面积法解题.doc

面积法解题举隅夏正春（江苏省教师培训中心“金箔杯”论文二等奖）许多数学问题，表面上看来似与面积无关，但灵活运用面积法，往往能使问题顺利获解，下面举例介绍面积法的运用。一. 用面积法证线段相等例1. 已知：如图1，AD是ABC的中线，CFAD于F，BEAD交AD的延长线于E。求证：CF=BE。图1证明：连结EC，由BD=DC得，两式两边分别相加，得故所以BE=CF。注：直接由得更简洁。二. 用面积法证两角相等例2. 如图2，C是线段AB上的一点，ACD、BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O。求证：AOC=BOC。图2证明：过点C作CPAE，CQBD，垂足分别为P、Q。因为ACD、BCE都是等边三角形，所以AC=CD，CE=CB，ACD=BCE，所以ACE=DCB所以ACEDCB所以AE=BD，可得CP=CQ所以OC平分AOB即AOC=BOC三. 用面积法证线段不等例3. 如图3，在ABC中，已知ABAC，A的平分线交BC于D。求证：BDCD。图3证明：过点D分别作DEAB、DFAC，垂足分别为E、F设BC边上的高为h。因为BAD=DAC所以DE=DF因为且ADAC所以即所以BDCD四. 用面积法证线段的和差例4. 已知：如图4，设等边ABC一边上的高为h，P为等边ABC内的任意一点，PDBC于D，PEAC于E，PFAB于F。求证：PE+PF+PD=h。图4证明：连结PA、PB、PC因为，又所以。因为ABC是等边三角形所以即PE+PF+PD=h五. 用面积法证比例式或等积式例5. 如图5，AD是ABC的角的平分线。求证：。图5证明：过D点作DEAB，DFAC，垂足分别为E、F。因为AD是ABC的角的平分线，所以DE=DF，则有。过A点作AHBC，垂足为H，则有即六. 用面积比求线段的比例6. 如图6，在ABC中，已知BC、AC边上的中线AD、BF交于M。求证：。图6证明：连结CM，过B作BGAD交AD延长线于G，则，所以。又，所以，所以。