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2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．（5分）已知全集U＝R，M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|x（x+2）＜0}，则图中阴影部分表示的集合是（　　）
A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1}
2．（5分）若复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，其中m是实数，则1z=（　　）
A．i B．﹣i C．2i D．﹣2i
3．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7+a8+a9＝（　　）
A．144 B．81 C．45 D．63
4．（5分）设函数f（x）＝cos（x+π6），则下列结论错误的是（　　）
A．f（x）的一个周期为2π
B．y＝f（x）的图象关于直线x=-π6对称
C．f（x+π3）的一个零点为π
D．f（x）在（2π3，π）上单调递减
5．（5分）下列说法中，正确的是（　　）
A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题
B．命题“∃x0＞0，x02﹣x0＞0”的否定是：“∀x＞0，x2﹣x≤0”
C．命题p∨q为真命题，则命题p和命题q均为真命题
D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件
6．（5分）若函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足2f（x）﹣g（x）＝ex，则（　　）
A．f（﹣2）＜f（﹣3）＜g（﹣1） B．g（﹣1）＜f（﹣3）＜f（﹣2）
C．f（﹣2）＜g（﹣1）＜f（﹣3） D．g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）
7．（5分）在△ABC中，|AB→+AC→|=3|AB→-AC→|，|AB→|＝|AC→|＝3，则CB→⋅CA→=（　　）
A．3 B．﹣3 C．92 D．-92
8．（5分）安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（　　）
A．360种 B．300种 C．150种 D．125种
9．（5分）如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：
①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；
③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．
其中正确的结论个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝3B，则ab的取值范围是（　　）
A．（0，3） B．（1，3） C．（0，1] D．（1，2]
11．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若AB→⋅BF2→=0，且∠F1AF2＝150°，则e2＝（　　）
A．7﹣23 B．7-3 C．7+3 D．7+23
12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）＝f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+12x2，则f（x）的单调递增区间为（　　）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）
13．（5分）某城市为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论正确是　 　（填序号）．
①月接待游客量逐月增加；②年接待游客量逐年增加；
③各年的月接待游客量髙峰期大致在7，8月份；
④各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳．
14．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且MF⊥x轴．若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则p＝　 　．
15．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的体积为2，△ABC是等腰直角三角形，其斜边AC＝2，且三棱锥D﹣ABC的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的体积为　 　．
16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC外接圆的圆心，若a=3，且c+23cosC＝2b，AO→=mAB→+nAC→，则m+n的最大值为　 　．
三、解答题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题，共60分．
17．（12分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＜2，an＞0，6Sn＝an2+3an+2，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若对∀n∈N*，bn＝（﹣1）nan2，求数列{bn}的前2n项的和T2n．
18．（12分）如图，已知等边△ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，M为EF的中点，N为BC边上一点，且CN=14BC，将△AEF沿EF折到△A′EF的位置，使平面A′EF⊥平面EFCB．
