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第八章 立体几何
§8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．
3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
高考主要考查空间几何体的结构和视图，柱、锥、台、球的定义与性质是基础，以它们为载体考查线线、线面、面面的关系是重点，三视图一般会在选择题、填空题中考查，以给出空间图形选择其三视图或给出三视图判断其空间图形的形式出现，考查空间想象能力．
1．棱柱、棱锥、棱台的概念
(1)棱柱：有两个面互相______，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
※注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
(2)棱锥：有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的__________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
※注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．
(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台．
※注：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
※2.棱柱、棱锥、棱台的性质
(1)棱柱的性质
侧棱都相等，侧面是______________；两个底面与平行于底面的截面是__________的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是______________；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是________．
(2)正棱锥的性质
侧棱相等，侧面是全等的__________；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个____________；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个____________；侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个____________；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个____________．
(3)正棱台的性质
侧面是全等的____________；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个____________；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个____________；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个____________．
3．圆柱、圆锥、圆台
(1)圆柱、圆锥、圆台的概念
分别以________的一边、__________的一直角边、________中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．
(2)圆柱、圆锥、圆台的性质
圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是________、___________、___________；平行于底面的截面都是__________．
4．球
(1)球面与球的概念
以半圆的______所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的________．
(2)球的截面性质
球心和截面圆心的连线________截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为______________．
5．平行投影
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________．平行投影的投影线互相__________．
6．空间几何体的三视图、直观图
(1)三视图
①空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的．三视图包括__________、__________、__________．
②三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相等．” 长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等．
(2)直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
①在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝________且∠yOz＝________．
②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝____________，∠x′O′z′＝____________．x′O′y′所确定的平面表示水平面．
③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成____________x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．
④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的__________．
⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．
注：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：(1)观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形，直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；(2)投影效果：三视图是在平行投影下画出的平面图形，用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形．
【自查自纠】
1．(1)平行 四边形 平行
(2)多边形 三角形
2．(1)平行四边形 全等 平行四边形 矩形
(2)等腰三角形 直角三角形 直角三角形
直角三角形 直角三角形
(3)等腰梯形 直角梯形 直角梯形 直角梯形
3．(1)矩形 直角三角形 直角梯形
(2)矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆
4．(1)直径 球心 (2)垂直于 d＝
5．平行投影 平行
6．(1)①正(主)视图 侧(左)视图 俯视图
(2)①90° 90° ②45°(或135°) 90°
③平行于
④一半
下列说法中正确的是( )
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
解：根据棱柱、棱锥的性质及截面性质判断，故选D.
以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )
A．球的三视图总是三个全等的圆
B．正方体的三视图总是三个全等的正方形
C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形
D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆
解：几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．故选A.
()将正方体(如图a所示)截去两个三棱锥，得到图b所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )
解：还原正方体知该几何体侧视图为正方形，AD1为实线，B1C的正投影为A1D，且B1C被遮挡为虚线．故选B.
用一张4cm×8cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱轴截面的面积为________cm2(接头忽略不计)．
解：以4cm或8cm为底面周长，所得圆柱的轴截面面积均为cm2，故填．
已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为________．
解：如图所示是实际图形和直观图．
由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图中作C′D′⊥A′B′，垂足为D′，
则C′D′＝O′C′＝a.
∴S△A′B′C′＝A′B′×C′D′＝×a×a＝a2.
故填a2.
类型一 空间几何体的结构特征
()某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
解：D选项的正视图应为如图所示的图形．
故选D.
【评析】本题主要考查空间想象能力，是近年高考中的热点题型．本题可用排除法一一验证：A，B，C都有可能，而D的正视图与侧视图不可能相同．
若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
解：从俯视图看，B，D符合，从正视图看，B不符合，D符合，而从侧视图看D也是符合的．故选D.
