四川省2017中考数学专题突破复习题型专项五反比例函数综合题.doc

题型专项(五)　反比例函数的综合题
类型1　一次函数与反比例函数综合
1．(2016·成都大邑县一诊)如图，直线l1：y＝x与反比例函数y＝的图象相交于点A(2，a)，将直线l1向上平移3个单位长度得到l2，直线l2与c相交于B，C两点(点B在第一象限)，交y轴于点D.
(1)求反比例函数的解析式并写出图象为l2的一次函数的解析式；
(2)求B，C两点的坐标并求△BOD的面积．

解：(1)∵点A(2，a)在y＝x上，
∴a＝2.∴A(2，2)．
∵点A(2，2)在y＝上，
∴k＝2×2＝4.
∴反比例函数的解析式是y＝.
将y＝x向上平移3个单位得l2：y＝x＋3.
(2)联立方程组
解得或
∴B(1，4)，C(－4，－1)．
当x＝0时，y＝x＋3＝3，则D(0，3)，
∴S△BOD＝×3×1＝.

2．(2015·南充)反比例函数y＝(k≠0)与一次函数y＝mx＋b(m≠0)交于点A(1，2k－1)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若一次函数与x轴交于点B，且△AOB的面积为3，求一次函数的解析式．
解：(1)把点A(1，2k－1)代入y＝，得2k－1＝k.
∴k＝1.
∴反比例函数的解析式为y＝.
(2)由(1)得k＝1，
∴A(1，1)．
设B(a，0)，
∴S△AOB＝·|a|×1＝3.
∴a＝±6.
∴B(－6，0)或(6，0)．
把A(1，1)，B(－6，0)代入y＝mx＋b，得解得
∴一次函数的解析式为y＝x＋.
把A(1，1)，B(6，0)代入y＝mx＋b，得
解得
∴一次函数的解析式为y＝－x＋.
∴符合条件的一次函数解析式为y＝－x＋或y＝x＋.

3．(2016·南充模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D(0，4)，B(6，0)．若反比例函数y＝(x＞0)的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F.设直线EF的解析式为y＝k2x＋b.
(1)求反比例函数和直线EF的解析式；
(2)求△OEF的面积；
(3)请结合图象直接写出不等式k2x＋b－＞0的解集．

解：(1)∵四边形DOBC是矩形，且D(0，4)，B(6，0)，∴C点坐标为(6，4)．
∵点A为线段OC的中点，∴A点坐标为(3，2)．
∴k1＝3×2＝6.
∴反比例函数解析式为y＝.
把x＝6代入y＝，得x＝1，∴F(6，1)．
把y＝4代入y＝，得x＝，∴E(，4)．
把F(6，1)，E(，4)代入y＝k2x＋b，得解得
∴直线EF的解析式为y＝－x＋5.
(2)S△OEF＝S矩形BCDO－S△ODE－S△OBF－S△CEF＝4×6－－×6×4×－×(6－)×(4－1)＝.
(3)不等式k2x＋b－＞0的解集为＜x＜6.
4．(2016·成都新都区一诊)如图，直线OA：y＝x的图象与反比例函数y＝(k≠0)在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合)，且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA＋PB最小．

解：(1)设A点的坐标为(a，b)，则b＝，∴ab＝k.
∵ab＝1，∴k＝1，∴k＝2.
∴反比例函数的解析式为y＝.
(2)联立解得
∴A(2，1)．
设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为(2，－1)，由对称知识可得BC与x轴的交点P即为所求．
设直线BC的解析式为y＝mx＋n.
由题意可得：B点的坐标为(1，2)．
∴解得
∴BC的解析式为y＝－3x＋5.
当y＝0时，x＝，
∴P点坐标为(，0)．

5．(2015·泸州)如图，一次函数y＝kx＋b(k<0)的图象经过点C(3，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3.
(1)求该一次函数的解析式；
(2)若反比例函数y＝的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A，B两点，且AC＝2BC，求m的值．

解：(1)∵一次函数y＝kx＋b(k＜0)的图象经过点C(3，0)，
∴3k＋b＝0①，点C到y轴的距离是3.
∵一次函数y＝kx＋b的图象与y轴的交点是(0，b)，
∴×3×b＝3.解得b＝2.
将b＝2代入①，解得k＝－.
则函数的解析式是y＝－x＋2.
(2)过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，则AD∥BE.
∵AD∥BE，∴△ACD∽△BCE.
∴＝＝2.∴AD＝2BE.
设B点纵坐标为－n，则A点纵坐标为2n.
∵直线AB的解析式为y＝－x＋2，
∴A(3－3n，2n)，B(3＋n，－n)．
∵反比例函数y＝的图象经过A，B两点，
∴(3－3n)·2n＝(3＋n)·(－n)．
解得n1＝2，n2＝0(不合题意，舍去)．
∴m＝(3－3n)·2n＝－3×4＝－12.

