2022年理论力学题库及答案.doc

理论力学题库及答案
1-3 试画出图示各结构中构件AB的受力图

1-4 试画出两结构中构件ABCD的受力图

1-5 试画出图a和b所示刚体系整体合格构件的受力图
1-5a

1-5b

1- 8在四连杆机构的ABCD的铰链B和C上分别作用有力F1和F2，机构在图示位置平衡。试求二力F1和F2之间的关系。

解：杆AB，BC，CD为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。
解法1(解析法)
假设各杆受压，分别选取销钉B和C为研究对象，受力如图所示：
F2
FBC
FAB
B
45o
y
x
FBC
FCD
C
60o
F1
30o
x
y

由共点力系平衡方程，对B点有：

对C点有：

解以上二个方程可得：
解法2(几何法)
FBC
FCD
60o
F1
30o
F2
FBC
FAB
45o
分别选取销钉B和C为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B和C点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。

对B点由几何关系可知：
对C点由几何关系可知：
解以上两式可得：
2-3 在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB上作用有主动力偶M。试求A和C点处的约束力。

解：BC为二力杆(受力如图所示)，故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC两点连线的方向。曲杆AB受到主动力偶M的作用，A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB保持平衡。AB受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）：

其中：。对BC杆有：
A，C两点约束力的方向如图所示。

2-4

解：机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下刚体的平衡条件，点O,C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。对BC杆有：
对AB杆有：
对OA杆有：
求解以上三式可得：， ，方向如图所示。 //

2-6求最后简化结果。

解：2-6a
坐标如图所示，各力可表示为:
， ，
先将力系向A点简化得（红色的）：
，
方向如左图所示。由于，可进一步简化为一个不过A点的力(绿色的)，主矢不变，其作用线距A点的距离，位置如左图所示。
2-6b
同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢为：

其作用线距A点的距离，位置如右图所示。
简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果？

2-13

解：整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向，力偶以逆时针为正）：

选梁AB为研究对象，受力如图，列平衡方程：

求解以上五个方程，可得五个未知量分别为：
（与图示方向相反）
（与图示方向相同）
（逆时针方向）

2-18

解：选AB杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

求解以上两个方程即可求得两个未知量，其中：

未知量不一定是力。

2-27
解：选杆AB为研究对象，受力如下图所示。列平衡方程：

由和可求出。平衡方程可用来校核。
思考题：对该刚体独立的平衡方程数目是几个？

2-29
解：杆1，2，3，4，5，6均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。选板ABCD为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。采用六矩式平衡方程：

(受拉)
(受压)

(受压)
(受拉)

本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。类似本题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量，避免求解联立方程。

2-31 力偶矩
解：取棒料为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:

补充方程：
五个方程，五个未知量，可得方程：

解得。当时有：

即棒料左侧脱离V型槽，与提议不符，故摩擦系数。

2-33
解：当时，取杆AB为研究对象，受力如图所示。
列平衡方程：

附加方程：
四个方程，四个未知量，可求得。

2-35

解：选棱柱体为研究对象，受力如图所示。假设棱柱边长为a，重为P，列平衡方程：

如果棱柱不滑动，则满足补充方程时处于极限平衡状态。解以上五个方程，可求解五个未知量，其中：
(1)
当物体不翻倒时，则：
(2)
即斜面倾角必须同时满足(1)式和(2)式，棱柱才能保持平衡。
FCx
FCy
FBx
FBy
3-10
解：假设杆AB，DE长为2a。取整体为研究对
象，受力如右图所示，列平衡方程：

取杆DE为研究对象，受力如图所示，列平
衡方程：

取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
(与假设方向相反)
(与假设方向相反)
(与假设方向相反)

3-12
FCx
FCy
FD

解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

杆AB为二力杆，假设其受压。取杆AB和AD构成的组合体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

解得，命题得证。
注意：销钉A和C联接三个物体。

FA
FB
3-14

解：取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有：

即必过A点，同理可得必过B点。也就是和是大小相等，方向相反且共线的一对力，如图所示。
取板AC为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

