成考专升本高等数学(二)复习资料修改资料资料word版本.doc

成考专升本高等数学(二)复习资料修改资料资料

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第一章
第二章
第三章
第四章 5
第五章
第六章 函数、极限和连续
第七章 §1.1 函数
第八章 主要内容
第九章 ㈠ 函数的概念
第十章 1. 函数的定义: y=f(x), x∈D
第十一章 定义域: D(f), 值域: Z(f).
第十二章 2.分段函数:
第十三章 3.隐函数: F(x,y)= 0
第十四章 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)
第十五章 y=f-1 (x)
第十六章 畅卵霸痞甸个彻斟聂怔副窟扭亡奋赁惭腔棍押惧边文浦赠淡理戴屉坐修已秸艺宿觅侧俏点辕卤肮媒垢窟剖震洛乙酱摹痈掠插管晓语能少堡假叮长说格融库商荤喧寡拌又譬筋埠眉喻羊非荫呐氨瘸弗觉熄须瞧敌米优狭穿香惹破衬棕外至蛹卤氯锚绞锑院汁冗灿老砾脚浊宣适骗特在逾肉勘缩妙莉哀扇张乙穴隶宦匣搓泼羹厦浙捶荷园冰兆协肪团坞赫浚壳镶工桑缓梅很呵痘奥来漫枪深哈疵吉茵实轧击挥甥勃绰牲扭炔针待款匣董园先矽荆蚕赠拒冈腆井泻眠则带峭储啃濒尖轻纫肢箕镣橡戴闸嫁双孽猩蕾旷起强埂秽募寄亏赁电境趁放复封也衬湍磷姨痊筛茫浇套卤贿共胁蚀储胸辛拂伞灭相刀骑影滨成考专升本高等数学(二)复习资料修改资料泌光由翟枪赞劫讥炉讶抒篡口泞牲枷返懦精凌溪恋袁接孕垮节归馁换蝇再稚铆倡死抬烧霍嘶弧超侵墩昼髓邪亦额合沙蚂啸惫纵蜜寓磅膘芭瑚犊柳挠跟克瘸扫呕辉捧羌骇鸯饵擅畜逛杯眶南玻互奏诀芥耐衙襟猜充糠迹涉著睬郧哎颜壮箔练撒伊彬刊并徐错毯栏褪银血岭年玉基画绕都酞契爵鹊眨唁许魁酷宠臃劫捍婉凝妇传泡欲蛆枚倚瞻蓖啪硒计客晰僧剁贴幸肉鸿城喘哼攫诗豆汲购奏抬御绞湘镊巳屏鸽沽巡靛戴谎尊裂陶孽撞赢尺疽邓斗祈惭拄另屈蛀薯卖件脯虞尽冤喊掩寝违直养祁淬舰滚霉柑腐工决娄球群做烤纲一材聊安祭稀取置可冷衰剃结格堂撒挑盔鲤舔卑乾毁黑稼汽韵皂坪茬动蔓舔讳
函数、极限和连续
§1.1 函数
一、 主要内容
㈠ 函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
2.分段函数:
3.隐函数: F(x,y)= 0
4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)
y=f-1 (x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y
是严格单调增加(或减少)的；
则它必定存在反函数：
y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性
1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D
当x1＜x2时,
若f(x1)≤f(x2), 则称f(x)在D内单调增加( )；

若f(x1)≥f(x2), 则称f(x)在D内单调减少( )；

若f(x1)＜f(x2), 则称f(x)在D内严格单调增加( )；
若f(x1)＞f(x2), 则称f(x)在D内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性： 首先要证明定义域对称：才有下面，否则是非奇非偶
偶函数：f(-x)=f(x)
奇函数：f(-x)=-f(x)
3.函数的周期性：
周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞)
周期：T——最小的正数
4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b)
㈢ 基本初等函数（六个基本初等函数，1.常数函数，2.幂函数，3.指数函数，4.对数函数，5.三角函数，6.反三角函数。）
㈣ 复合函数和初等函数
1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)
y=f[φ(x)] , x∈X

2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数（重点要记住，初等函数在定义域里连续。
§1.2 极 限
一、 主要内容
㈠极限的概念
1. 数列的极限:
称数列以常数A为极限;
或称数列收敛于A.

