高考复习专题圆锥曲线技巧总结1.doc

【高考总复习】圆锥曲线概念方法技巧总结一.圆锥曲线的定义：定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与|FF|不可忽视。若|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。练习：1.已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是（答：C）；A B C D2.方程表示的曲线是_（答：双曲线的左支）3.已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_（答：2）二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且A，B，C同号，AB）。（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：1（）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且A，B异号）。（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。练习：1.已知方程表示椭圆，则的取值范围为_（答：）；2.若，且，则的最大值是_，的最小值是_（答：）3.双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_4.设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_（答：）5.已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_ 三.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，在双曲线中，最大，。四.圆锥曲线的几何性质：椭圆的图像和性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围 顶点轴长 长轴的长= ， 短轴的长= 焦点焦距对称性 准线方程焦半径|PF1|左 |PF1|右|PF1|上 |PF1|下离心率：焦准距：通径长：双曲线的图像和性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围 顶点轴长 实轴的长= ，虚轴的长= 焦点焦距对称性 准线方程焦半径|PF1|左 |PF1|右|PF1|上 |PF1|下渐近线方程离心率：焦准距：通径长：抛物线标准方程图形顶点对称轴焦点准线方程范围 通径离心率焦半径|PF| |PF| 抛物线的焦点弦性质：练习：1.若椭圆的离心率，则的值是_（答：3或）；2.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_ 3.双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于_（答：或）；4.双曲线的离心率为，则=（答：4或）；5.设双曲线（a0,b0）中，离心率e,2,则两条渐近线夹角的取值范围是_（答：）；6.设，则抛物线的焦点坐标为_（答：）；五、点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上1；（3）点在椭圆内六直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（2）相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；（3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.练习：1.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_2.直线ykx1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_3.过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若AB4，则这样的直线有_条4.过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有_（答：2）；5.过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_6.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若4，则满足条件的直线有_7.对于抛物线C：，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线C的位置关系是_（答：相离）；8.过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则_（答：1）；9.设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于，则和的大小关系为_(填大于、小于或等于) （答：等于）；10.求椭圆上的点到直线的最短距离（答：）；11.直线与双曲线交于、两点。当为何值时，、分别在双曲线的两支上？当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：；）；七、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离。练习：1.已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为_（答：）；2.已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于_；3.若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为_（答：）；4.点P在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_5.抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离为_6.椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，则点M的坐标为_（答：）；八、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，则在椭圆中， ，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线的焦点三角形有： 。练习：1.短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为_（答：6）；2.设P是等轴双曲线右支上一点，F1、F2是左右焦点，若，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （答：）；3.椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当0时，点P的横坐标的取值范围是（答：）；4.双曲线的虚轴长为4，离心率e，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且是与等差中项，则_（答：）；5.已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，求该双曲线的标准方程（答：）；九、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则AMFBMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PAPB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。十、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则，若弦AB所在直线方程设为，则。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。练习：1.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_2.过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ABC重心的横坐标为_（答：3）；十一、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。练习：1.如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：）；2.已知直线y=x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x2y=0上，则此椭圆的离心率为_（答：）；特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！十二你了解下列结论吗？（1）双曲线的渐近线方程为；（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，0）。