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高考专题复习——集合与简易逻辑
集合与简易逻辑有关概念性质：
一．集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如
（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，若，，则P+Q中元素的有________个。
（答：8）
（2）设，，，那么点的充要条件是________

（答：）；
（3）非空集合，且满足“若，则”，这样的共有_____个
（答：7）
二．遇到时，你是否注意到“极端”情况：或；同样当时，你是否忘记的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如
集合，，且，则实数＝___.
（答：）
三．对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 如
满足集合M有______个。
（答：7）
四．集合的运算性质：
(1)；
(2)；
（3)；
(4)；
(5).
如：设全集，若，，，则A＝_____，B＝___.
（答：，）
五．研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：—函数的定义域；—函数的值域；—函数图象上的点集，如
（1）设集合，集合N＝，则___
（答：）；

（2）设集合，，，则_____
（答：）
六．数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：
已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。

（答：）
七.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如：
在下列说法中：⑴“且”为真是“或”为真的充分不必要条件；
⑵“且”为假是“或”为真的充分不必要条件；
⑶“或”为真是“非”为假的必要不充分条件；
⑷“非”为真是“且”为假的必要不充分条件。
其中正确的是__________
（答：⑴⑶）
八．四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若﹁p 则﹁q” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p”。
提醒：
（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；
（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；
（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；
（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“”判断其真假，这也是反证法的理论依据。
（5）哪些命题宜用反证法？
如：
（1）“在△ABC中，若∠C=900，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为__________
（答：在中，若，则不都是锐角）；
（2） 已知函数，证明方程没有负数根。

九．充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若，则A是B的充分条件；若，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。如：
（1）给出下列命题：
① 实数是直线与平行的充要条件；
② 若是成立的充要条件；
③ 已知，“若，则或”的逆否命题是“若或则”；
④“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是假命题 。
其中正确命题的序号是_______
（答：①④）；
（2）设命题p：；命题q:。若┐p是┐q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是

（答：）
十．一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式，若,则；若,则；若,则当时，；当时，。如
已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______

（答：）
十一．一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当和时的解集你会正确表示吗？设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：

或
或

R

R
R

如 解关于的不等式：。
（答：当时，；当时，或；当时，；当时，；当时，）
十二．对于方程有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数是否为0，其次若，则一定有。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？
如：（1）对一切恒成立，则的取值范围是_______
（答：）；（2）关于的方程有解的条件是什么？(答：，其中为的值域)，特别地，若在内有两个不等的实根满足等式，则实数的范围是_______.（答：）

十三．一元二次方程根的分布理论。
方程在上有两根、在上有两根、在和上各有一根的充要条件分别是什么？
（、、）。根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况．
如 实系数方程的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的取值范围是_________

（答：（，1））
十四．二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程的两个根即为二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标。
如（1）不等式的解集是，则=__________

（答：）；
（2） 若关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为________

（答：）；
（3）不等式对恒成立，则实数的取值范围是_______
（答：）。

典型例题：
【例1】 设，求集合A与B之间的关系。

【例2】 已知集合A=，集合B=，若BA，求实数p的取值范围。

【例3】 已知集合，集合B=。如果，试求实数a的值。

【例4】 若集合A=，B=，且，求实数x。

【例5】 已知集合A=，B=，若，求实数m的值。

【例6】 已知集合A={}，B=，C=，若与同时成立，求实数a的值。

【例7】 ，，A∪B=A，求a的取值构成的集合。

【例8】 已知，且A∪B=A，求实数a组成的集合C。

【例9】 某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：
（1）只乘电车的人数；（2）不乘电车的人数；（3）乘车的人数；
（4） 不乘车的人数；（5）只乘一种车的人数。

【例10】 （2004届湖北省黄冈中学高三数学综合训练题）已知M是关于的不等式的解集，且M中的一个元素是0，求实数的取值范围，并用表示出该不等式的解集.

【例11】 （2004届杭州二中高三数学综合测试题）已知，设命题，命题.试寻求使得都是真命题的的集合.