解得：(方向如图所示)
3-20
解：支撑杆1，2，3为二力杆，假设各杆均受压。选梁BC为研究对象，受力如图所示。其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa，作用在BC杆中点。列平衡方程：
(受压)
D
F3
F2
F1
x
y

选支撑杆销钉D为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程：
(受压)
(受拉)

选梁AB和BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：
(与假设方向相反)

(逆时针)
FAx
FAy
FBx
FBy
3-21
解：选整体为研究对象，受力如右图所示。
列平衡方程：

(1)

由题可知杆DG为二力杆，选GE为研究对象，作用于其上的力汇交于点G，受力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得：。
取CEB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

代入公式(1)可得：
3-24

解：取杆AB为研究对象，设杆重为P，受力如图所示。列平衡方程：

取圆柱C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB对销钉的作用力。

3-27
解：取整体为研究对象，设杆长为L，重为P，受力如图所示。列平衡方程：
(1)
取杆BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：
(2)
FAx
FAy
FN
Fs
P
P

补充方程：，
将(1)式和(2)式代入有：，即。
3-29
证明：（1）不计圆柱重量
法1：
取圆柱为研究对象，圆柱在C点和D点分别受到法向约束力和摩擦力的作用，分别以全约束力来表示，如图所示。如圆柱不被挤出而处于平衡状态，则等值，反向，共线。由几何关系可知，与接触点C，D处法线方向的夹角都是，因此只要接触面的摩擦角大于，不论F多大，圆柱不会挤出，而处于自锁状态。
FND
FSD
o
FAx
FAy

法2（解析法）：
首先取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

再取杆AB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

取圆柱为研究对象，受力如图所示。假设圆柱半径为R，列平衡方程：

由补充方程：，可得如果：

则不论F多大，圆柱都不被挤出，而处于自锁状态。

证明：（2）圆柱重量P时
取圆柱为研究对象，此时作用在圆柱上的力有重力P，C点和D点处的全约束力。如果圆柱保持平衡，则三力必汇交于D点（如图所示）。全约束力与C点处法线方向的夹角仍为，因此如果圆柱自锁在C点必须满足：
(1)
该结果与不计圆柱重量时相同。只满足(1)式时C点无相对滑动，但在D点有可能滑动(圆柱作纯滚动)。再选杆AB为研究对象，对A点取矩可得，由几何关系可得：
(2)
法1（几何法）：
P
φ
FRD
FRC

圆柱保持平衡，则作用在其上的三个力构成封闭得力三角形，如图所示。由几何关系可知：
将(2)式代入可得：
因此如果圆柱自锁在D点必须满足： (3)
即当同时满足(1)式和(3)式时，圆柱自锁，命题得证。

法2（解析法）：

取圆柱为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

解得：，
代入补充方程：，
可得如果圆柱自锁在D点必须满足： (3)
即当同时满足(1)式和(3)式时，圆柱自锁，命题得证。

3-30
解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

由题可知，杆AC为二力杆。作用在杆BC上的力有主动力，以及B和C处的约束力和，由三力平衡汇交，可确定约束力和的方向如图所示，其中：，杆AC受压。

取轮A为研究对象，受力如图所示，设的作用线与水平面交于F点，列平衡方程：

取轮B为研究对象，受力如图所示，设的作用线与水平面交于G点，列平衡方程：

解以上六个方程，可得：
， ，
，
若结构保持平衡，则必须同时满足：
，，，
即：，
因此平衡时的最大值，此时：
，
3-35
解：由图可见杆桁架结构中杆CF，FG，EH为零力杆。用剖面SS将该结构分为两部分，取上面部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

(受拉)
(受拉)
(受压)
3-38
解：假设各杆均受压。取三角形BCG为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：
(受压)

