高中数学概率知识点总结和典例.doc

事件与概率
（一）基础知识梳理：
1.事件的概念：
（1）事件：在一次试验中出现的试验结果，叫做事件。一般用大写字母A，B，C，…表示。
（2）必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件。
（3）不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件
（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为确定事件。
（5）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
2.随机事件的概率：
（1）频数与频率：在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的频率。
（2）概率：在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性。我们把这个常数叫做随机事件A的概率，记作。
3.概率的性质：必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率为，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形
4.事件的和的意义: 事件A、B的和记作A+B，表示事件A和事件B至少有一个发生。
5.互斥事件: 在随机试验中，把一次试验下不能同时发生的两个事件叫做互斥事件。
当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的， 因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)（A、B互斥）.
一般地：如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥如果事件彼此互斥，那么＝。
6．对立事件: 事件Ａ和事件B必有一个发生的互斥事件. A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生 这时P(A+B)=P(A)+P(B)＝1 即P(A+)=P(A)+P()=1
当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P（A）=1－P（）
7. 事件与集合：从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集. 事件A的对立事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪=U，A∩=对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件
（二）典型例题分析：
例1．将一枚均匀的硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是( )
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定
例2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球
例3．甲、乙两名围棋选手在一次比赛中对局，分析甲胜的概率比乙胜的概率高5％，和棋的概率为59％，则乙胜的概率为_____________．
例4．如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取1张，那么抽到红心（事件A）的概率为________，取到方片（事件B）的概率是 _______．取到红色牌（事件C）的概率是_______,取到黑色牌（事件D）的概率是________.
（三）基础训练：
1．下列说法正确的是 ( )
A．任一事件的概率总在(0，1)内 B．不可能事件概率不一定为0
C．必然事件的概率一定是1 D．以上均不对
2．某地气象局预报说：明天本地降雨概率为80%，则下面解释正确的是（ ）
A.明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨 B.明天本地下雨的机会是80%
C.明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨 D.以上说法均不正确
3．下面事件: ①若a、b∈R，则a·b=b·a； ②某人买彩票中奖； ③6+3>10；
④抛一枚硬币出现正面向上. 其中必然事件有 ( )
A．① B．② C．③④ D．①②
4．盒中有9个小球，分别标有1，2，3，…，9，从中任取一球，则此球的号码为偶数的概率是_______．
5．箱子中有2000个灯泡,随机选择100个灯泡进行测试,发现10个是坏的,预计整箱中有________个
坏灯泡。
6．对某电冰箱厂生产的电冰箱进行抽样检测数据如下表所示：
抽取台数
50
100
200
300
500
1000
优等品数
46
92
192
285
479
950
则估计该厂生产的电冰箱优等品的概率为
7.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　)
(A)对立事件 (B)不可能事件
(C)互斥但不对立事件 (D)以上答案都不对
8.从1,2,…,9中任取2个数,其中
①恰有1个是偶数和恰有1个是奇数;②至少有1个是奇数和2个都是奇数;③至少有1个是奇数和2个都是偶数;④至少有1个是奇数和至少有1个是偶数.
上述事件中,是对立事件的是(　　)
(A)① (B)②④ (C)③ (D)①③
9.一个袋子中有5个大小相同的球,其中有3个黑球与2个红球,如果从中任取两个球,则恰好取到两个同色球的概率是(　)
(A) (B) (C) (D)
10.掷一个骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+发生的概率为(　　)
(A) (B) (C) (D)
（四）巩固练习：
1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机的分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对
2．下列四个命题中错误命题的个数是（ ）
（1）对立事件一定是互斥事件 （2）若A，B是互斥事件，则P（A）+P（B）<1
（3）若事件A，B，C两两互斥，则P（A）+P（B）+P（C）=1
（4）事件A，B满足P（A）+P（B）=1，则A，B是对立事件
A．0 B．1 C．2 D．3
3．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“所得点数是1、2”，事件B表示“所得点数大于4”，则P（A+B）=____________.
4.某射手射击1次射中10环，9环，8环，7环的概率分别是0.24，0.28，0.19，0.16，则这名射手射击1次,射中10环或9环的概率为________,至多射中6环的概率__________.
5．在10件产品中有8件1级品，2件2级品，从中任取3件，记“3件都是1级品”为事件A，则A的对立事件是_____________________________________ .
6．袋中有12个小球，分别为红球，黑球、黄球、绿球，从中任取1球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是,则得到绿球的概率是__________.
第02讲 古典概型
（一）基础知识梳理：
1．基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果,称为一个基本事件
基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件。基本事件有以下两个特点：
（1）任何两个基本事件是互斥的； （2）任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。
2．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果都是等可能的，这种事件叫等可能性事件
3．古典概型：具有以下两个特征的随机试验的概率模型称为古典概型。
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等。
4．古典概型的概率计算公式： 对于古典概型，若试验的所有基本事件数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率定义为。
（二）典型例题分析：
例1.单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案。假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是_________.
例2.在6瓶饮料中，有2瓶已过了保质期。从中任取2瓶，取到已过保质期的饮料的概率是_______.
例3. 将一枚质地均匀的硬币连掷三次，观察落地后的情形
（1）写出这个试验的所有的基本事件；
（2）“出现一枚正面朝上，两枚反面朝上”这一事件包含了哪几个基本事件？
（3）求事件“出现一枚正面朝上，两枚反面朝上”的概率。
例4.每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6）
（I）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；
（II）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；
（三）基础训练：
1．下列试验中，是古典概型的是（ ）
A．种下一粒种子观察它是否发芽
B．从规格直径为（2500.6）mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面 D．某人射击中靶或不中靶
2．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（ ）
A． 　 B． 　 　C． 　 　D．1　
3.某学生通过计算初级水平测试的概率为,他连续测试两次,则恰有1次获得通过的概率为____.
4．甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布）。则平局的概率为 ________，甲赢的概率为_________。
5. 一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的5个小球，随即的选取两个小球，根据下列条件求两个小球上的数字之和为偶数的概率。
（1）小球的选取是无放回的； （2）小球的选取是有放回的。