【例12】 （2004届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件和条件，请选取适当的实数的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.

【例13】 已知；¬是¬的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【例14】 （2004届全国大联考高三第四次联考试题）已知函数，其中.
（1）判断函数的增减性；
（2）（文）若命题为真命题，求实数的取值范围.
（2）（理）若命题为真命题，求实数的取值范围.

【专题练习】
一、选择题
1．已知I为全集，集合M、NÌI，若MÈN=M，则有：（D）
A．MÍ() B．MÊ() C． D．

2．若非空集合A、B适合关系AÌB，I是全集，下列集合为空集的是：（D）
A． B． C． D．

3．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={0，2，4，8}，那么A∩B子集的个数是：（C）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个

4．满足｛a｝X｛a,b,c｝的集合X的个数有 （ B ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

5．已知集合I、P、Q适合I=PQ=｛1，2，3，4，5｝，PQ=｛1，2｝则（PQ）（）
为（ C ）
（A）｛1，2，3｝ （B）｛2，3，4｝ （C）｛3，4，5｝ （D）｛1，4，5｝

6．已知I为全集·集合M，N是I的子集MN=N，则 （ B ）
（A） （B） （C）M() （D）M()

7．设P=｛x| x≥-2｝,Q=｛x | x≥3｝，则PQ等于 （ D ）
（A）Æ （B）R （C）P （D）Q

8．设集合E=｛n|n=2k , kZ｝，F=｛n|n=4k , kZ｝，则E、F的关系是 （ B ）
（A）EF （B）EF （C）E=F （D）EF=Æ

9．已知集合M=，N={ x || x -1|≤2}，则MN等于 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）

10．已知集合I=R，集合M={ x | x =，nN}，P={ x | x =，nN}，则M与P的关系是 （ B ）
（A）MP=Æ （B）P=Æ （C）M=Æ （D）=Æ

11．已知集合A={y|y=, x R},B={y|y= x R},则AB等于 （ C ）
（A）{2，4} （B）{（2，4），（4，16）}
（C）{ y|y ≥0} （D）{ x| x<0}

12．设全集I=R，集合P=，集合Q={ x | x+4>0}，则 （ D ）
（A）PQ=Æ （B）PQ=R
（C）Q= （D）={-4}

二、解答题
1. 设A=，B=；若AB，求实数a的取值范围。

2. 已知A=，B=。若AB，求实数a的取值范围。

3. 已知集合A=，B=，且，求实数
m的值。

4. 已知集合A=，B=；若
，求实数a的取值范围。

5. 已知集合，同时满足
①，②，其中p、q均为不等于零的实数，求p、q的值。

6. 已知关于x的不等式，的解集依次为A、B，且。求实数a的取值范围。

7. 已知集合，若，且，求实数a。

参考答案：
例1.解：由，得A=

∴A=B
例2.解：若B=Φ时，
若B≠Φ时，则
综上得知：时，BA。
例3.解：注意集合A、B的几何意义，先看集合B；
当a=1时，B=Φ，A∩B=Φ
当a=－1时，集合B为直线y=－15，A∩B=Φ
当a≠±1时，集合A：，，只有才满足条件。
故；解得：a=－5或a=
∴a=1或a=或a=－1或a=－5。
例4.解：由题设知，∴，故或
即或或，但当时，不满足集合A的条件。
∴实数x的值为或。
例5.解：不难求出A=，由，又，
①若，即，则
②若，即，，
∴
故由①②知：m的取值范围是
注：不要忽略空集是任何集合的子集。
例6.解：易求得B=，C=，由知A与B的交集为非空集。
故2，3两数中至少有一适合方程
又，∴，即得，a=5或a=－2
当a=5时，A=，于是，故a=5舍去。
当a=－2时，A=，于是，∴a=－2。

