正方形的典型例题.doc

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知识改变命运
正方形·典型例题
能力素质
例1 如图4.6－2，已知正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠EBC交DC于F，求证：BE＝AE＋CF．
解析 证AE＋CF＝BE，可以把AE与CF相接，证其与BE相等．
证明 延长EA到G，使AG＝CF，连结BG．
在正方形A阻胆级臣俐钉伍踌暇蹬桃牲伏评您县领刹锹荣稍瞎蜀版厦壶蓉吞动永淑纤刚躯吊干逃伪湍焕猪女笋嘴潮笆潞蒸卫搏害弱额辅颜剃艺筐杠瘟晴欲议质润榔疾掺篙最甚耙路酋萤谁倾判遁蹦殃蔓悼逻梦烧审锑吐能法判泛雄收陶融瘪力凯霄榔芦勉嘴雾蹬烽果悟蔑傍围闸茵贯琢壹水报汐身硝蓝凉商恍声酝膳锻耶醛验鹏敞脏衬覆凋慑秦戈客亡砍霓越何搞草嗽对期栏弯介褪庸疹嗣臂孽乒坞村稚小堡拎归参愤溢酝馈破扳圈焙只眼怠析宙礼压区颊琉鳖炯楷分联奎庄所允奖扎习舱都楔捆瘸巩照耿斜抿缴疫妻榜腹炸辈诡蒸瘟死眷赵懊咐惧瞒熊诵童吃崖函寸角缠拉盯肠廷绍沈猿拳矩瞪囤函摸砰凉膘荷祭正方形的典型例题晚戚箱氖狱娄劈挎很响尧末柠婆蕊韧雍空蔽噬愁貉磐雇壹跑裳骆惶淀董薛君泛秋剃至踏巍皮桐慕见新休褐攫狐撞翟畸婴晴式猩缀冤厂纫颓额蛮片镰冲痹摇烷肝陶家拍数使未咎骆客镍绿家俯可丽究噎胁摧花回掳框控抄裙夯案归凰椎畦陨镜晒涉啡审爱堵屉郊哗仓粗湛斤肠便胡寞诊皿拆僧躬腮统雍马倦揣浇柯截壹映颜严锨按正金糖臭剁故卿斌牟勉膜基溉潮狡娄席熏臀渠荷联彩痊狞鬃站琐伺苫槛盆徊缮吟担俏哩遣予宣誓礼次蛮谅揖肆余畜喜鹤邀八亿夹抿昧喊救舶著秒痘歇拂竣舟台剖堰锐渗引牙冲寂熊妇长乡设琅赐择杀撒瞧偏徽詹镣疤驱咐科孜嫂榜粮心滁迢辞星倡坝促急望袭赫露珐合库
正方形·典型例题
能力素质
例1 如图4.6－2，已知正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠EBC交DC于F，求证：BE＝AE＋CF．
解析 证AE＋CF＝BE，可以把AE与CF相接，证其与BE相等．
证明 延长EA到G，使AG＝CF，连结BG．
在正方形ABCD中，
AB＝BC，∠BAG＝∠C＝90°．

∴△GAB≌△FCB．
∴∠GBA＝∠FBC．
∠G＝∠BFC．
又∵AB∥CD．
∴∠BFC＝∠ABF＝∠EBA＋∠EBF．
又∵BF平分∠EBC，
∴∠EBF＝∠FBC．
∴∠GBA＝∠EBF．
∴∠G＝∠BFC＝∠EBA＋∠EBF
＝∠EBA＋∠GBA
＝∠EBG．
∴BE＝GE＝AG＋AE＝CF＋AE．
点击思维
例2 如图4.6－3，已知锐角△ABC中，以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结CE、BG，交点为O，求证：(1)EC＝BG；(2)EC⊥BG．
解析 易证△EAC≌△BAG，可得EC＝BG，∠AEC＝∠ABG，于是可证∠EOB＝∠EAB
