为F1(0,-c)，F2(0,c)，.
3.双曲线简单几何性质：以标准方程为例.
(1)范围： |x|≥a；即x≥a，x≤-a；
(2)对称性：对称轴为x=0，y=0；对称中心为O(0，0)；
(3)顶点： A1(-a,0)，A2(a,0)为双曲线的两个顶点；线段A1A2叫双曲线的实轴，B1B2叫双曲线的虚轴，其中B1(0,b)，B2(0,b)；|A1A2|=2a，|B1B2|=2b；
(4)渐近线：双曲线渐近线的方程为y=x；
(5)准线： x=；
(6)离心率：e=，e>1.
4.等轴双曲线：x2-y2=±a2，实轴长等于虚轴长，其渐近线方程为y=±x，离心率e=
5.共轭双曲线：
二、基本训练
1.双曲线的_____轴在轴上，_____轴在轴上；实轴长等于_____，虚轴长等于____；焦点在____轴上，焦点坐标分别是_____________；顶点坐标是____________；准线方程是___________；渐近线方程是___________；离心率=_______；若点是双曲线上的点，则________，_________________.
2.双曲线上一点到左焦点的距离是7，则这点到右焦点的距离是________.
3.到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是_____________.
4.当时，曲线与有相同的___________.
5.如果方程表示双曲线，则实数的取值范围是_______________.
6.若双曲线的实轴是虚轴的3倍，且经过点，则双曲线标准方程为_______________.
三、典型例题
例1、求分别满足下列条件的双曲线的标准方程
(1) 顶点在轴上，两个顶点间距离为8，离心率；
(2) 与双曲线有公共焦点,且过点

练习：与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是_________.

例2、求与圆A：和圆B：都外切的圆的圆心P的轨迹方程.

练习：一动圆与已知圆：外切，与圆：内切，试求动圆圆心的轨迹方程.

例3、过双曲线的左焦点的直线交双曲线于、两点，若，则这样的直线一共有_______条.
练习：过双曲线的右焦点作直线交曲线于、两点，若，则这样的直线存在_____条.
四、课堂检测
1.双曲线的两条渐近线所成的锐角为.
2.设双曲线焦点在轴上,两条渐近线为则该双曲线的离心率
3.已知中心在原点的双曲线的右焦点为 右顶点为，则双曲线的方程是
4.求分别满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1) 经过点，
(2) 渐近线方程为，且过点.

5．设、是双曲线的两个焦点,点在双曲线上且满足，求的面积.

双曲线（2）
一、基本训练
1．平面内有两个定点和一动点，设命题甲：是定值，命题乙：点的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的___________条件．
2．双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为，则应满足的关系是___________．
3．直线 与双曲线有公共点时，的取值范围是___________．
4．已知，是曲线上一点，当取最小值时，的坐标是__ ___，最小值是 ．
5．如果分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且，则的周长是___________．
二、例题分析
例1．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为； (1) 求双曲线C的方程； (2) 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。

例2．已知双曲线(＜θ＜π)过点A(4,4).(1)求实轴、虚轴的长；(2)求离心率；(3)求顶点坐标；(4)求点A的焦半径.

例3.过双曲线的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB的中点C到右焦点F的距离，并求弦AB的长.

例4.已知双曲线的离心率e>1+,左,右焦点分别为F1,F2,左准线为l1,能否在双曲线的左支上找到一点P,使得|PF1|是P到l1的距离d与|PF2|的等比中项?

例5.是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．
（1）渐近线方程为，（2）点到双曲线上动点的距离最小值为．

三、作业
1．设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线
的渐近线的斜率为_________．
2．共轭双曲线的离心率分别为e1与e2，则e1与e2的关系为：_________．
3．若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是：_____ ____．
4．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线有相同的焦点.
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
5．若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程
是___ __ __。
6．设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率
7．双曲线上一点的两条焦半径夹角为，为焦点，则的面积为_________________．
8．与圆及圆 都外切的圆的圆心轨迹方程为_____________．
9．过点作直线，如果它与双曲线有且只有一个公共点，则直线的条数是____________________．.
10．一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为，一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7:3，求椭圆和双曲线的方程．

11．设双曲线两焦点，点为双曲线右支上除顶点外的任一点，，求证：．

12．已知双曲线的两个焦点为，实半轴长与虚半轴长的乘积为，直线过点，且与线段的夹角为，，直线与线段的垂直平分线的交点为，线段与双曲线的交点为，且，求双曲线方程．

圆锥曲线讲义（3）
抛物线
一、知识要点
1.抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线,定点不在定直线上.
2.开口向右、向左、向上、向下的抛物线及其标准方程的异同点：
相同点：(１)原点在抛物线上；(２)对称轴为坐标轴；p值的意义表示焦点到准线的距离；(3)p>0为常数；(4)p值等于一次项系数绝对值的一半；(5)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的１／４，即2p/4=p/2.
不同点：
方程
对称轴
开口方向
焦点位置
y2=2px
x轴
向右
x轴正半轴上
y2= -2px(p>0)
x轴
向左
x轴负半轴上
x2=2py(p>0)
y轴
向上
y轴正半轴上
x2= -2py(p>0)
y轴
向下
y轴负半轴上
二、基本训练
1.动点到直线的距离减去它到点的距离之差等于2，则点的轨迹是_____________.
2.以点为焦点的抛物线的标准方程是___________；以直线为准线的抛物线的标准方程是_____________；开口向左，以4作为通径长的抛物线的标准方程是_______________.
3.抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为____________.
4.若直线过抛物线的焦点与抛物线交于、两点，且线段的中点的横坐标为2，则=__________.
5.汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197，反光曲面的顶点到灯口的距离是69，则抛物线的性质可知当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光.为了获得平行光，灯泡应安装在距顶点________处（精确到1）.
三、典型例题
例1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，抛物线上一点到焦点的距离是5，求抛物线的方程.

变式：在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，求的值.

例2、抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，上动点到直线的最短距离
为1，求抛物线的方程.

变式：抛物线的动弦长为，则弦的中点到轴的最小距离为________.

例3、一条遂道的横断面由抛物线的一部分和一个矩形的三边围成，尺寸如图（单位：），一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3，车与箱共高4.5，此车能否过此隧道？请说明理由.

5
6
2

变式：已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是 米.

例4、正方形中，一条边在直线上，另外两顶点、在抛物线上，求正方形的面积.

l
P
Q
B
M
A

变式：如图，南北方向的公路地在公路的正东2处，地在地东偏北方向处，河流沿岸(曲线)上任一点到公路和到地距离相等，现要在曲线上选一处建一座码头，向两地转运货物，经测算从到，到修建公路的费用均为万元/，那么修建这两条公路的总费用最低是

四、课堂检测
1.试分别求满足下列条件的抛物线的标准