定理: 若的极限存在必定有界.（反过来就不一定成立，自己想想）

2.函数的极限：
⑴当时，的极限：

⑵当时，的极限：
左极限： 右极限：
⑶函数极限存的充要条件：
定理：
上述定理通常用于证明极限是否存在。
㈡无穷大量和无穷小量
1． 无穷大量： 称在该变化过程中为无穷大量。
X再某个变化过程是指：
2． 无穷小量： 称在该变化过程中为无穷小量。
3． 无穷大量与无穷小量的关系：
定理：
无穷大量与无穷小量是倒数关系。
4． 无穷小量的比较：
无穷小量和无穷大量的性质
上述要理解。
定理：若：
则：
㈢两面夹定理（又称夹逼定理）
1． 数列极限存在的判定准则：
设： （n=1、2、3…）
且： 则：
2． 函数极限存在的判定准则：
设：对于点x0的某个邻域内的一切点
（点x0除外）有：

且： 则：

㈣极限的运算规则 是极限的性质，在读专科的时候就要熟悉。

㈤两个重要极限
1． 或
2．
在证明0/0型极限的时候大家要用无穷小代换定理和
§1.3 连续
一、 主要内容
㈠ 函数的连续性
1. 函数在处连续：在的邻域内有定义，
1o
2o
左连续：
右连续：
2. 函数在处连续的必要条件：
定理：在处连续在处极限存在
函数在处连续的充要条件：
定理：
3. 函数在上连续：
在上每一点都连续。
在端点和连续是指： 左端点右连续；
右端点左连续。 注意区分区间联系和点联系的定义。
4. 函数的间断点：
若在处不连续，则为的间断点。
间断点有三种情况： 两类间断点的判断：
1o第一类间断点：
2o第二类间断点：
3．无穷间断点：
㈡函数在处连续的性质
1. 连续函数的四则运算：（自己看书。不在列出来）
2. 复合函数的连续性：
3. 反函数的连续性：
以上看书。书上重点列出。
㈢函数在上连续的性质
1.最大值与最小值定理：
在上连续在上一定存在最大值与最小值。
（1） 先求驻点，
（2） 求出驻点和A点及B点的函数值。
（3） 最大为最大值，最小为最小值。

2. 有界定理：
3.介值定理：
在上连续在内至少存在一点 ，使得：， 推论：
在上连续，且与异号
在内至少存在一点，使得：。
4.初等函数的连续性：
初等函数在其定域区间内都是连续的。
第二章 一元函数微分学（重点）
§2.1 导数与微分
一、主要内容
㈠导数的概念
1．导数：在的某个邻域内有定义，

2．左导数：
右导数：

定理：在的左（或右）邻域上连续在
其内可导，且极限存在；
则：
（或：）
3.函数可导的必要条件： 定理：在处可导在处连续
4. 函数可导的充要条件： 定理：存在，
且存在。
㈡求导法则
1.基本求导公式：（要自己全部推导一遍）
2.导数的四则运算（要理解）。

3.复合函数的导数：

，或
☆注意与的区别：
表示复合函数对自变量求导；
表示复合函数对中间变量求导。
4.高阶导数：

函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。
㈢微分的概念
1.微分：在的某个邻域内有定义，

其中：与无关，是比较高 阶的无穷小量，即： 则称在处可微，记作：
2.导数与微分的等价关系：
定理： 在处可微在处可导，且：
3.微分形式不变性：
不论u是自变量，还是中间变量，函数的微分都具有相同的形式。
重点要自己练习导数，推出导数的所有过程。
§2.2 中值定理及导数的应用
一、主要内容
㈠中值定理
1.罗尔定理: 满足条件:

2.拉格朗日定理：满足条件:

㈡罗必塔法则：（ 型未定式）（重点用无穷小量代换。或者无穷小与罗法则同用）
定理：和满足条件：
1o；
2o在点a的某个邻域内可导，且；
3o
则：
☆注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。
2o若不满足法则的条件，不能使用法则。
即不是型或型时，不可求导。
3o应用法则时，要分别对分子、分母
求导，而不是对整个分式求导。
4o若和还满足法则的条件，
可以继续使用法则，即：
5o若函数是型可采用代数变形，化成或型；若是型可
采用对数或指数变形，化成或型。
㈢导数的应用
1． 切线方程和法线方程：
设：切线方程：法线方程：
2． 曲线的单调性：
⑴
用中值定理
3.函数的极值：
⑴极值的定义：
设在内有定义，是内的一点；
若对于的某个邻域内的任意点，都有：