（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线的焦点弦为AB，则；（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点13动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立之间的关系；如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程（答：或）；待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：）；定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=600，则动点P的轨迹方程为（答：）；（2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_ （答：）；(3) 一动圆与两圆M：和N：都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）；代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为_（答：）；参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MNAB，垂足为N，在OM上取点，使，求点的轨迹。（答：）；（2）若点在圆上运动，则点的轨迹方程是_（答：）；（3）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是_（答：）；曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.圆锥曲线常见题型及解题思路方法。1. 求圆锥曲线的标准方程 先判断焦点的位置，设出相应圆锥曲线的方程，再根据已知条件和圆锥曲线的性质列方程（组）（如求椭圆方程，就是根据条件和性质列出关于a、b、c的方程组），求出待定参数。 2. 求椭圆（或双曲线）的离心率或离心率的取值范围 求离心率就是根据条件和圆锥曲线的性质，寻找a、b、c之间的等量关系，求出的值。在椭圆中，有：；在双曲线中，有：。能求出，也就求得了离心率。在双曲线中，还要注意渐近线与离心率的关系。 求离心率的取值范围就是根据条件和圆锥曲线的性质寻找a、b、c之间的不等关系。关于不等式的来源，通常是依据已知不等式，同时还要注意圆锥曲线中 几个常用的不等关系：圆锥曲线上点的坐标的范围；在椭圆中，有，（其中B为短轴的端点，P为椭圆上任一点）；在双曲线中，有（其中F为焦点，P为双曲线上任一点，A是同一支双曲线的顶点）。 解这类问题时，要尽可能地结合图形，依据定义，多从几何角度思考问题。如果涉及直线与圆锥曲线位置关系问题，还要联立方程，用坐标法找关系。3. 在圆锥曲线中判断点与圆的位置关系除常规方法外（比较点到圆心的距离与半径的大小），通常用向量法。例如，已知直线与圆锥曲线交于A、B两点，要判断点P与以AB为直径的圆的位置关系，只需确定的大小，通过计算，确定其符号。4. 证明定点，定值，定直线问题可先取参数的特殊值（或图形的特殊位置），对定点，定值，定直线进行探求，然后证明当参数变化时，结论成立。证明直线过定点，有两种思路：求出满足条件的动直线方程（只含一个参数），再根据方程求出定点； 先探求定点，再设出要证明的定点的坐标（如设动直线与x轴交于点），把坐标表示出来，表示式中，往往会含有（或 ），用所求得的结果代入，就可得出坐标为定值。证明定点、定值、定直线问题，还可利用圆锥曲线中定点、定值、定直线的性质，将问题进行转化。5. 直线与圆锥曲线的位置关系问题这类问题是平面解析几何中的重点问题，常涉及直线和圆锥曲线交点的判断，弦长，面积，对称，共线等问题处理问题的基本方法有两种：（1）联立方程法：解题步骤是：先设交点，再设直线方程，联立直线方程与圆锥曲线方程构成方程组，消元，求，（或 ），令（如果直线经过曲线内的点，可以省去这一步），再根据问题的要求或求距离，或求弦长，或求点的坐标，或求面积等。（2）点差法：设交点为及AB的中点，将A、B两点的坐标代人圆锥曲线方程，作差变形，可得：，即，再由题设条件，求中点坐标，根据问题的条件和要求列式。值得注意的是，用联立方程法，设直线方程时，为简化运算，可采用这种的策略，若直线过轴上的定点，则直线方程可设为（此直线不包括轴），联立方程，消去，得到关于的方程，求出备用。有时，还要根据，求出。若直线过轴上的定点，则直线方程可设为（此直线不包括轴），联立方程，消去y。对于直线，无特殊交代时，通常注意分两种情况：直线的斜率存在，消元后，注意；直线的斜率不存在，即直线为。在涉及到弦的中点及斜率时，求参数（如直线的斜率k）的取值范围，通常采用点差法。6. 最值问题这类问题是从动态角度研究解析几何中的有关问题，往往涉及求弦长（或距离）、面积、坐标（或截距）、向量的模（或数量积）、参数等的最大（小）值。其解法是：设变量，建立目标函数。处理的方法有：（1）利用基本不等式；（2）考察函数的单调性；（3）利用判别式法。在目标函数的变形上有一定的技巧，关于弦长，面积表达式的变形，常用到移入根号，分离常数，换元等方法，把目标函数转化为双勾函数的形式，或用基本不等式，或利用函数的单调性求最值。求坐标的最值时，可构造一个一元二次方程，利用。7. 求参数的取值范围问题这类问题主要是根据条件建立关于参变量的不等式，或者把所求参数转化关于某个变量的函数，通过解不等式或求函数的值域来求参数的取值范围。具体解法如下：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系。（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围。不等式的来源常有以下途径：已知不等式（含基本不等式）；直线与圆锥曲线相交时，有 ；点与圆锥曲线（以椭圆最为多见）的位置关系；圆锥曲线（特别是椭圆）上点的坐标的范围。（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，用一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用基本不等式：基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思。（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。圆、椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： 通过参数简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题。（6）构造一个二次方程，利用判别式D0。8. 求动点的轨迹方程求动点的轨迹方程是解析几何中两类基本问题之一，即根据动点所满足的条件，求动点的坐标之间的关系式。最基本的方法是直接法，步骤是：建系设点条件立式坐标代换化简方程查漏除杂。此外还有定义法（主要是利用圆锥曲线的定义），相关点法，参数法，几何法等。在涉及直线、圆的轨迹问题时，常从几何角度去探求动点满足的关系，选用几何法；如果题目没有直接给出动点所满足的条件，而是给出了与动点相关的点所满足的条件，先设动点坐标为，再把相关点的坐标用动点的坐标来表示，根据相关点的条件列式，此即为相关点法；参数法是求轨迹方程常用的方法，合理引入参数（通常是相关点的坐标）列式，消去参数得到关于的方程，要求所列方程的数目要比引入的参数多一个，才能消去所有参数。三. 圆锥曲线问题中的条件及要求与韦达定理之间的联系举例：解决圆锥曲线问题的基本方法是坐标法，这就需要把问题的条件转化为坐标之间的关系，而把问题的条件和要求用坐标表示，特别是用或来表示，往往又是打通问题思路的关键。以下是问题中一些条件的坐标表示：设斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，联立方程，可求出，以及。（1）弦的中点： 弦AB的中点坐标可表示为 （2）弦的垂直平分线过定点或：弦的垂直平分线方程为：。弦的垂直平分线过定点，则有：（3）点与以为直径的圆的位置关系，判断的符号：，。其中（4）垂直问题：如，则有：（5）A、B两点关于直线对称： ，（其中k为直线AB的斜率）关于圆锥曲线上两点关于某条直线对称的问题，一般涉及到弦的斜率和中点，所以常采用“点差法”，用点差法处理问题时，对于不同的圆锥曲线，有不同的表示方法：当圆锥曲线分别为椭圆、双曲线、抛物线时，k的表示式有以下三种形式： （椭圆）； （双曲线）；（抛物线）（6）弦长问题：当直线 时： 当直线时： （7）三角形的面积： M NAB； （d是点到直线AB的距离） 或， 其中M、N为x轴上两定点，为定长。（8）三点共线问题：遇三点共线问题，常利用斜率相等列方程。设，若共线，则利用直线方程将换成（或将换成），通分后令分子为0，可使所得方程中仅含有（或仅含有）。（9）为正三角形：点C在的垂直平分线上，且满足，其中M为的中点。由点C在的垂直平分线上可得： 又，这样就把问题与韦达定理联系起来了。（10）A、B与C、D四点共圆：当A、C、B、D四点共圆时，其圆心是线段AB的垂直平分线与线段CD的垂直平分线的交点G，且满足|GA|=|GC|。线段AB的垂直平分线方程为，若CD垂直平分AB， 则圆心G是CD的中点，且有.