6.现有一批产品共有6件, 其中5件为正品, 1件为次品.
(1) 如果从中取出1件, 然后放回, 再取1件, 求连续2次取出的都是正品的概率;
(2) 如果从中一次取2件, 求2件都是正品的概率.

7．袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1个，有放回地抽取3次。求：
（1）3次全是红球的概率 （2）3次颜色全相同的概率 （3）3次颜色不全相同的概率

（四）巩固练习：
1．袋中有5个球，其中3个红球，2个白球，现每次取一个，无放回地抽取两次，则第二次取到红球的概率是（ ）
A． 　 B． 　 　C． 　 　D．　
2．在一次数学测验中，某同学有两个单选题（即四个答案选一个）不会做，他随意选了两个答案，则这两道单选题都答对的概率为（ ）
A． 　 B． 　 　C． 　 　D．　
3．甲, 乙两人随意入住2间空房, 则甲乙两人各住1间房的概率是（ ）
A． 　 B． 　 　C． 　 　 D．无法确定
4. 4本不同的语文书, 3本不同的数学书, 从中任意取出2本,能取出数学书的概率是________.
5．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P（m，n）落在圆内的概率是_______________.
6．高一（1）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则恰有一名参赛学生是男生的概率是________；至少有一名参赛学生是男生的概率是________。
7．有A，B两个口袋，A袋中有6张卡片，其中1张写有0；2张写有1；3张写有2；B袋中有5张卡片，其中2张写有0；1张写有1；2张写有2.。从A，B两个袋中各取1张卡片，求：
（1）取出的2张卡片都写有0的概率； （2）取出的2张卡片数字之和为2的概率。

第03讲 随机数与几何概型
（一）基础知识梳理：
1. 几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型。
2. 几何概型试验的两个基本特征：（1）无限性：指在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性。
3. 几何概型事件的概率计算公式：

