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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）
（包头市第二次模拟考试）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.i是虚数单位，= 的实部与虚部之和为（）
A． B. C. D.
2．“若，则，都有成立”的逆否命题是（）
A．若，有成立，则； B．若，，则；
C．若，都有成立，则； D．若，有成立，则．
3. 现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有（） 种
4. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
5．设等差数列的公差≠0，．若是与的等比中项，则（）
(A) 3或 -1 (B) 3或1 (C) 3 (D) 1
6．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的的值是（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，若sin A=2 sin B cos C，，则△ABC的形状是（）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8． 函数f(x)=tan+，x的大致图象为（ ）
y
x
0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
A B C D
9. 直线与函数的图像相切于点，且，为坐标原点，为图像的极大值点，与轴交于点，过切点作轴的垂线，垂足为，则=（）
A. B. C. D. 2
10．如果若干个函数图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同族函数”．给出下列函数：
①； ②；
③； ④
其中“同族函数”的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D． ③④
11.已知双曲线的左,
右焦点是F1，F2，设P是双曲线右支上一点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率e为（）
A． B． C． D．
12.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0＜a＜1)的所有零点之和为 （ ）
A．2a-1 B.1-2a C.2-a-1 D.1-2-a
第Ⅱ卷 非选择题
注意事项：
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。
1. 本试卷共10小题，共90分。
2. 答第Ⅱ卷时，请认真阅读答题卡上的注意事项，将答案写在答题纸上，写在试卷上无效。
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分。共20分。）
B、 设x，y满足条件的最大值为12，则的最小值为
14. 已知=(+1，0，2)，=(6，2-1，2)，且∥，则=
15.已知数列{an}的通项公式an=11-2n，设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|，则T10的值为
16. 正方形ABCD的边长为1，点M，N分别在线段AB，AD上．若3|MN| 2＋|CM| 2＋|CN| 2＝，则|AM|＋|AN|的取值范围是 A
B
C
D
M
N
(第14题)
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）
17. (本小题满分12分)
已知三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足
=2+2
（1）证明：b=2a
（2）若c=a，求角C的大小
18. （本小题满分12分）
某地农民种植A种蔬菜，每亩每年生产成本为7000元，A种蔬菜每亩产量及价格受天
气、市场双重影响，预计明年雨水正常的概率为，雨水偏少的概率为 . 若雨水正常，A种蔬菜每亩产量为2000公斤，单价为6元/公斤的概率为，单价为3元/公斤的概率为;
若雨水偏少，A种蔬菜每亩产量为1500公斤，单价为6元/公斤的概率为 ，单价为3元/公斤的概率为.
一. 计算明年农民种植A种蔬菜不亏本的概率；
（2）在政府引导下，计划明年采取“公司加农户，订单农业”的生产模式，某公司未来不增加农民生产成本，给农民投资建立大棚，建立大棚后，产量不受天气影响，因此每亩产量为2500公斤，农民生产的A种蔬菜全部由公司收购，为保证农民的每亩预期收入增加1000元，收购价格至少为多少？
19．(本小题满分12分)
如图，四棱锥的底面是正方形，⊥平面，，点E是SD上的点，且.
（1）求证：对任意的，都有AC⊥BE；
（2）若二面角C-AE-D的大小为，求的值.
20.(本小题满分12分)
如图，过抛物线上一点P（1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点
（１） 求的值；
（２） 若，求面积的最大值。
21.(本小题满分12分)
已知．
(1) 求函数在上的最小值；
(2) 对一切，恒成立，求实数a的取值范围；
(3) 证明：对一切，都有成立．
选考题部分
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲
如图，直线AB经过⊙O上一点C，且OA=OB，CA=CB，
⊙O交直线OB于E、D.
（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；
（Ⅱ）若⊙O的半径为3，求OA的长.
23.（本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线为参数), 曲线 （为参数）.
（Ⅰ）设与相交于两点,求；
（Ⅱ）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.
24.（本小题满分10分）选修：不等式选讲
已知函数
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若关于的不等式的解集是,求的取值范围.
2013包头市第二次模拟考试 数学（理科）答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
D
C
D
D
A
B
C
D
B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 4
14.
15. 50
16.，
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17解：（12分）由已知得=2sinA+2
即
由正弦定理知b=2a ……………………（8分）
由余弦定理得，所以C= …… （12分）
18解：（12分）
（1）只有当价格为6元/公斤时，农民种植A种蔬菜才不亏本
所以农民种植A种蔬菜不亏本的概率是；…………………… （6分）
（2）按原来模式种植，设农民种植A种蔬菜每亩收入为元，则可能取值为：5000,2000，-1000，-2500.
，，，，…………………………………………………………… （10分）
，……………………………（11分）
设收购价格为元/公斤，农民每亩预期收入增加1000元，则，
即，所以收购价格至少为元/公斤. ………………（12分）
19 解：（12分）
（1）如图建立空间直角坐标系，
则，
，
∴对任意都成立，
即AC⊥BE恒成立； ………………6分
（2）显然是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
∵，
∴，
取，则，， ………………………10分
∵二面角C-AE-D的大小为，
∴，
∴为所求。 …………………………12分
20解：（12分）
⑴因为，在抛物线上，
所以， ，
同理，依题有，
因为，所以 ……………………………（6分）
⑵由⑴知，设的方程为，
到的距离为，，
所以=
， …………………………………………………（8分）
令，由，，可知．，
因为为偶函数，只考虑的情况，
记，，故在是单调增函数，故的最大值为，故的最大值为6． ……………………（12分）
21解：（12分）
(1) ，当，，单调递减，当，，单调递增．
① ，t无解；
② ，即时，；
③ ，即时，在上单调递增，；
所以． （4分）
(2) ，则，
设，则，，，单调递减，，，单调递增，所以．
因为对一切，恒成立，所以． （9分）
（3） 问题等价于证明，由⑴可知的
最小值是，当且仅当时取到．
设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立． （12分）
选做题
22.解：
（Ⅰ）如图，连接OC，∵ OA=OB，CA=CB，∴ OC⊥AB，∴ AB是⊙O的切线 ……5分
（Ⅱ）∵ ED是直径， ∴ ∠ECD=90°，Rt△BCD中，
∵ tan∠CED=, ∴ = ，
∵ AB是⊙O的切线，
∴ ∠BCD=∠E，
又 ∵ ∠CBD=∠EBC，∴ △BCD∽△BEC,
∴ == ， 设BD=x,则BC=2x，
又BC2=BD·BE， ∴ =x·（ x＋6），
解得：x1=0,x2=2, ∵ BD=x＞0, ∴ BD=2， ∴ OA=OB=BD＋OD=3＋2=5 …10分
23.解：
（I）的普通方程为的普通方程为
联立方程组解得与的交点为,,
则. …5分
（II）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是
,
由此当时,取得最小值,且最小值为. …10分
24解：
(1)由题意，令
解得或，函数的定义域为 …5分
(2) ,，即.
由题意,不等式的解集是， 则在上恒成立. 而，故. …10分
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