高中数学课时达标检测二十四函数模型的应用实例新人教A版必修.docx

课时达标检测（二十四） 函数模型的应用实例
一、选择题
1．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是(　　)
A.　　　　　　　　　B.
C.－1 D.－1
解析：选D　设每月的产量增长率为x,1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝，即x＝－1.
2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为(　　)
A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)
B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
解析：选C　由题意得y＝0.3(4 000－x)＋0.2x＝－0.1x＋1 200.
3．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是(　　)

(1)这几年生活水平逐年得到提高；
(2)生活费收入指数增长最快的一年是2011年；
(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2012年；
(4)虽然2013年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故(1)正确；“生活费收入指数”在2011～2012年最陡；故(2)正确；“生活价格指数”在2012～2013年比较平缓，故(3)不正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故(4)正确．
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　)
A．15 B．40
C．25 D．130
解析：选C　若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．故拟录用25人．
5．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了一趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是(　　)
A．[5,6) B．(5,6]
C．[6,7) D．(6,7]
解析：选B　若按x(x∈Z)千米计价，则6＋(x－2)×3＋2×3＝24，得x＝6.故实际行程应属于区间(5,6]．
二、填空题
6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
解析：当v＝12 000时，2 000·ln＝12 000，
∴ln＝6，∴＝e6－1.
答案：e6－1
7．一水池有2个进水口、1个出水口，2个进水口的进水速度如图甲、乙所示，出水口的排水速度如图丙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丁所示．

给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；
②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水．
其中一定正确的论断序号是________．
解析：从0点到3点，两个进水口的进水量为9，故①正确；由排水速度知②正确；4点到6点可以是不进水，不出水，也可以是开一个进水口(速度快的)、一个排水口，故③不正确．
答案：①②
8．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．
解析：由题意知，第一年产量为a1＝×1×2×3＝3；
以后各年产量分别为
an＝f(n)－f(n－1)
＝n(n＋1)(2n＋1)－n(n－1)(2n－1)
＝3n2(n∈N*)，
令3n2≤150，得1≤n≤5⇒1≤n≤7，
故生产期限最长为7年．
答案：7
三、解答题
9．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费40元．
(1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解：(1)租金增加了900元，900÷60＝15，
所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆．
(2)设租金提高后有x辆未租出，则已租出(100－x)辆．
租赁公司的月收益为y元，
y＝(3 000＋60x)(100－x)－160(100－x)－40x，
其中x∈[0,100]，x∈N，
整理，得y＝－60x2＋3 120x＋284 000
＝－60(x－26)2＋324 560，
当x＝26时，y＝324 560，
即最大月收益为324 560元．
此时，月租金为3 000＋60×26＝4 560(元)．
10．某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产1百件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为5百件，产品销售数量为t(百件)时，销售所得的收入为万元．
(1)该公司这种产品的年生产量为x百件，生产并销售这种产品得到的利润为当年产量x的函数f(x)，求f(x)；
(2)当该公司的年产量为多大时当年所获得的利润最大．
解：(1)当x≤5时，f(x)＝5x－x2－(0.25x＋0.5)＝－＋x－；
当x>5时，f(x)＝5×5－×52－(0.25x＋0.5)＝12－x；
所以f(x)＝
(2)当0<x≤5时，f(x)＝－＋x－＝－2＋，
故当x＝百件＝475件时，f(x)max＝(万元)；
当x>5时，f(x)＝12－x<12－<.
故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．

11．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅行团人数为x，飞机票价格为y元，
则y＝
即y＝
(2)设旅行社获利S元，
则S＝
即S＝
因为S＝900x－15 000在区间(0,30]上单调递增，当x＝30时，S取最大值12 000，
又因为S＝－10(x－60)2＋21 000在区间(30,75]上，
当x＝60时，S取最大值21 000.
故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．