（1）求证：平面A′MN⊥平面A′BF；
（2）求二面角E﹣A′F﹣B的余弦值．

19．（12分）已知抛物线y2＝4x的焦点F与椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个焦点重合，且点F关于直线y＝x的对称点在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点Q（0，-13）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．
20．（12分）随着网络信息化的高速发展，越来越多的大中小企业选择做网络推广，为了适应时代的发展，某企业引进一种通讯系统，该系统根据部件组成不同，分为系统A和系统B，其中系统A由5个部件组成，系统B由3个部件组成，每个部件独立工作且能正常运行的概率均为p（0＜p＜1），如果构成系统的部件中至少有一半以上能正常运行，则称系统是“有效”的．
（1）若系统A与系统B一样有效（总体有效概率相等），试求p的值；
（2）若p=12对于不能正常运行的部件，称为坏部件，在某一次检测中，企业对所有坏部件都要进行维修，系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，系统B中第n个坏部件的维修费用y（单位：元）满足关系y＝50n+150（n＝1，2，3），记企业支付该通讯系统维修费用为X，求EX．
21．（12分）已知函数f（x）＝axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝3x﹣e．
（1）求a，b的值及函数f（x）的极值；
（2）若m∈Z．且f（x）﹣m（x﹣1）＞0对任意的x＞1恒成立，求m的最大值．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+cosαy=1+sinα（α为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ-π4）=22t（t∈R）．
（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；
（2）若π≤α≤2π，当曲线C1与曲线C2有两个公共点时，求t的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x|+|2x+3|+m（m∈R）．
（1）当m＝﹣2时，求不等式f（x）≤3的解集；
（2）若∀x∈（﹣∞，0），都有f（x）≥x+2x恒成立，求m的取值范围．

2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．（5分）已知全集U＝R，M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|x（x+2）＜0}，则图中阴影部分表示的集合是（　　）
A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1}
【解答】解：图中阴影部分为N∩（∁UM），
∵M＝{x|x＜﹣1}，∴∁UM＝{x|x≥﹣1}，
又N＝{x|x（x+2）＜0}＝{x|﹣2＜x＜0}，
∴N∩（∁UM）＝{x|﹣1≤x＜0}，
故选：A．
2．（5分）若复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，其中m是实数，则1z=（　　）
A．i B．﹣i C．2i D．﹣2i
【解答】解：复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，故m（m﹣1）＝0且（m﹣1）≠0，
解得m＝0，故z＝﹣i，故1z=-1i=-1⋅ii⋅i=i．
故选：A．
3．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7+a8+a9＝（　　）
A．144 B．81 C．45 D．63
【解答】解：由等比数列的性质可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6，…成等比数列，并设其公比为q，
又由题意可得S3＝9，S6﹣S3＝36﹣9＝27，
∴q=279=3，
∴a7+a8+a9＝S9﹣S6＝27×3＝81．
故选：B．
4．（5分）设函数f（x）＝cos（x+π6），则下列结论错误的是（　　）
A．f（x）的一个周期为2π
B．y＝f（x）的图象关于直线x=-π6对称
C．f（x+π3）的一个零点为π
D．f（x）在（2π3，π）上单调递减
【解答】解：由函数f（x）＝cos（x+π6），知：
在A中，由余弦函数的周期性得f（x）的一个周期为2π，故A正确；
在B中，函数f（x）＝cos（x+π6）的对称轴满足条件x+π6=kπ，即x＝kπ-π6，k∈Z，
∴y＝f（x）的图象关于直线x=-π6对称，故B正确；
在C中，f（x+π3）＝cos（x+π2）＝﹣sinx，﹣sinπ＝0，
∴f（x+π3）的一个零点为π，故C正确；
在D中，函数f（x）＝cos（x+π6）在（2π3，π）上单调先减后增，故D错误．
故选：D．
5．（5分）下列说法中，正确的是（　　）
A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题
B．命题“∃x0＞0，x02﹣x0＞0”的否定是：“∀x＞0，x2﹣x≤0”
C．命题p∨q为真命题，则命题p和命题q均为真命题
D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件
【解答】A“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，m＝0时不正确；
B中“∃x∈R，x2﹣x＞0”为特称命题，否定时为全称命题，结论正确；