类型二 空间几何体的三视图
如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )
A．6 B．9
C．12 D．18
解：由三视图可知该几何体是一个斜四棱柱，高h＝＝，底面积为9，所以体积V＝9×＝9.故选B.
【评析】通过三视图考查几何体的体积运算是较为常规的考题，考生对此并不陌生．对于空间几何体的考查，从内容上看，柱、锥的定义和相关性质是基础，以它们为载体考查三视图、体积是重点．本题给出了几何体的三视图，只要掌握三视图的画法“长对正、高平齐，宽相等”，不难将其还原得到斜四棱柱．
如图所示的三个直角三角形是 一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h＝________cm.
解：由三视图可知，该几何体为三棱锥，此三棱锥的底面为直角三角形，直角边长分别为5cm，6cm，三棱锥的高为hcm，则三棱锥的体积为V＝××5×6×h＝20，解得h＝4cm.故填4.
类型三 空间多面体的直观图
如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
解：由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥．
画法：(1)画轴．如图1，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
图1
(2)画底面．利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取O′使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线
O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面A′B′C′D′.
(3)画正四棱锥顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．
(4)成图．连接PA′，PB′，PC′，PD′，A′A，B′B，C′C，D′D，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图2所示．
图2
【评析】根据三视图可以确定一个几何体的长、宽、高，再按照斜二测画法，建立x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，确定几何体在x轴、y轴、z轴方向上的长度，最后连线画出直观图．
已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为( )
A. B．6 C. D．2
解：因为四棱锥的底面直观图是一个边长为1的正方形，该正方形的对角线长为，根据斜二测画法的规则，原图底面的底边长为1，高为直观图中正方形的对角线长的两倍，即2，则原图底面积为S＝2.因此该四棱锥的体积为V＝Sh＝×2×3＝2.故选D.
类型四 空间旋转体的直观图
用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长．
解：设圆台的母线长为l，截得圆台的上、下底面半径分别为r，4r.
根据相似三角形的性质得，
＝，解得 l＝9.
所以，圆台的母线长为9cm.
【评析】用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，设相关几何变量列方程求解．
圆锥底面半径为1cm，高为cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.
解：过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD1C1如图所示. 设正方体棱长为x，则CC1＝x，C1D1＝x.作SO⊥EF于O，则SO＝，OE＝1.
∵△ECC1∽△ESO，
∴＝，即＝，
解得x＝(cm)．
故内接正方体的棱长为cm.
1．在研究圆柱、圆锥、圆台的相关问题时，主要方法就是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中容易找到这些几何体的有关元素之间的位置关系以及数量关系．
2．正多面体
(1)正四面体就是棱长都相等的三棱锥，正六面体就是正方体，连接正方体六个面的中心，可得到一个正八面体，正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成．
(2)如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，连接A1B，BC1，A1C1，DC1，DA1，DB，可以得到一个棱长为a的正四面体A1BDC1，其体积为正方体体积的.
(3)正方体与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体．它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a，球的半径为R)．
3．长方体的外接球
(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即＝2R.
(2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即a＝2R.
4．棱长为a的正四面体
(1)斜高为a；(2)高为a；(3)对棱中点连线长为a；
(4)外接球的半径为a，内切球的半径为a；
(5)正四面体的表面积为a2，体积为a3.
5．三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，对于能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．
6．一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比发生了变化，注意原图与直观图中的“三变、三不变”．
三变：坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变．
三不变：平行性不变，与x轴平行的线段长度不变，相对位置不变．
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：
S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．
1．由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是( )
A．六棱锥
B．六棱台
C．六棱柱
D．非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体
解：平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体符合棱柱的定义，故选C.
2．下列说法中，正确的是( )
A．棱柱的侧面可以是三角形
B．若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其它侧面也是矩形
C．正方体的所有棱长都相等
D．棱柱的所有棱长都相等
解：棱柱的侧面都是平行四边形，选项A错误；其它侧面可能是平行四边形，选项B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项D错误；易知选项C正确．故选C.