6．(2016·绵阳)如图，直线y＝k1x＋7(k1＜0)与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y＝(k2＞0)的图象在第一象限交于C，D两点，点O为坐标原点，△AOB的面积为，点C横坐标为1.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”．请求出图中阴影部分(不含边界)所包含的所有整点的坐标．

解：(1)由题意得A(－，0)，B(0，7)，
∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝×(－)×7＝.
解得k1＝－1.
故直线方程为y＝－x＋7.
当x＝1时，y＝6，故点C坐标为(1，6)，
将点C(1，6)代入y＝，解得k2＝6.
∴反比例函数的解析式为y＝.
(2)由直线y＝－x＋7和反比例函数y＝在第一象限图象的对称性可知点D与点C关于直线y＝x对称，故点D坐标为(6，1)．
当x＝2时，反比例函数图象上的点为(2，3)，直线上的点为(2，5)，此时可得整点(2，4)；
当x＝3时，反比例函数图象上的点为(3，2)，直线上的点为(3，4)，此时可得整点(3，3)；
当x＝4时，反比例函数图象上的点为(4，)，直线上的点为(4，3)，此时可得整点(4，2)；
当x＝5时，反比例函数图象上的点为(5，)，直线上的点为(5，2)，此时无整点可取．
综上可知，阴影部分(不含边界)所包含的整点有(2，4)，(3，3)，(4，2)．
(方法二：联立直线和反比例函数解析式，求点D坐标，请酌情评分．)

类型2　反比例函数与几何图形综合
7．(2016·绵阳涪城区模拟)如图，O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，四边形OABC是平行四边形，∠AOC＝45°，OA＝2，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点D.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点D的纵坐标为，求直线AD的解析式．

解：(1)过点A作AH⊥x轴于点H.
∵OA＝2，∠AOH＝45°，
∴OH＝AH＝OA·sin45°＝2×＝.
∴A(，)．
又点A在y＝图象上，
∴k＝×＝2.
∴反比例函数的解析式是y＝.
(2)∵点D纵坐标是，∴点D横坐标是2.
∴D(2，)，A(，)．
设直线AD的解析式为y＝ax＋b，则
解得
∴直线AD的解析式为y＝－x＋.

8．(2016·成都高新区一诊)如图1，在△OAB中，A(0，2)，B(4，0)，将△AOB向右平移m个单位，得到△O′A′B′.
(1)当m＝4时，如图2，若反比例函数y＝的图象经过点A′，一次函数y＝ax＋b的图象经过A′，B′两点．求反比例函数及一次函数的解析式；
(2)若反比例函数y＝的图象经过点A′及A′B′的中点M，求m的值．

解：(1)∵A′(4，2)，B′(8，0)，
∴k＝4×2＝8.
∴y＝.
把(4，2)，(8，0)代入y＝ax＋b，得
解得
∴经过A′，B′两点的一次函数解析式为y＝－x＋4.
(2)当△AOB向右平移m个单位时，A′点的坐标为(m，2)，B′点的坐标为(m＋4，0)，
则A′B′的中点M的坐标为(，1)．
∵反比例函数y＝的图象经过点A′及M，
∴2m＝×1，解得m＝2.
∴当m＝2时，反比例函数y＝的图象经过点A′及A′B′的中点M.

9．(2014·内江)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点P(n，2)，与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC.
(1)求一次函数、反比例函数的解析式；
(2)反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

解：(1)∵AC＝BC，CO⊥AB，A(－4，0)，
∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4.
∴P(4，2)，B(4，0)．
将A(－4，0)，P(4，2)代入y＝kx＋b，得
解得
∴一次函数解析式为y＝x＋1.
将P(4，2)代入反比例函数解析式得m＝8.
∴反比例函数解析式为y＝.
(2)存在这样的点D，使四边形BCPD为菱形，
对于一次函数y＝x＋1，令x＝0，则y＝1，
∴C(0，1)．
∴直线BC的斜率为＝－.
设过点P，且与BC平行的直线解析式为
y－2＝－(x－4)，即y＝，
联立解得
∴D(8，1)．
此时PD＝＝，
BC＝＝，即PD＝BC.
∵PD∥BC，
∴四边形BCPD为平行四边形．
∵PC＝＝，即PC＝BC，
∴四边形BCPD为菱形，满足题意，
∴反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D点坐标为(8，1)．

10．(2016·德阳中江模拟)如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第二象限，顶点A，B分别落在反比例函数y＝图象的两支上，且PB⊥y轴于点C，PA⊥x轴于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E，F.已知B(1，3)．
(1)k＝3；
(2)试说明AE＝BF；
(3)当四边形ABCD的面积为4时，直接写出点P的坐标．

解：(2)设点P坐标为P(m，3)，则D(m，0)，C(0，3)，A(m，)，
∵＝＝，＝＝，
∴＝.
又∵∠P＝∠P，
∴△PDC∽△PAB.
∴∠PDC＝∠PAB.
∴DC∥AB.
又∵AD∥CF，DE∥CB，
∴四边形ADCF和四边形DEBC都是平行四边形．
∴AF＝DC，DC＝BE.
∴AF＝BE.
∴AE＝BF.
(3)S四边形ABCD＝S△APB－S△PCD
＝PA·PB－PC·PD
＝(3－)(1－m)－×3(－m)
＝4.
解得m＝－.
则P(－，3)．