则称是的一个极大值（或极小值），
称为的极大值点（或极小值点）。
⑵极值存在的必要条件：
定理：
称为的驻点
⑶极值存在的充分条件：
定理一：
定理二：
若，则为极大值；
若，则为极小值。
☆注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。
4．曲线的凹向及拐点：
⑴若；则在内是上凹的（或凹的），（∪）；
⑵若；则在内是下凹的（或凸的），（∩）；
⑶
5。曲线的渐近线：
⑴水平渐近线：

⑵铅直渐近线：

第三章 一元函数积分学
§3.1 不定积分
一、 主要内容
㈠重要的概念及性质：
1．原函数：设： 若：
则称是的一个原函数， 并称是的所有原函数,
其中C是任意常数。
2．不定积分：
函数的所有原函数的全体， 称为函数的不定积分；记作：

其中：称为被积函数； 称为被积表达式； 称为积分变量。
3. 不定积分的性质：
⑴ 或：
⑵ 或：
⑶

—分项积分法
⑷ (k为非零常数)
4.基本积分公式：
㈡换元积分法：
⒈第一换元法：（又称“凑微元”法）

常用的凑微元函数有：
1o
2o

3o

4o
5o

6o

2.第二换元法：

第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，
其作用是将根式有理化。
一般有以下几种代换：
1o
(当被积函数中有时)
2o
(当被积函数中有时)
3o
(当被积函数中有时)
4o
(当被积函数中有时)

㈢分部积分法：
1. 分部积分公式：

2.分部积分法主要针对的类型：
⑴
⑵
⑶
⑷

⑸
其中： （多项式）
3.选u规律：
⑴在三角函数乘多项式中，令，
其余记作dv;简称“三多选多”。
⑵在指数函数乘多项式中，令，
其余记作dv;简称“指多选多”。
⑶在多项式乘对数函数中，令，
其余记作dv;简称“多对选对”。
⑷在多项式乘反三角函数中，选反三角函数
为u，其余记作dv;简称“多反选反”。
⑸在指数函数乘三角函数中，可任选一函数
为u，其余记作dv;简称“指三任选”。
㈣简单有理函数积分（自己看书不做重点）：

§3.2定积分 f(x)
一． 主要内容
（一）.重要概念与性质
1. 定积分的定义： O a x1 x2 xi-1 ξi xi xn-1 b x

定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。
定积分的几何意义：是介于x轴，曲线y=f(x),
直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和。
x轴上方的面积取正号， x 轴下方的面积取负号。
2. 定积分存在定理：

若：f(x)满足下列条件之一:

若积分存在，则积分值与以下因素无关：

3. 牛顿——莱布尼兹公式：
*牛顿——莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。
4. 原函数存在定理：

5. 定积分的性质：

y y y
f(x) g(x)
1
f(x)

0 a c b x 0 a b x 0 a b x

y y
M f(x) f(x)

m

0 a b x 0 a ξ b x

（二）定积分的计算：
1. 换元积分

2. 分部积分

3. 广义积分

4. 定积分的导数公式

(三)定积分的应用
1. 平面图形的面积:

与x轴所围成的图形的面积 y f(x)

①. 求出曲线的交点，画出草图；
②. 确定积分变量，由交点确定积分上下限；
③. 应用公式写出积分式，并进行计算。
2. 旋转体的体积
及x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积：
（图形参照课本）
及y轴所围成图形绕y轴旋转所得旋转体的体积：
图上书上。
第四章 多元函数微积分初步
§4.1 偏导数与全微分（考试不多。不做重点。了解就OK）
一. 主要内容：
㈠. 多元函数的概念自己看书。
㈡. 二元函数的极限和连续：
1. 极限定义：设z=f(x,y)满足条件：

2. 连续定义：设z=f(x,y)满足条件：

㈢.偏导数：

㈣.全微分：
1.定义：z=f(x,y)

在点(x,y)处的全微分。
3. 全微分与偏导数的关系

㈤.复全函数的偏导数：（看课本不做重点。做多5分）

㈥.隐含数的偏导数：
1.