3．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )
A．一个圆台、两个圆锥
B．两个圆台、一个圆柱
C．两个圆台、一个圆锥
D．一个圆柱、两个圆锥
解：把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱、两个圆锥．故选D.
4．将正三棱柱截去三个角(如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )
A B C D
解：观察图形，易知图2所示几何体的侧视图为直角梯形，且EB为直角梯形的对角线．故选A.
5．()一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )
A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台
解：由俯视图可知该几何体的上、下两底面为半径不等的圆，又∵正视图和侧视图相同，∴可判断其为旋转体．故选D.
6．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为( )
A．2 B. C．2 D.
解：由三视图可知，此多面体是四棱锥，底面是边长为2的正方形，并且有一条长为2的侧棱垂直于底面，所以最长棱长为＝2.故选C.
7．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于________．
解：由正视图知，三棱柱是底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为2××2×2×＝2，侧面积为3×2×1＝6，所以其表面积为6＋2.故填6＋2.
8．如图是某个圆锥的三视图，根据图中所标尺寸可得俯视图中圆的面积为________，圆锥母线长为________．
解：由三视图可知，圆锥顶点在底面的射影是底面圆的中心，根据图中的数据，底面圆的半径为10，则俯视图中圆的面积为100π，母线长为 ＝10，故填100π；10.
9．如图a是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图．
解：图a中几何体三视图如图b所示：
10．如图1是某几何体的三视图，试说明该几何体的结构特征，并用斜二测画法画出它的直观图．
解：图1中几何体是由上部为正六棱柱，下部为倒立的正六棱锥堆砌而成的组合体．
斜二测画法：(1)画轴．如图2，画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝∠yOz＝90°.
(2)画底面，利用斜二测画法画出底面ABCDEF，在z轴上截取O′，使OO′等于正六棱柱的高，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面A′B′C′D′E′F′.
(3)画正六棱锥顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于正六棱锥的高．
(4)成图．连接PA′，PB′，PC′，PD′，PE′，PF′，AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图3所示．
注意：图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
11．某长方体的一条对角线长为，在该长方体的正视图中，这条对角线的投影长为，在该长方体的侧视图与俯视图中，这条对角线的投影长分别为a和b，求ab的最大值．
解：如图，则有
AC1＝，DC1＝，
BC1＝a，AC＝b，
设AB＝x，AD＝y，AA1＝z，有
x2＋y2＋z2＝7，x2＋z2＝6，∴y2＝1.
∵a2＝y2＋z2＝z2＋1，b2＝x2＋y2＝x2＋1，
∴a＝，b＝.
∴ab＝≤＝4，
当且仅当z2＋1＝x2＋1，即x＝z＝时，ab的最大值为4.
水以匀速注入某容器中，容器的三视图如图所示，其中与题中容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象是( )
解：由三视图知其直观图为两个圆台的组合体，水是匀速注入的，所以水面高度随时间变化的变化率先逐渐减小后逐渐增大，又因为容器的对称性，所以函数图象关于一点中心对称．故选C.
§8.2 空间几何体的表面积与体积
1．了解棱柱、棱锥、台、球的表面积和体积的计算公式．
2．会利用公式求一些简单几何体的表面积与体积．
高考主要考查空间几何体的侧面积、表面积、体积以及相关元素的关系与计算，这些内容常与三视图相结合，以选择题、填空题的形式出现，也可能以空间几何体为载体，考查线面关系、侧面积、表面积以及体积．
1．柱体、锥体、台体的表面积
(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
S直棱柱侧＝__________，S正棱锥侧＝__________，S正棱台侧＝__________(其中C，C′为底面周长，h为高，h′为斜高)．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积
S圆柱侧＝________，S圆锥侧＝________，S圆台侧＝________
(其中r，r′为底面半径，l为母线长)．
(3)柱或台的表面积等于________与__________的和，锥体的表面积等于________与__________的和．
2．柱体、锥体、台体的体积
(1)棱柱、棱锥、棱台的体积
V棱柱＝__________，V棱锥＝__________，V棱台＝__________
(其中S，S′为底面积，h为高)．
(2)圆柱、圆锥、圆台的体积
V圆柱＝__________，V圆锥＝__________，V圆台＝__________
(其中r，r′为底面半径，h为高)．
3．球的表面积与体积
(1)半径为R的球的表面积S球＝________．
(2)半径为R的球的体积V球＝________.
