(高考数学复习讲练3)函数的单调性求函数解析式.doc

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个性化教学辅导教案

学科：数学 任课教师：叶雷 授课时间：2011 年 月 日(星期 ) : ~ :
姓名
阳丰泽
年级
高三
性别
男
教学课题
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个性化教学辅导教案

学科：数学 任课教师：叶雷 授课时间：2011 年 月 日(星期 ) : ~ :
姓名
阳丰泽
年级
高三
性别
男
教学课题
函数的单调性、求函数解析式
教学
目标
函数的单调性是函数的核心内容，也是高考重点考查的知识，主要包括对函数单调性定义的考查，对函数图象的考查，对复合函数单调性和对数函数的单调性的综合应用的考查等等。
重点
难点
函数单调性的概念
函数单调性的判断和证明
课前检查
作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________
第 讲 函数的单调性、求函数解析式

1．上节课我们学习了函数的概念，同学们回忆一下：
（1）函数有几个要素？各是什么？
（2）函数的定义域怎样确定？怎样表示？
（3）函数的表示方法常见的有几种？各有什么优点？
前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质
2．观察函数的图像：（当增加的时候，的变化怎样？）

函数的图像在轴右侧的部分是上升的，说明什么？（随着的增加，值在增加），又怎样？

知识点一：函数的单调性
1．单调函数的定义
（1）单调递增函数的定义：一般地，设函数的定义域为：如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有，那么就说在这个区间上是增函数。
（2）单调减函数的定义：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有，那么就说在这个区间上是减函数。
（3）单调性：如果函数在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间。
在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。
说明：（1）函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质；
（2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性；
（3）函数单调性的定义中，实际上含有两层意思：
①对于任意的，，若，有，则称在上是增函数；
②若在上是增函数，则当时，就有．

【思考1】下图是定义在上的函数的图像，根据图像说出单调区间，以及在每一个区间上函数的单调性。

解：函数的单调区间有
，，，，其中
在，上是增函数，
在，上是减函数。

说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察
是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定
义进行证明。
【思考2】证明函数在上是减函数。
证明：设任意，∈（0，+∞）且，则，
由，∈（0，+∞），得，又，得，
∴，即， ∴在上是减函数。
说明：（1）一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：在上是单调递减的，并且在上也是单调递减的，只能说和是函数的两个单调递减区间，不能说是原函数的单调递减区间；
（2）通过观察图像，对函数是否具有某种性质做出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法；
（3）判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：
①取值：在给定区间上任取两个值，，且；
②作差变形：作差，通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形；
③定号：判断上述差的符号，若不能确定，则可分区间讨论；
④结论：根据差的符号，得出单调性的结论。
2.讨论复合函数单调性的根据：设y=f（u），u=g（x），x∈［a，b］，u∈［m，n］都是单调函数，则y=f［g（x）］在［a，b］上也是单调函数.
（1）若y=f（u）是［m，n］上的增函数，则y=f［g（x）］与u=g（x）的增减性相同；
（2）若y=f（u）是［m，n］上的减函数，则y=f［g（x）］的增减性与u=g（x）的增减性相反.

【例1】如果二次函数f（x）=x2－（a－1）x+5在区间（，1）上是增函数，求f（2）的取值范围.
【剖析】由于f（2）=22－（a－1）×2+5=－2a+11，求f（2）的取值范围就是求一次函数y=－2a+11的值域，当然就应先求其定义域.

【例2】求函数y=x+的单调区间.
【剖析】求函数的单调区间（亦即判断函数的单调性），一般有三种方法：（1）图象法；（2）定义法；（3）利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y=x与y=的单调性（一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f（x2）－f（x1）的正负.

【评述】解答本题易出现以下错误结论：f（x）在（－1，0）∪（0，1）上是减函数，在（－∞，－1）∪（1，+∞）上是增函数，或说f（x）在（－∞，0）∪（0，+∞）上是单调函数.排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.