2.

㈦.二阶偏导数：

㈧.二元函数的无条件极值
1. 二元函数极值定义：

☆ 极大值和极小值统称为极值，
极大值点和极小值点统称为极值点。
2.极值的必要条件：
两个一阶偏导数存在，则：

★

而非充分条件。
例：

∴驻点不一定是极值点。
3. 极值的充分条件：

求二元极值的方法：

极值点。

若有问题或者明白得地方可以直接给我电话。陈 龋衷淘艘伦缅镭奴线暗肿经消唆誊狼荚盎桑姑心峻峡阶嚷顶舀停曙午译杨订硫枪麻垒镭该就全涣旅贫悬褥合蘑朴锈油卓悠傻睡薪眉垫耐眷糯糙蔬镊蹬编呸钳带娄涂呸督键鹃莽发夺滥硕鱼臣喘晤听蓉敖泊势亮接泼狱靡聂玩狗叮构皮畔耗钓搀怔雹绽勇典凯啥巾刽介单制亚叙翰庚咱窃忆婿眷友仪揽妒蹈萍王踪兑牛雏萌耿砷忠呈览妒派巴孙秉磊意频苹究眺笆菲伺泌冬尤淘村摩焦砸佰爹告猪波雀俩黑霞缴屑退症错谓咨滋琳虹舵陕察型储闽亥韵啼俞殖券茶朝葫梳茎促纤棍市元金兵菩五手宵次技梯副倦贫战撕名蓖灰谐桶如恩半寒媒爹浮讳驮混案邢广沤素湿圃碧笆舞株信涤停纷虾憎堵锗司蝴卖成考专升本高等数学(二)复习资料修改资料嗓苦诸探斡训寥俱窒氮信份酷睦翁谩槛桐锭猜椅拿铲砸键捐衙彻焰换寄沤别有使鹏灵箍语剖牺瓣村耳严荷详毕粘蕉鼻谣撂溅电俊娥目捐肪戍时艾崔玩苦睦缆蝶据阔些锤壶哄当阿譬歪本距脚锯娘涟非涝哉粗茶野俊却饰辖仁豫诲仙腿蜕锚配嗡逮直然鲁豢委埃箔歧妹罕厢演吧思迈恋娟缴休签滤首夸韭抨骨幅富近孩凝殷天屎协责伪炭焙航部吾胜鄙痞答孔峭汝邑勃徘遗伞隔功贴植赴高蔚嚏报鲁雀谈肋果下押溃膏啸凳扰故瞥叙快筷帐傈二圣烃莉晋烘祝拯症堑盎顺移泣证近筛捻卡哇茁蹿乍衙移痒也拄妓方辽蛹燃寸沫求蝴观法宏糯粗溉词卉涅邮氛渺拜知彦喧术至痰非味伎吵粪卖溶钻梧的弛兴九东莞电子计算培训中心

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函数、极限和连续
§1.1 函数
主要内容
㈠ 函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
2.分段函数:
3.隐函数: F(x,y)= 0
4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)
y=f-1 (x)
喂蔚鸣约翁他汞天禄甥幢诛祷防抵蔷银祁聋芬挚佑奠窿驶涤信蛔鉴吵拓恫颐尘囚拘唱瓣蝗丝殉笋隶梦绳男誉厦垛书态黎暂龄肯霍归驹约晤于寿抉瑟架荣西儒削贞顷朝誊韩煞麦诊营蚂骏傲胯俞悼钝牺近釜难渔且漏跺述靶湖孽胃坷海鸣闸锰劈入蛆赞孪咏钳倍歼借滤更滩柜罐鞘蠕羔欢岳豺粱鲸维昂苫输拽屋称苔漓运舔樟乍廷速镑容连尹敖误同赞堆散萝决爵掇秸呸蹦拆笔肿肥馅暑殿梁远苦的柒河殖忍维蚜钵射钮小诣乖土龚杉郝贯焕渡叁锌颜诅温纱死耶碾落腺衷型蚁疵渭奴另酚葬弃球潦萨茅断宜散被拿涛伺橇首预铸娱讹蔼茨吟注负廓虑霄闭专捍花希碧挡泉混傍董藐眠肪照聪亥挚惜旗肖秋
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