（二）典型例题分析：
16cm
例1. 如图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm，4cm，6cm，某人在在3m外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：
（1）投中小圆内的概率是多少？
（2）投中大圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
（3）投中大圆之外的概率是多少？

例2.在游乐场，有一种游戏是向一个画满均匀方格的大桌面上投硬币，若硬币刚巧落在任何一个方格的范围内不与方格线重叠），便可获奖。如果硬币的直径为2cm，
而方格的边长为5cm，随机投掷一个硬币，获奖的概率有多大？

（三）基础训练：
1．在500mL的水中有一个草履虫, 现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察, 则发现草履虫的概率是（ ）
A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
2．有一半径为4的圆, 现将一枚直径为2的硬币投向其中(硬币与圆面有公共点就算是有效试验，硬币完全落在圆外的不计),则硬币完全落入圆内的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．一轮船停靠在某港口, 只有在该港口涨潮时才能出港, 已知该港口每天涨潮的时间是早晨5:00到7:00和下午5:00到7:00, 则该船在一昼夜内可以出港的概率为 .
4.一海豚在水池中自由游弋, 水池是半径为20m的圆,海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率是______.
5．取一个边长为2a的正方形及其内切圆如图所示，随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内概率是______________。
6．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中
随机到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。

（三）巩固练习：
1．如下图, 设M是半径为R的圆周上一定点, 在圆周上等可能地任取一点N, 连接MN, 则弦MN的长超过R的概率为（ ）
A． B． C． D．
2. 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，他等待的时间不多于10分钟的概率是_________ 。
3.在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，试求正方形面积介于到81之间的概率是_____________。
3cm
4．如图所示，取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段绳子的长度都不小于1m的概率是___________.
5． 在△ABC内任取一点P，求△ABP与△ABC的面积之比大于时的概率为
6．设AB=6，在线段AB上任取两点（端点A，B除外），将线段AB分成三条线段，
(1)若分成三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；
(2)若分成三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率；

概率练习卷
1．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字），设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为、，则满足复数的实部大于虚部的概率是（）
A． B． C． D．
2.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为____
20070126
3.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积不小于的概率是（）
A． B． C． D．
4.设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
（A） （B） （C） （D）
5.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( )
（A） (B) （C） (D)
6.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )
（A） （B） （C） （D）
7.每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以1，2，3，4，5，6)．连续抛掷2次，则2次向上的数之和不小于10的概率为
8.从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。
9.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为，再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为,其中,若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为（ ）．
A． B． C． D．
10.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是___________。
11.某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中的3杯为A饮料，另外的2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料。若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否测评为合格。假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力
（1）求此人被评为优秀的概率
（2）求此人被评为良好及以上的概率

12. 11.在区间[-1,2]上随即取一个数x，则x∈[0,1]的概率为 。
13. ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )
（A） （B） （C） （D）

14.如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（ ）.
A． B． C． D．
15.下图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机 地撒300 颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为________．
16已知圆直线
（1）圆的圆心到直线的距离为 ．
（2）圆上任意一点到直线的距离小于2的概率
为 ．

17. 某商场举行抽奖活动，从装有编号为0,1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖. （Ⅰ）求中三等奖的概率； （Ⅱ）求中奖的概率.

2.现有编号分别为的五个不同的物理题和编号分别为的四个不同的化学题．甲同学从这九个题中一次随机抽取两道题，每题被抽到的概率是相等的，用符号表示事件“抽到的两题的编号分别为、，且”．
（1）共有多少个基本事件？并列举出来；
（2）求甲同学所抽取的两题的编号之和小于17但不小于11的概率．

3．甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2 红桃3 红桃4 方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
（1）．设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况．
（2）．若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）．甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．

4.设方程的系数和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．
(Ⅰ)求方程有两个不等实根的概率； (Ⅱ)求方程没有实根的概率；

5．同时掷两颗质地均匀的骰子(六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体)，两颗骰子向上的点数之和记为.
（Ⅰ）求的概率; （Ⅱ）求的概率.

6．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．
（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；
（Ⅱ）求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率．