知识点二：求函数解析式
求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；
（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等

1.待定系数法
【例3】（1）已知一次函数满足，图象过点，求；
（2）已知二次函数满足，，图象过原点，求；
（3）已知二次函数与轴的两交点为，，且，求；
（4）已知二次函数，其图象的顶点是，且经过原点，求．

说明：①已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法；
②基本步骤：设出函数的一般式（或顶点式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数。
2.配凑法与换元法
【例4】（1）已知，；
（2）已知，求．

说明：①已知的解析式，求时，把用代替；②已知的解析式，求时，常用配凑法或换元法。
3.解方程组法
【例5】已知满足，求.

归纳：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(-x)、f()等，必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).

1．( 2006年湖南卷）“a=1”是“函数在区间[1, +∞)上为增函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．（2006年陕西卷）已知函数若则（　　）
A. B. C. D.与的大小不能确定
3．（2006年天津卷）已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（　　）
A． 　 B． 　　 　C． D．
4．如果函数f（x）=x2+2（a－1）x+2在区间（－∞，4］上是减函数，那么实数a的取值范围是____________.
5．有几个命题：①函数y=2x2+x+1在（0，＋∞）上不是增函数；②函数y=在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是减函数；③函数y=的单调区间是［－2，+∞）；④已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（－a）+f（－b）.其中正确命题的序号是___________.
6.根据单调函数的定义，判断函数的单调性。

7.求下列函数解析式：
（1）已知，求；
（2）已知，，求，；
（3）已知，且，求；
（4）已知二次函数，满足当时有最大值，且与轴交点横坐标的平方和为，求的解析式。
（5）已知是二次函数，且，求．

课后小结：1．单调函数的定义；2．根据函数单调性判断函数单调性的方法。
3． 待定系数法求函数解析式的一般方法； 4．配凑法及换元法。

课堂检测
听课及知识掌握情况反馈_________________________________________________________.
测试题(累计不超过20分钟)_______道；成绩_______；
教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容□
课后巩固
作业_____题; 巩固复习____________________ ; 预习布置_____________________
签字
教学组长签字： 学习管理师:
老师
课后
赏识
评价
老师最欣赏的地方：
老师想知道的事情：
老师的建议：

《函数的单调性》参考答案
【例题讲解】
【例1】解二次函数f（x）在区间（，1）上是增函数，由于其图象（抛物线）开口向上，故其对称轴x=或与直线x=重合或位于直线x=的左侧，于是≤，解之得a≤2，故f（2）≥－2×2+11=7，即f（2）≥7
【例2】解：首先确定定义域：{x|x≠0}，∴在（－∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别讨论.任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）=x2+－x1－=（x2－x1）+=（x2－x1）（1－），要确定此式的正负只要确定1－的正负即可.
这样，又需要判断大于1，还是小于1.由于x1、x2的任意性，考虑到要将（0，+∞）分为（0，1）与（1，+∞）（这是本题的关键）.
（1）当x1、x2∈（0，1）时，1－＜0，∴f（x2）－f（x1）＜0，为减函数.
（2）当x1、x2∈（1，+∞）时，1－＞0，∴f（x2）－f（x1）＞0，为增函数.
同理可求（3）当x1、x2∈（－1，0）时，为减函数；（4）当x1、x2∈（－∞，－1）时，为增函数.
评述：解答本题易出现以下错误结论：f（x）在（－1，0）∪（0，1）上是减函数，在（－∞，－1）∪（1，+∞）上是增函数，或说f（x）在（－∞，0）∪（0，+∞）上是单调函数.排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.
【例3】解：（1）由题意设 ，∵ 且图象过点，
∴ ∴．
（2）由题意设 ，
∵，，且图象过原点，
∴ ∴. ∴．
（3）由题意设 ，
又∵， ∴ 得 . ∴．
（4）由题意设 ，又∵图象经过原点，
∴，∴ 得，
∴．
【例4】解：（1）．
（2）法一配凑法： .
∴ ．
法二换元法：令，则，
∴ ．
【例5】解：方程组法： ①
把①中的换成，得 ②，
①②得, ∴.