C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可，错误；
D应为必要不充分条件．
故选：B．
6．（5分）若函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足2f（x）﹣g（x）＝ex，则（　　）
A．f（﹣2）＜f（﹣3）＜g（﹣1） B．g（﹣1）＜f（﹣3）＜f（﹣2）
C．f（﹣2）＜g（﹣1）＜f（﹣3） D．g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）
【解答】解：函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足2f（x）﹣g（x）＝ex，
则2f（﹣x）﹣g（﹣x）＝e﹣x，即2f（x）+g（x）＝e﹣x，与2f（x）﹣g（x）＝ex，联立解得：
f（x）=ex+e-x4，g（x）=e-x-ex2．
则函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减．
函数g（x）在R上单调递减．
∴g（﹣1）＜g（0）＝0＜12=f（0）＜f（﹣2）＜f（﹣3），
即g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3），
故选：D．
7．（5分）在△ABC中，|AB→+AC→|=3|AB→-AC→|，|AB→|＝|AC→|＝3，则CB→⋅CA→=（　　）
A．3 B．﹣3 C．92 D．-92
【解答】解：由平面向量的平行四边形法则得到，在△ABC中，|AB→+AC→|=3|AB→-AC→|，|AB→|＝|AC→|＝3，如图，设|OC|＝x，则|OA|=3x，所以|AO|2+|OC|2＝|AC|2即3x2+x2＝9，解得x=32，
所以|BC|＝3，所以△ABC为等边三角形，所以CB→⋅CA→=3×3×12=92；
故选：C．

8．（5分）安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（　　）
A．360种 B．300种 C．150种 D．125种
【解答】解：分2步分析：
先将5名学生分成3组，由两种分组方法，
若分成3、1、1的三组，有C53＝10种分组方法，
若分成1、2、2的三组，有C51C42C22A22=15种分组方法，
则一共有10+15＝25种分组方法；
再将分好的三组全排列，对应三个社区，有A33＝6种情况，
则有25×6＝150种不同的安排方式；
故选：C．
9．（5分）如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：
①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；
③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．
其中正确的结论个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：画出几何体的图形，如图，
由题意可知，①直线BE与直线CF异面，不正确，
因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，
所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；
②直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．
③直线EF∥平面PBC；由E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，
∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以判断是正确的．
④因为△PAB与底面ABCD的关系不是垂直关系，BC与平面PAB的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．
故选：C．

10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝3B，则ab的取值范围是（　　）
A．（0，3） B．（1，3） C．（0，1] D．（1，2]
【解答】解：∵A＝3B，
∴由正弦定理得：ab=sinAsinB=sin3BsinB=sinBcos2B+cosBsin2BsinB=cos2B+2cos2B＝2cos2B+1，
∵B+A＜180°，即4B＜180°，
∴0＜B＜45°，即0＜2B＜90°，
∴0＜cos2B＜1，即1＜2cos2B+1＜3，
则 ab的取值范围为（1，3）．
故选：B．
11．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若AB→⋅BF2→=0，且∠F1AF2＝150°，则e2＝（　　）
A．7﹣23 B．7-3 C．7+3 D．7+23
【解答】解：∵AB→⋅BF2→=0，∴AB⊥BF2，
∵∠F1AF2＝150°，∴∠BAF2＝30°，
设|BF2|＝x，则|BF1|＝x+2a，|AF2|＝2x，|AB|=3x，
∴|AF1|＝|BF1|﹣|AB|＝x+2a-3x，
又|AF2|﹣|AF1|＝2a，
∴2x﹣（x+2a-3x）＝2a，解得x＝2（3-1）a．
∴|BF1|＝23a，|BF2|＝2（3-1）a，
在Rt△BF1F2中，由勾股定理可得：12a2+[（23-2）a]2＝4c2，
即（7﹣23）a2＝c2，
∴e2=c2a2=7﹣23．
故选：A．

12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）＝f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+12x2，则f（x）的单调递增区间为（　　）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞）