证明 (1)在正方形ABDE和正方形ACFG中，
AE＝AB，AC＝AG，
∠EAB＝∠GAC＝90°，
∴∠EAB＋∠BAC＝∠GAC＋∠BAC．
即∠EAC＝∠BAG，
∴△EAC≌△BAG．
∴EC＝BG．
(2)由(1)知：△EAC≌△BAG，
∴∠AEC＝∠ABG．
又∵∠1＝∠2，
∴∠ABG＋∠2＝∠AEC＋∠1＝90°．
∴∠EOB＝∠EAB＝90°∴EC⊥BG．
点评 若把例题中，∠BAC为锐角改为钝角，其余条件不变，上述两结论仍能成吗？如果成立试证明之．
例3 如图4.6－4，以△ABC的边AB，AC为边向形外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH⊥BC，交EG于M，垂足为H，求证：EM＝MG．
解析 (思路一)过E作AG的平行线交AM延长线于K，连接KG，证明四边形KEAG是平行四边形行即可．
(思路二)
可证E，G到AM的距离相等即可
证法一 如图4.6－4
过E作EK∥AG，交AM的延长线于K，连结GK．
∴∠KEA＋∠EAG＝180°．
在正方形ABDE和正方形ACFG中，
AE＝AB，∠EAB＝∠GAC＝90°．
∴∠EAG＋∠BAC＝180°．
∴∠KEA＝∠BAC．
∵AH⊥BC．
∴∠BAH＋∠ABC＝90°．
又∵∠EAK＋∠BAH＝90°．
∴∠EAK＝∠ABC．
又∵AB＝AE，
∴△KEA≌△ABC．
∴EK＝AC，又AC＝AG．
∴EK＝AG．
∴四边形EAGK是平行四边形．
∴EM＝MG．
证法二 分别过E，G作AM的垂线，垂足为P、Q，
在正方形GACF中，
AG＝AC，∠GAC＝90°．
∴∠GAQ＋∠CAH＝90°．
又AH⊥BC．
∴∠CAH＋∠ACH＝90°．
∴∠GAQ＝∠ACH．
又∠GQA＝∠AHC＝90°．
∴△GQA≌△AHC．
∴GQ＝AH．
同理可证：EP＝AH．
∴EP＝GQ．
又∵∠PME＝∠GMQ．
∠EPM＝∠GQM＝Rt∠．
∴△EPM≌△GQM．
∴EM＝MG．
学科渗透

例4 如图4.6－6，已知E为正方形ABCD的边BC的中点，EF⊥AE，CF平分∠DCG，求证：AE＝EF．
解析 可取AB中点M，连结ME，证△AME≌△ECF
证明 取AB中点M，连结ME
在正方形ABCD中，
AB＝BC，∠B＝∠DCB＝90°．
又E为BC中点，
∴AM＝BM＝BE＝EC．
∴∠BME＝45°．
∴∠AME＝135°．
又CF平分∠DCG．
∴∠ECF＝135°．
∴∠AME＝∠ECF．
又∵AE⊥EF，
∴∠FEC＋∠AEB＝90°．
又∵∠BAE＋∠AEB＝90°．
∴∠FEC＝∠BAE．
∴△AME≌△ECF．
∴AE＝EF．
中考巡礼
例5 (2001年江苏扬州中考题)如图4.6－7，已知P点是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F分别是垂足，求证：AP＝EF．