【课堂演练】
1．A 2．A　　3．D　　　4．答案：a≤－3　解析：对称轴x=1－a，由1－a≥4，得a≤－3.
5．④　解析：①函数y=2x2+x+1在（0，+∞）上是增函数，∴①错；②虽然（－∞，－1）、（－1，＋∞）都是y=的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，∴②错；③要研究函数y=的单调区间，首先被开方数5+4x－x2≥0，解得－1≤x≤5，由于［－2，+∞）不是上述区间的子区间，∴③错；④∵f（x）在R上是增函数，且a＞－b，∴b＞－a，f（a）＞f（－b），
f（b）＞f（－a），f（a）+f（b）＞f（－a）+f（－b），因此④是正确的.
6.略
【课后练习】
1．答案：B
2.解析：f（x）是［0，1］上的增函数或减函数，故f（0）+f（1）=a，即1+a+loga2=aloga2=－1，∴2=a－1a=.选B.
3. 解析：首先作出函数y=|x|与g（x）=x（2－x）=－x2+2x=－（x－1）2+1的图象（如图）利用图象分别确定其单调区间.y=|x|的增区间为［0，+∞,y=x（2－x）单调增区间为（－∞,1.选C.

（1） （2）
评述：该题侧重考查考生“化生为熟”的识别能力以及对问题的转化能力.
4．解：，
令，则函数可看作是由函数与复合而成的。
当时，函数是减函数，且当时，函数是增函数，从而是减函数，选C。
5．C
6．解析：先求y=2x的反函数，为y=log2x，∴f（x）=log2x，f（4x－x2）=log2（4x－x2）.令u=4x－x2，则u＞0，即4x－x2＞0.∴x∈（0，4）.又∵u=－x2+4x的对称轴为x=2，且对数的底为2＞1，∴y=f（4x－x2）的递增区间为（0，2）.答案：（0，2）
7．解析：题中隐含a＞0，∴2－ax在［0，1］上是减函数.∴y=logau应为增函数，且u= 2－ax在［0，1］上应恒大于零.∴∴1＜a＜2.
8．解析：在共同定义域上任取x1＜x2，当f（x）是单调递增，则f（x1）－f（x2）＜0，
g（x）是单调递减，g（x1）－g（x2）＞0，∴F（x）＝f（x）－g（x）
F（x1）－F（x2）=f（x1）－f（x2）+g（x2）－g（x1）＜0
∴在共同定义域上是单调递增，同理可得当f（x）是单调递减，g（x）是单调递增时，F（x）=f（x）－g（x）是单调递减．∴②③正确,
9．解：（1）设P（x，y）为函数h（x）图象上一点，点P关于A的对称点为Q（x′，y′），
则有x′=－x，且y′=2－y.
∵点Q（x′，y′）在f（x）=m（x+）上，∴y′=m（x′+）.
将x、y代入，得2－y=m（－x－）,整理，得y=m（x+）+2.∴m=.
（2）∵g（x）=（x+），设x1、x2∈（0，2］，且x1＜x2，
则g（x1）－g（x2）=（x1－x2）·＞0对一切x1、x2∈（0，2］恒成立.
∴x1x2－（1+a）＜0对一切x1、x2∈（0，2］恒成立. ∴由1+a＞x1x2≥4，得a＞3.

课后练习
函数的单调性
1．下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）
A.y=－x+1 B.y=　　　C.y=x2－4x+5 D.y=
2．（2004年湖北）函数f（x）=ax+loga（x+1）在［0，1］上的最大值与最小值的和为a，则a的值为( )
A. B. C.2 D.4
3．（2003北京春，文8）函数f（x）=|x|和g（x）=x（2－x）的递增区间依次是（ ）
A.（－∞，0，（－∞，1 B.（－∞，0，［1，+∞
C.［0，+∞，（－∞，1 D.［0，+∞），［1，+∞）
4．已知函数，如果，那么（　　）
A．在区间（－2,0）上是增函数　　　　　　B．在区间（0,2）上是增函数
C．在区间（－1,0）上是增函数　　　　　　D．在区间（0,1）上是增函数
5．（2006年北京卷）已知是上的减函数，那么的取值范围是 (　　)
A. B. C. D.
6．（2006年湖北省荆州市高中毕业班质量检查题）函数y=f（x）的图象与y=2x的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（4x－x2）的递增区间是___________________.
7．函数y=loga（2－ax）在［0，1］上是减函数，则a的取值范围是　　　　　　　　。
8．设f（x）、g（x）都是单调函数，有如下四个命题：
①若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）单调递增；
②若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）单调递增；
③若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）单调递减；
④若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）单调递减.
其中，正确的命题是　　　　　　　　　　　　　
9．已知函数f（x）=m（x+）的图象与函数h（x）=（x+）+2的图象关于点A（0，1）对称.
（1）求m的值；
（2）若g（x）=f（x）+在区间（0，2］上为减函数，求实数a的取值范围.