【解答】解：f（x）＝f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+12x2，
两边求导得，f′（x）＝f′（1）ex﹣1﹣f（0）+x，
令x＝1，得f′（1）＝f′（1）e0﹣f（0）+1，解得f（0）＝1，
所以f（0）＝f′（1）e0﹣1﹣f（0）•0+0＝1，得f′（1）＝e．
所以f′（x）＝ex﹣1+x，
因为y＝ex递增，y＝x﹣1递增，所以f′（x））＝ex﹣1+x递增，
又f′（0）＝0，
所以由f′（x）＞0，解得x＞0，即f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）
13．（5分）某城市为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论正确是　②③④　（填序号）．
①月接待游客量逐月增加；②年接待游客量逐年增加；
③各年的月接待游客量髙峰期大致在7，8月份；
④各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳．
【解答】解：由折线图得：
在①中，月接待游客量逐月波动，故①错误；
在②中，年接待游客量逐年增加，故②正确；
在③中，各年的月接待游客量髙峰期大致在7，8月份，故③正确；
在④中，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，
波动性更小，变化比较平稳，故④正确．
故答案为：②③④．
14．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且MF⊥x轴．若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则p＝　22　．
【解答】解：把x=p2代入y2＝2px可得y＝±p，不妨设M在第一象限，
则M（p2，p），
又A（-p2，0），∴直线AM的方程为y＝x+p2，即x﹣y+p2=0，
∴原点O到直线AM的距离d=p22=2p4，
∵以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，
∴p24=p28+1，解得p＝22．
故答案为：22．

15．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的体积为2，△ABC是等腰直角三角形，其斜边AC＝2，且三棱锥D﹣ABC的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的体积为　40103π　．
【解答】解：如下图所示，

取AC的中点E，连接OE，由于O为AD的中点，E为AC的中点，则OE∥CD，
∵AC为等腰直角三角形ABC的斜边，所以，点E为△ABC外接圆圆心，
且O为三棱锥D﹣ABC外接球的球心，所以OE⊥平面ABC，所以，CD⊥平面ABC，
∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边AC＝2，所以，AB＝BC=2，则△ABC的面积为S△ABC=12AB⋅BC=1，
由锥体体积公式可得VD-ABC=13S△ABC⋅CD=13×1×CD=2，∴CD＝6，
所以，AD=AC2+CD2=210，则球O的半径为R=12AD=10，
因此，球O的体积为43πR3=43π×(10)3=40103π．
故答案为：40103π．
16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC外接圆的圆心，若a=3，且c+23cosC＝2b，AO→=mAB→+nAC→，则m+n的最大值为　23　．
【解答】解：△ABC中，a=3，且c+23cosC＝2b，
∴c+2acosC＝2b，
∴sinC+2sinAcosC＝2sinB，
∴sinC+2sinAcosC＝2（sinAcosC+cosAsinC），
∴sinC＝2cosAsinC，
C∈（0，π），
∴sinC≠0，
∴cosA=12，
A∈（0，π），
∴A=π3，
由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
即为3＝b2+c2﹣bc，
由2R=asinA=332=2，即R＝1，可得外接圆的半径为1，
AO→=mAB→+nAC→，可得AO→•AB→=mAB→2+nAC→•AB→，
化为12c2＝mc2+12nbc，
同理可得为12b2=12mbc+nb2，
解得m=2c-b3c，n=2b-c3b，
即有m+n=43-13（bc+cb）
≥43-13•2bc⋅cb=23，当且仅当b＝c=3时，取得最大值23，
故答案为：23．
三、解答题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题，共60分．
17．（12分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＜2，an＞0，6Sn＝an2+3an+2，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若对∀n∈N*，bn＝（﹣1）nan2，求数列{bn}的前2n项的和T2n．
【解答】解：（1）6Sn=an2+3an+2，n∈N*．
n≥2时，6an＝6Sn﹣6Sn﹣1=an2+3an+2﹣（an-12+3an-1+2），化为：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）＝0，
∵an＞0，∴an﹣an﹣1＝3，
n＝1时，6a1=a12+3a1+2，且a1＜2，解得a1＝1．
∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为3．
