高考真题文科数学全国II卷.doc

文科数学 2017年高三2017全国甲卷文数
文科数学
考试时间：____分钟
题型
单选题
填空题
简答题
总分
得分

单选题 （本大题共12小题，每小题____分，共____分。）
1．设集合，则 (        )
A.
B.
C.
D.
2． （1+i）（2+i）=(         )
A.
B.
C.
D.
3．函数的最小正周期为(        )
A.
B.
C.
D.
4．设非零向量，满足，则(       )
A. ⊥
B.
C. ∥
D.
5．若，则双曲线的离心率的取值范围是(        )
A.
B.
C.
D.
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(        )

A.
B.
C.
D.
7．设满足约束条件则的最小值是(       )
A.
B.
C.
D.
8．函数的单调递增区间是(         )
A.
B.
C.
D.
9．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则(         )
A. 乙可以知道四人的成绩
B. 丁可以知道四人的成绩
C. 乙、丁可以知道对方的成绩
D. 乙、丁可以知道自己的成绩
10．执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的 (        )

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
11．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(        )
A.
B.
C.
D.
12．过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在的轴上方），为的准线，点在上且,则到直线的距离为 (     )
A.
B.
C.
D.
填空题 （本大题共4小题，每小题____分，共____分。）
13．函数的最大值为____.
14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则____.
15．长方体的长，宽，高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为____.
16．的内角的对边分别为,若,则____.
简答题（综合题） （本大题共7小题，每小题____分，共____分。）
17．（12分）
已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求.
18．（12分）
如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面,
（1）证明：直线平面;
（2）若△的面积为，求四棱锥的体积.

19．（12分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：

（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附：

20．（12分）
设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.
21．（12分）
设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
22．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．
23．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知．证明：
（1）；
（2）．

答案
单选题
1.  A 2.  B 3.  C 4.  A 5.  C 6.  B 7.  A 8.  D 9.  D 10.  B 11.  D 12.  C
填空题
13. 

14. 
12
15. 

16. 

简答题
17. 
（1）    （2）见解析
18. 
（1）见解析   （2）
19. 
（1）0.62   （2）见解析    （3）见解析
20. 
（1）    （2）见解析
21. 
(1)见解析  （2）[1，+∞）
22. 
（1）．（2）
23. 
（1）见解析（2）见解析
解析
单选题
1. 
由题意，故选A.
2. 
由题意，故选B.
3. 
由题意，故选C.
略  4. 
由题意，因为，所以，则，故选C.
5. 
由题意，其体积，其体积，故该组合体的体积．故选B．
6. 
绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值，最小值为．故选A.

7. 
函数有意义，则： ，解得： 或 ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为 .
8. 
由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D.
9. 
阅读程序框图，初始化数值．
循环结果执行如下：
第一次：；
第二次：；
第三次：；
第四次：；
第五次：；
第六次：；
结束循环，输出．故选B．
10. 
如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：

总计有25种情况，满足条件的有10种.
所以所求概率为.
11. 
由题知，与抛物线联立得，解得
所以，因为，所以，因为，所以
所以到的距离为
填空题
12. 
.
13. 
.
14. 
球的直径是长方体的体对角线，所以
15. 
由正弦定理可得
.
简答题
16. 
（1）设的公差为d，的公比为q，则,
.由得
d+q=3.         ①
由得
    ②
联立①和②解得（舍去），
因此的通项公式
（2）由得.
解得
当时，由①得，则.
当时，由①得，则.
17. 
（1）证明：∵底面中，，∴
又平面，平面，∴平面.
（2）∵侧面是等边三角形，且垂直于底面，
∴中边上的高也是四棱锥的高，设为，由的面积为得
设BC=,则CM=，CD=,PM=,PC=PD=,取CD的中点N,连结PN，
，因为的面积为，所以

解得（舍去），
∴

18. 
（1）旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

因此，事件A的概率估计值为0.62.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
K2=.
由于15.705＞6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
（3）箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值（或中位数）在50 kg到55 kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.
19. 
（1）设
由知
即
又点在椭圆上，则有
即
（2）设，则有

即
设椭圆右焦点
又

∴
∴过点且垂直于的直线过的左焦点.
20. 
（1）f ’(x)=(1-2x-x2)ex
令f’(x)=0得x=-1- ，x=-1+
当x∈（-∞，-1-）时，f’(x)<0；当x∈（-1-，-1+）时，f’(x)>0；当x∈（-1-，+∞）时，f’(x)<0
所以f(x)在（-∞，-1-），（-1+，+∞）单调递减，在（-1-，-1+）单调递增
(2) f (x)=(1+x)（1-x）ex
当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）ex，h’(x)= -xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h(0)=1，
故h(x)≤1，所以
f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1
当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在在[0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故ex≥x+1
当0＜x＜1，，，取
则
当
综上，a的取值范围[1，+∞）
21. 
⑴设
则．

解得，化为直角坐标系方程为．
（2）设点B的极坐标为,由题设知
,于是△OAB面积

当时，S取得最大值
所以△OAB面积的最大值为
22. 
（1）

（2）因为

所以，因此.