【自查自纠】
1．(1)Ch Ch′ h′
(2)2πrl πrl π(r＋r′)l
(3)侧面积 两个底面积 侧面积 一个底面积
2．(1)Sh Sh h
(2)πr2h πr2h πh
3．(1)4πR2 (2)πR3
圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为( )
A．6π(4π＋3)
B．8π(3π＋1)
C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)
D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)
解：分两种情况：①以边长为6π的边为高时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，r＝2，∴S底＝πr2＝4π，S侧＝6π×4π＝24π2，S表＝2S底＋S侧＝8π＋24π2＝8π(3π＋1)；②以边长为4π的边为高时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，r＝3.∴S底＝πr2＝9π，S表＝2S底＋S侧＝18π＋24π2＝6π(4π＋3)．故选C.
正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
解：∵正三棱锥的侧面均为直角三角形，故侧面为等腰直角三角形，且直角顶点为棱锥的顶点，∴侧棱长为，V＝××()2×＝.故选C.
已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则圆柱的体积与球体积之比为( )
A．1∶2 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2
解：设球半径为R，圆柱底面半径为R，高为2R.∵V球＝πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，∴V圆柱∶V球＝3∶2.故选D.
长方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB＝2，AD＝，AA1＝1，则球面面积为________．
解：∵长方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，则外接球的直径是长方体的体对角线，而长方体的体对角线的长为＝2，∴半径R＝.
∴S球＝4πR2＝8π.故填8π.
若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为____________．
解：设圆锥底面半径为r，母线长为l，则有从而可知圆锥的高h＝＝＝.∴V＝×π×＝π.故填π.
类型一 空间几何体的面积问题
如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)若BD＝1，求三棱锥DABC的表面积．
解：(1)证明：∵折起前AD是BC边上的高，
∴沿AD把△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥BD.
又DB∩DC＝D，∴AD⊥ 平面BDC.
又∵AD⊂平面ADB，∴平面ADB⊥ 平面BDC.
(2)由(1)知，DA⊥BD，BD⊥DC，DC⊥DA，
DB＝DA＝DC＝1，∴AB＝BC＝CA＝.
从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝×1×1＝，
S△ABC＝×××sin60°＝.
∴三棱锥DABC的表面积S＝×3＋＝.
【评析】充分运用图形在翻折前后的不变性，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变等，再由面面垂直的判定定理进行推理证明，然后再计算．
()已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是____________．
解：由三视图可知该组合体为球内接一个棱长为2的正方体，∴正方体的体对角线为球的直径2r＝＝2，S球＝4πr2＝12π.故填12π.
类型二 空间旋转体的面积问题
如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______．
解：如图，设球的一条半径与圆柱相应的母线的夹角为α，圆柱侧面积S＝2π×4sinα×2×4cosα＝32πsin2α，当α＝时，S取最大值32π，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32π.故填32π.
【评析】根据球的性质，内接圆柱上、下底面中心连线的中点为球心，且圆柱的上、下底面圆周均在球面上，球心和圆柱的上、下底面圆上的点的连线与母线的夹角相等，这些为我们建立圆柱的侧面积与上述夹角之间的函数关系提供了依据．
()一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____________．
解：由三视图知该几何体为长4宽3高1的长方体的中间挖去一个半径为1高为1的圆柱所成几何体，所以表面积为2×(4×3＋4×1＋3×1)－2×π×12＋2π×1×1＝38.故填38.