∴an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2．
（2）bn＝（﹣1）nan2=（﹣1）n（3n﹣2）2．
∴b2n﹣1+b2n＝﹣（6n﹣5）2+（6n﹣2）2＝3（12n﹣7）＝36n﹣21．
∴数列{bn}的前2n项的和T2n＝36（1+2+……+n）﹣21n=36×n(n+1)2-21n＝18n2﹣3n．
18．（12分）如图，已知等边△ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，M为EF的中点，N为BC边上一点，且CN=14BC，将△AEF沿EF折到△A′EF的位置，使平面A′EF⊥平面EFCB．
（1）求证：平面A′MN⊥平面A′BF；
（2）求二面角E﹣A′F﹣B的余弦值．

【解答】（1）证明：如图所示，取BC的中点G，连接MG，则MG⊥EF，
∵平面A′EF⊥平面EFCB，平面A′EF∩平面EFCB＝EF，
∴MG⊥平面A′EF，∴MG⊥A′M，又A′M⊥EF，
因此可以建立空间直角坐标系．不妨设BC＝4．
M（0，0，0），A′（0，0，3），N（﹣1，3，0），B（2，3，0），F（﹣1，0，0）．
MA′→=(0，0，3)，FA′→=(1，0，3)，MN→=(-1，3，0)，FB→=(3，3，0)．
设平面A′MN的法向量为m→=（x，y，z），
由m→⋅MA′→=3z=0m→⋅MN→=-x+3y=0，可取m→=（3，1，0）．
同理可得平面A′BF的法向量n→=（3，﹣3，﹣1）．
∴m→⋅n→=3﹣3+0＝0，∴m→⊥n→，
∴平面A′MN⊥平面A′BF；
（2）解：由（Ⅰ）可得平面A′BF的法向量n→=（3，﹣3，﹣1）．
取平面EA′F的法向量h→=（0，1，0）．
cos＜n→，h→＞=n→⋅h→|n→||h→|=-31×13=-31313
由图可知：二面角E﹣A′F﹣B的平面角为锐角，
∴二面角E﹣A′F﹣B的平面角的余弦值为31313

19．（12分）已知抛物线y2＝4x的焦点F与椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个焦点重合，且点F关于直线y＝x的对称点在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点Q（0，-13）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由抛物线的焦点可得：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），
点F关于直线y＝x的对称点为（0，1），
故b＝1，c＝1，
因此a=2，
∴椭圆方程为：x22+y2=1．
（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点．
当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为：x2+y2＝1 ①
当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为：x2+(y+13)2=169②
联立①②得，x=0y=1，∴定点M（0，1）．
证明：设直线l：y=kx-13，代入x22+y2=1，
有(2k2+1)x2-43kx-169=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
x1+x2=4k3(2k2+1)，x1x2=-169(2k2+1)．
则MA→=(x1，y1-1)，MB→=（x2，y2﹣1）；
MA→⋅MB→=x1x2+(kx1-43)(kx2-43)=（1+k2）x1x2-43k(x1+x2)+169
=(1+k2)⋅-169(2k2+1)-43k⋅4k3(2k2+1)+169=0，
在y轴上存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个定点．
20．（12分）随着网络信息化的高速发展，越来越多的大中小企业选择做网络推广，为了适应时代的发展，某企业引进一种通讯系统，该系统根据部件组成不同，分为系统A和系统B，其中系统A由5个部件组成，系统B由3个部件组成，每个部件独立工作且能正常运行的概率均为p（0＜p＜1），如果构成系统的部件中至少有一半以上能正常运行，则称系统是“有效”的．
（1）若系统A与系统B一样有效（总体有效概率相等），试求p的值；
（2）若p=12对于不能正常运行的部件，称为坏部件，在某一次检测中，企业对所有坏部件都要进行维修，系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，系统B中第n个坏部件的维修费用y（单位：元）满足关系y＝50n+150（n＝1，2，3），记企业支付该通讯系统维修费用为X，求EX．
【解答】解：（1）∵系统A与系统B一样有效（总体有效概率相等），
∴C53p3(1-p)2+C54p4(1-p)+C55p5=C32p2(1-p)+C33p3，
整理得：2p3﹣5p2+4p﹣1＝p（p2﹣5p+4）+p3﹣1＝（p﹣1）2（2p﹣1）＝0，
解得p＝1（舍）或p=12，
故p的值为12．
（2）系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，
系统B中第n个坏部件的维修费用y（单位：元）满足关系y＝50n+150（n＝1，2，3），
记企业支付该通讯系统维修费用为X，
考虑系统A的维修费用可能为0，100、200、300、400、500元；
系统B的维修费用可能为0；200，250，300；450，500，550；750元；
可得EX=C50•（12）8（0+200+250+300+450+500+550+750）
+C51•1256（100+300+350+400+550+600+650+850）
+C52•1256（200+400+450+500+650+700+750+950）