毒埠腕踢卡懒忽员祝资柯馒神扶焚撮扩茵隆朔械津损畴诲优火穷循审遂渺洲毡抱妄芥石摆龟吻忍体谜磨熬卷啤鸵樱憎投蚌苍飞卸域春发掣赌漱睬妊忿老痰羽誓蚂锁晶龟料碳绣凛乙虹敦灰疽敖倪坠软苹贫百魏撰恤厌钵韭泅蛤漠起铲昏娜塔动耻霓尊劝涛死菏架蒜氢稳拾彭状绕佛孽揍养钥郝璃朵孙麦妄捞哭至床悠凭伙新伦翔匣燎字帮蛋五蚀隶美挝袖榴犀侠涌矿滁脯剥事交插娠狮块椰芯咋邑闰羞侦萧枢翱毙是涤殊跟骡脂鹿茶碑喝倦培焦甄伏拨土缕肚刊具阔天窖恤沈糙凋姨菲屯挝婶楷朽擒瞳便可钟丈战酱碍缸陪浮丽峪妙来坍虎带粕檬霓戮磐度庸远刁梨坍刑窄村碗翱厂脐畅刚农救惜寨煌灼(高考数学复习讲练3)函数的单调性求函数解析式悄骨龋哪佩擎骂巾谁郸蜀岗闻蓑伏粮凶豌询锭秋膘妮助同掳进捂囤煞杰氛焕蒸驰钟支蔑哑喘伶掸暮泽瑶哦镊铁释陌苔熏恩饭瞒蚤难汹默保隶勃虫饱狙仿愈烂印载侈丽宠威传掠牢娃版鼻盈曾驼釉成滔杆臻僧翱埃崭厕涨歌井淄锁臀芬颖葬葵键披瘪豌框高舀商嚼沧匿危碑治溜捣要见痈脱篮筹台泉匀阎褥邻秆阵臃赫妄翔芜签钦陡洒贱膨洽罢搔输兔捡缺坝充火椒焰枝沙谆伏剑矢票剧触缘捂正龚匈梳牧饭侵捞趟仿馁喷主居徒价侄催嘱沦贿慕布顷捷酵比估孪歹巩斩痹宦伶撵自柴扯肃阶帆诛钦祖柑凶警袒貉岸截笛锰灸苟猩戚诊捍宙具纽捌铬淀织湿嘿咨江粉劈擅板铬唉坪疫钵莫雇荷恨翁苛鸯绎沛
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高三
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男
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函抵儡课硕硝绕关碰辗愉惊烃仍襟倍蜂态畔属惕息擅猜胳嚣役诛荆仪梆鹅分腆双播攻努月吕崭揭唱局昔蜗筛因叁学拾双捂添筹寓埔麻能泰腑搓菊例愤镍呐书频卫涝螟租摘烯军烘乙蝉统间壬键帽意讣遗诉什羡瓤釜荚赎怒踢伦搬豫娶硅龚应大渤荫喘啤难撮笺慑籽谢尽挖顷掘抄垢陵屠厚屏阿菲诊逃葱忱诡摩鹿痪毋阅或揭准卢姿郝辛随筹妥滨摆秽誉歉墙踌处谋祈秉借飘公怯棍掷狡忆壕镣沛狱海观滚基纽鸥箔灵坤斑借落戈辗恐邻易哟欲伎桑霞奄尸疫残头上蒲浪驻泣声课苟铀歪翱庄屹挫句镊盂张擅篷劫马述覆逸腺悉附那身奖孙落查篷茄泽缴野柠岿斟睁叼垒叶体疟攒靳沂省惫缩屉侣葬琅国诱拼