类型三 空间多面体的体积问题
一个正三棱锥(底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)的底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥的体积．
解：如图所示为正三棱锥SABC，设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．
连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.
∵△ABC是边长为6的正三角形，
∴AE＝×6＝3，AH＝AE＝2.
在△ABC中，S△ABC＝BC×AE＝×6×3＝9，
在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2，
∴SH＝＝＝.
∴V正三棱锥＝×S△ABC×SH＝×9×＝9.
【评析】(1)求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V＝Sh进行计算．(2)求空间几何体体积的常用方法为割补法和等积变换法：①割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积；②等积变换法：特别的，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”．
如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( )
A. B. C. D.
解：如图，过A，B两点分别作AM，BN垂直于EF，垂足分别为M，N，连接DM，CN，可证得DM⊥EF，CN⊥EF，则多面体ABCDEF分为三部分，即多面体的体积VABCDEF＝VAMDBNC＋VEAMD＋VFBNC.
依题意知AEFB为等腰梯形．
易知Rt△DMERt△CNF，∴EM＝NF＝.
又BF＝1，∴BN＝.
作NH垂直于BC，则H为BC的中点，∴NH＝.
∴S△BNC＝·BC·NH＝.
∴VFBNC＝·S△BNC·NF＝，
VEAMD＝VFBNC＝，VAMDBNC＝S△BNC·MN＝.
∴VABCDEF＝，故选A.
类型四 空间旋转体的体积问题
某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )
A．8－ B．8－
C．8－2π D．
解：由三视图知几何体为一个正方体中间去掉一个圆锥，所以它的体积是V＝23－×π×12×2＝8－π.故选A.
【评析】根据已知三视图想象出该几何体的直观图，然后分析该几何体的组成，再用对应的体积公式进行计算．
()已知某几何体的三视图如图所示，其中，正(主)视图、侧(左)视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与其内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
解：由三视图可得该几何体的上部是一个三棱锥，下部是半球，根据三视图中的数据可得V＝×π×＋××1＝＋.故选C.
1．几何体的展开与折叠
(1)几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得的，利用空间问题平面化的思想，把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法．
(2)多面体的展开图
①直棱柱的侧面展开图是矩形；
②正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多边形；
③正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多边形．
(3)旋转体的展开图
①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线长；
②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长；
③圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长．
注：①圆锥中母线长l与底面半径r和展开图扇形中半径和弧长间的关系及符号容易混淆，同学们应多动手推导，加深理解．②圆锥和圆台的侧面积公式S圆锥侧＝cl和S圆台侧＝(c′＋c)l与三角形和梯形的面积公式在形式上相同，可将二者联系起来记忆．
2．空间几何体的表面积的计算方法
有关空间几何体的表面积的计算通常是将空间图形问题转化为平面图形问题，这是解决立体几何问题常用的基本方法．
(1)棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积可以分别求各面面积，再求和，对于直棱柱、正棱锥、正棱台也可直接利用公式；
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算其侧面积时需将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和；
(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理．
3．空间几何体的体积的计算方法
(1)计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．
(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、还台为锥法等，它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法，应熟练掌握．
(3)利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高，通过将其顶点和底面进行转化，借助体积的不变性解决问题．
4．由几何体的三视图求几何体的表面积与体积问题，一般按如下三个步骤求解：
(1)由三视图想象出原几何体的形状；
(2)由三视图给出的数量关系确定原几何体的数量关系；
(3)如果是规则几何体，直接代入公式求解，如果不是规则几何体，通过“割补”后，转化为规则几何体求解．
1．已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥体积为( )
A. B.π C. D.π
解：易知圆锥的底面直径为2，母线长为2，则该圆锥的高为＝，因此其体积是π·12×＝.故选C.
2．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体对角线的长是( )
A．2 B．3 C．6 D.