+C53•1256（300+500+550+600+750+800+850+1050）
+C54•1256（400+600+650+700+850+900+950+1150）
+C55•1256（500+700+750+800+950+1000+1050+1250）
=3000256+19000256+46000256+54000256+31000256+7000256=625（元）
21．（12分）已知函数f（x）＝axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝3x﹣e．
（1）求a，b的值及函数f（x）的极值；
（2）若m∈Z．且f（x）﹣m（x﹣1）＞0对任意的x＞1恒成立，求m的最大值．
【解答】解：（1）f（x）＝axlnx﹣bx，f′（x）＝alnx+a﹣b，
∵函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝3x﹣e，
∴ae-be=2e2a-b=3，解得a＝1，b＝﹣1．
∴f（x）＝xlnx+x，则f′（x）＝lnx+2，
由f′（x）＝lnx+2＝0，得x=1e2．
∴当x∈（0，1e2）时，f′（x）＜0，当x∈（1e2，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（0，1e2）上为减函数，在（1e2，+∞）上为增函数，
则当x=1e2时，函数f（x）取得极小值为f（1e2）=1e2⋅ln1e2+1e2=-1e2；
（2）当x＞1时，
由f（x）﹣m（x﹣1）＞0，得m＜f(x)x-1．
令g（x）=f(x)x-1=xlnx+xx-1，
则g′（x）=x-2-lnx(x-1)2，
设h（x）＝x﹣2﹣lnx，则h′（x）＝1-1x=x-1x＞0，
h（x）在（1，+∞）上为增函数，
∵h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣ln4＞0，
∴∃x0∈（3，4），且h（x0）＝0，
当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在（1，x0）上单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）上单调递增．
∴g（x）min＝g（x0）=x0lnx0+x0x0-1，
∵h（x0）＝x0﹣2﹣lnx0＝0，
∴x0﹣1＝1+lnx0，g（x0）＝x0，
∴m＜x0∈（3，4），∴m的最大值为3．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+cosαy=1+sinα（α为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ-π4）=22t（t∈R）．
（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；
（2）若π≤α≤2π，当曲线C1与曲线C2有两个公共点时，求t的取值范围．
【解答】解：（1）由x=1+cosαy=1+sinα，得x-1=cosαy-1=sinα，
两式平方相加得：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1；
由ρcos（θ-π4）=22t，得ρcosθcosπ4+ρsinθsinπ4=22t，
∴22x+22y=22t，即x+y＝t；
（2）由π≤α≤2π，得曲线C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1（y≤0）．
作出曲线C1与曲线C2的图象如图：

由图可知，当曲线C1与曲线C2有两个公共点时，实数t的取值范围为（-2，﹣1]．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x|+|2x+3|+m（m∈R）．
（1）当m＝﹣2时，求不等式f（x）≤3的解集；
（2）若∀x∈（﹣∞，0），都有f（x）≥x+2x恒成立，求m的取值范围．
【解答】解：（1）当m＝﹣2时，f（x）＝|2x|+|2x+3|+m=4x+1，x≥01，-32＜x＜0-4x-5，x≤-32⋯（2分）
当4x+1≤3x≥0，解得0≤x≤12；
当-32＜x＜0，1≤3恒成立
当-4x-5≤3x≤-32解得﹣2≤x≤-32
此不等式的解集为[-2，12]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）
（2）当x∈（﹣∞，0）时f（x）＝|2x|+|2x+3|+m=3+m，(-32＜x＜0)-4x-3+m，(x≤-32)．
当-32＜x＜0时，不等式化为3+m≥x+2x
由x+2x=-[(-x)+(-2x)]≤-2(-x)(-2x)=-22
当且仅当-x=-2x即x=-2时等号成立．∴m+3≥-22，∴m≥-3-22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）
当x≤-32时，不等式化为-4x-3+m≥x+2x．∴m≥5x+2x+3
令y=5x+2x+3，x∈(-∞，-32]∵y′=5-2x2＞0，x∈(-∞，-32]，
∴y=5x+2x+3在(-∞，-32]上是增函数．
∴当x=-32时，y=5x+2x+3取到最大值为-356∴m≥-356⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）
综上m≥-3-22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）
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日期：2019/4/9 19:26:11；用户：SS张老师；邮箱：16637469662；学号：25923389
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