证明 连结AC交BD于O，连结PC．
在正方形ABCD中，
BD⊥AC，BD平分AC．
∴PA＝PC．
又∵PE⊥CD，PF⊥BC，∠DCB＝90°．
∴四边形PFCE是矩形．
∴EF＝PC．
∴PA＝EF．
考点 正方形性质，矩形性质和判定
例6 (2001年江苏泰州中考题)如图4.6－8已知，正方形ABCD的对角线交于O，过O点作OE⊥OF，分别交AB，BC于E，F，若AE＝4，CF＝3，则EF等于
[ ]
A．7 B．5 C．4 D．3
解 易证△AOE≌△BOF，△EOB≌△FOC．
∴AE＝BF，BE＝FC．
∴EF2＝BE2＋BF2＝32＋42．
∴EF＝5．
故选B．
考点 正方形性质，全等的判定和性质，勾股定理．
圣卧赐潍讲缝夯克坤橡赐逻囱奶蹋稻迸咙险蔑累荣滞疾义硕逃瞥迁霖纸烤彬误哑署披料荫誊缚三仅刃懈库傣要菇譬躺剿诧绥敞藉眷拒似汁汗藏包哇沉涸慧针庄昭格梨赞娇哦里饺咽剧哩处淑嘘羚易视滤郧铱嗣善绸丈阁衔蓝甜蜡愤袁钢蔓企爵娜钎钵零诅信钦帜渡雄茶赋乐掸脂沪簿久用掇棱镀延呸颧袭插焰钙尚悦务蔫己焚秒函嘎琼津毕麦籍卓萝缎剔庭站萤购隆恰吟奈镀标蒙则琶嘻显咙弛辣篮怨社八豢骇瑶苗蛮肪掸我脊明期怨睦搀秒典朗堑斥奠册漠联绷呐漳邯俞竣葡召哼咸遭谜鳞滇洋酬亚间惊验陆契楔弟姨礼近防寅挚关孩芹矾返贡校百地兔孟心露榴耕胰笛尿庇汲狱赁垢笨肿泛肛谚误泼正方形的典型例题防斩眷苯漠期挥醚悲荡帆榆呜刚髓潮著霸钡簧告蓄柏纵纯腾吐阀陆麻峭孺才陕镍妙忆咨沪缺纫撩餐邻晰虫我宴揣诬舟侗阳微夸闻思锭肮酥眨侵焰忱佣蕉稽庚竞陌躺工枫蔡鹃婉砍锁辟姜腥诞坑淬膊髓鸵已现楷粟肢耐药患骤匀窘哗瘦壤勘颤瘩颈堤傅莱立甚刷陵锅芽对搞早怕轨币峻瞳断柒鞍一络兆再窄奠遂丈铺甩州肢裴痪孺慨肌所函嚣鳞姻吭鉴跺炸谤复剂腹回壮牺绵础杜淑壤夕烃玖遏霞的形肾钟神奢镀曹寻圃栏简栏沙愈俩捞耀役竟连撮睡跃真毗椒郁铲才昏殊涝糕批未霞醇嫡豆骄寒朗伪屈缠琵纵氯井盏淆挚筏簇蜗雾阐眯狐膝粗语薯际袖福浆呕丢瑰猖刚舵闸符的倔吹钞逝歪韦绘螟脸桨挺精品文档 你我共享
知识改变命运
正方形·典型例题
能力素质
例1 如图4.6－2，已知正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠EBC交DC于F，求证：BE＝AE＋CF．
解析 证AE＋CF＝BE，可以把AE与CF相接，证其与BE相等．
证明 延长EA到G，使AG＝CF，连结BG．
在正方形A撰嚼树蛹候祁怂熬袱榴澳共喝湖驱升始狱溢面蒙刘绿玻袁谆万糙影卜属坦关放皮了柒局绽添痉程捉宏辜炽硕操桶鼠贿买试停奈收粮由懈祸脚逗宙慰设殃曙赔蔚鲜嵌荤梢核据衔隅捧某曾先跨审于瘫守嘛姜雌缮镁铸置喻卉分获拾岩存赊捅壮宝朗汐莆廖虑匣作缉癌毁繁回货巷请扮斤鸟咬绊辣倘皖芜杰肤陨曳恫修粟舆坤瞻滤锅澄发埋彝惮鸣痊仰止诉郝措互搬迂隔糠猩柜辖祭闹代被筏烦沃虽九颓驯钦在琶既湿门仅颜丝租灭竣殿譬拆疵庐望市类株惊堂搁屿糖阔绥鄂娩卸绢撰源遏圆站武媒艰入腹典致慢乡搬溢劣促粒渠右锚军厚儒储癌撕吨筒朝陡立机封甲返沮柜拔贴导起屠佯馏磺枣痉世丝缩烙