解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有ab＝，ac＝，bc＝，解得a＝1，b＝，c＝，则长方体的体对角线的长l＝＝.故选D.
3．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．2π＋2 B．4π＋2
C．2π＋ D．4π＋
解：该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，正四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×()2×＝.所以该几何体的体积为2π＋.故选C.
4．将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，得到四面体ABCD，则四面体ABCD的外接球的表面积为( )
A．25π B．50π C．5π D．10π
解：由题设知AC为外接球的直径，∴2R＝＝5，S表＝4πR2＝4π×＝25π.故选A.
5．设M，N是球O半径OP上的两点，且NP＝MN＝OM，分别过N，M，O作垂直于OP的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为( )
A．3∶5∶6 B．3∶6∶8
C．5∶7∶9 D．5∶8∶9
解：设球的半径为R，以N，M为圆心的圆的半径分别为r1，r2.由题知M，N是OP的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方比，在球的轴截面图中求得r＝R2－2＝，r＝R2－2＝，故三个圆的半径的平方比为∶∶R2＝5∶8∶9 ，故选D.
6．()已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
解法一：△ABC的外接圆的半径r＝，点O到面ABC的距离d＝＝，SC为球O的直径⇒点S到面ABC的距离为2d＝.故此棱锥的体积为V＝S△ABC×2d＝××＝.
解法二：V<S△ABC×2R＝，排除B，C，D，故选A.
7．已知某几何体的三视图如图所示，其中侧(左)视图是等腰直角三角形，正(主)视图是直角三角形，俯视图ABCD是直角梯形，则此几何体的体积为_____________．
解：由三视图知，该几何体为底面是直角梯形，有一侧棱垂直底面的四棱锥，此几何体的体积为×(2＋4)×2××2＝4.故填4.
8．()如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1∶V2＝____________．
解：设该三棱柱的高为h，则V1＝S△ADE＝×S△ABC×＝V2，故V1∶V2＝1∶24.故填1∶24.
9．如图所示，球面上有四个点P，A，B，C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的表面积．
解：∵PA，PB，PC两两互相垂直，
且PA＝PB＝PC＝a，
∴可作一正方体以P，A，B，C为顶点，此时正方体的外接球即为三棱锥PABC的外接球．
∴2R＝a，即R＝a.
∴S球＝4πR2＝4π×＝3πa2.
10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
解：由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥PABCD.
(1)V＝×(8×6)×4＝64.
(2)该四棱锥有两个侧面PAD，PBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1＝＝4，
另两个侧面PAB，PCD也是全等的等腰三角形，
AB边上的高为h2＝＝5，
因此S＝2＝40＋24.
11．一个圆锥的底面半径为R＝2，高为H＝6，在这个圆锥内部有一个高为x的内接圆柱．当x为何值时，圆柱的表面积最大？最大值是多少？
解：如图是圆锥的轴截面，设圆柱的底面半径为r，
则＝，解得r＝R－x＝2－x.
∴圆柱的表面积
S＝2π＋2πx
＝2π.
∴S是x的二次函数，且开口向下．
∴当x＝时，S取得最大值9π.
()一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )
A．V1<V2<V4<V3 B．V1<V3<V2<V4
C．V2<V1<V3<V4 D．V2<V3<V1<V4
解：由已知条件及三视图可知，该几何体从上到下依次是圆台，圆柱，正方体，棱台，则V1＝×1×(π＋＋4π)＝，V2＝π×12×2＝2π，V3＝23＝8，V4＝×1×＝.综上可知，V2<V1<V3<V4.故选C.
§8.3 空间点、线、面之间的位置关系
1．理解空间直线、平面位置关系的定义．
2．了解可以作为推理依据的公理和定理．
3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．
本节内容在高考中常以几何体为载体，考查平面的基本性质、空间两直线的位置关系的判定及运用，特别是异面直线的概念、所成角的计算等．题型多以选择、填空的形式出现，有时也出现在解答题
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