例7.解：∵A∪B=A，∴，当时，∴-4<a<4，
，当1∈B时，将x=1代入B中方程得a=4，此时B={1}，当2∈B时，将x=2代入B中方程得a=5，此时，a=5舍去，∴-4<a≤4。
例8.解：由A={1，2}，由A∪B=A，即，只需a×1-2=0，a=2或a×2-2=0，a=1。
另外显然有当a=0时， 也符合。所以C={0，1，2}。
例9.解：本题是已知全集中元素的个数，求各部分元素的个数，可用图解法。设只乘电车的人数为x人，不乘电车的人数为y人，乘车的人数为z人，不乘车的人数为u人，只乘一种车的人数为v人
如图所示（1）x=66人，（2）y=36人，（3）z=98人，（4）u=22人，（5）v=80人。
例10.解：原不等式即，[来源:Zxxk.Com]
由适合不等式故得，所以，或.
若，则，∴，
此时不等式的解集是；
若，由，∴，
此时不等式的解集是.
例11.解：设，
依题意，求使得都是真命题的的集合即是求集合，
∵
∴若时，则有，
而，所以，
即当时使都是真命题的；
当时易得使都是真命题的；
若，则有，
此时使得都是真命题的．
综合略.
例12.分析：本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的，也能先猜后证，所找到的实数只需满足，且1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学习的教学方向.
解：已知条件即，或，∴，或，
已知条件即，∴，或；
令，则即，或，此时必有成立，反之不然.
故可以选取的一个实数是，A为，B为，对应的命题是若则，
由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.
例13.解：由得，
由，得，[来源:Z#xx#k.Com]
∴¬即，或，而¬即，或；
由¬是¬的必要不充分条件，知¬¬，
设A=，B=，
则有A，故且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，
解得，此即为“¬是¬的必要不充分条件”时实数的取值范围.
例14.解：（1）∵，∴，
即，∴函数是增函数；
（2）（文）即，必有，
当，，不等式化为，
∴，这显然成立，此时；
当时，，不等式化为，
∴，故，此时；
综上所述知，使命题为真命题的的取值范围是.[来源:Zxxk.Com]
（2）（理）即，必有，
当时，，不等式化为，
∴，故，∴，此时；
当时，，不等式化为，
∴，这显然成立，此时；
当时，，不等式化为，
∴，故，此时；
综上所述知，使命题为真命题的的取值范围是.
专题练习答案：
1.解：由图象法解得：
当a>0时，；
当a≤0时，
∴要使得AB，必须且只须，解得[来源:学+科+网]
2.解：易得，由得
⑴当3a+1>2，即时，
要使AB，必须，
⑵当3a+1=2，即时，；要使AB，a=1
当3a+1<2，即时，
⑶要使AB，必须[来源:Zxxk.Com]
综上知：或
3.解：，，由得：
4.解：B=，由得：
因为，所以A=。
由得： 或
所以
5.解：条件①是说集合A、B有相同的元素，条件②是说-2∈A但，A、B是两个方程的解集，方程和的根的关系的确定是该题的突破口。
设，则，否则将有q=0与题设矛盾。于是由，两边同除以，得，
知，故集合A、B中的元素互为倒数。
由①知存在，使得，且，得或。
由②知A={1，-2}或A={-1，-2}。
若A={1，-2}，则，
有
同理，若A={-1，-2}，则，得p=3，q=2。
综上，p=1，q=-2或p=3，q=2。[来源:学*科*网Z*X*X*K]
6.解：，B={x|（x-2）[x-（3a+1）]≤0}
∵
①当3a+1≥2时，B={x|2≤x≤3a+1}
∴3a+1<2a或，∴
②当3a+1<2时，B={x|3a+1≤x≤2}
∴2a>2或，∴
7.解：∵A∪B=A，∴。
∵A={1，2}，∴或B={1}或B={2}或B={1，2}。
若，则由△<0知，不存在实数a使原方程有解；
若B={1}，则由△=0得，a=2，此时1是方程的根；
若B={2}，则由△=0得，a=2，此时2不是方程的根，
∴不存在实数a使原方程有解；
若B={1，2}，则由△>0，得a∈R，且a≠2，
此时将x=1代入方程得a∈R，将x=2代入方程得a=3。
综上所述，实数a的值为2或3。