取节点C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

其中：，解以上两个方程可得：(受压)
3-40
解：取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：
A
B
C
3
4
5
FAy
FAx
FB
C
S
S

用截面S-S将桁架结构分为两部分，假设各杆件受拉，取右边部分为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：
(受拉)
(受拉)
4-1

解：
1.选定由杆OA，O1C，DE组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为。
2.该系统的位置可通过杆OA与水平方向的夹角θ完全确定，有一个自由度。选参数θ为广义坐标。
3.在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆OA有一个微小的转角δθ，相应的各点的虚位移如下：
，，
，，
代入可得：
4.由虚位移原理有：

对任意有：，物体所受的挤压力的方向竖直向下。

4-5

解：
1.选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。设弹簧力，且，将弹簧力视为主动力。此时作用在系统上的主动力有，以及重力。
2. 该系统只有一个自由度，选定为广义坐标。由几何关系可知：

3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移δθ，则质心的虚位移为：

弹簧的长度，在微小虚位移δθ下：

4.由虚位移原理有：

其中，代入上式整理可得：

由于，对任意可得平衡时弹簧刚度系数为：

4-7
解：将均布载荷简化为作用在CD中点的集中载荷，大小为。

1.求支座B处的约束力
解除B点处的约束，代之以力，并将其视为主动力，系统还受到主动力的作用，如图所示。在不破坏约束的前提下，杆AC不动，梁CDB只能绕C点转动。系统有一个自由度，选转角为广义坐标。给定虚位移，由虚位移原理有：
(1)
各点的虚位移如下：

代入(1)式整理可得：

对任意可得： ，方向如图所示。

2.求固定端A处的约束力
解除A端的约束，代之以，并将其视为主动力，系统还受到主动力的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移和梁AC的转角为广义坐标。

2a.求
在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，此时整个结构平移，如上图所示。由虚位移原理有：
(2)
各点的虚位移如下：

代入(2)式整理可得：

对任意可得： ，方向如图所示。
2b.求

在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，此时梁AC向上平移，梁CDB绕D点转动，如上图所示。由虚位移原理有：
(3)
各点的虚位移如下：

代入(3)式整理可得：

对任意可得： ，方向如图所示。

2c.求
在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，此时梁AC绕A点转动，梁CDB平移，如上图所示。由虚位移原理有：
(4)
各点的虚位移如下：

代入(4)式整理可得：

对任意可得： ，顺时针方向。
4-8
解：假设各杆受拉，杆长均为a。

1．求杆1受力
去掉杆1，代之以力，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形ADK形状不变，绕A点转动，因此有，且：

滑动支座B处只允许水平方向的位移，而杆BK上K点虚位移沿铅垂方向，故B点不动。三角形BEK绕B点旋转，且：

对刚性杆CD和杆CE，由于，因此。由虚位移原理有：

代入各点的虚位移整理可得：

对任意可得： （受压）。

2．求杆2受力
去掉杆2，代之以力，系统有一个自由度，选BK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆AK绕A点转动，因此有，且：

同理可知B点不动，三角形BEK绕B点旋转，且：

杆AD绕A点转动，由刚性杆DE上点E的虚位移可确定D点位移方向如图所示，且：

同理可知。由虚位移原理有：

代入各点的虚位移整理可得：

对任意可得： （受压）。

3．求杆3受力
去掉杆3，代之以力，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形ADK绕A点转动，，且：

同理可知B点不动，，且：

由虚位移原理有：

代入各点的虚位移整理可得：

对任意可得： （受拉）。
《动力学I》第一章
运动学部分习题参考解答

1－3
解：
运动方程：，其中。
将运动方程对时间求导并将代入得

1－6
x
y
o

证明：质点做曲线运动,所以,
设质点的速度为,由图可知:
，所以:
将，
代入上式可得
x
y
o

证毕

1－7
证明：因为，
所以：
证毕

1－10

y

解：设初始时,绳索AB的长度为,时刻时的长度
为,则有关系式：
，并且
将上面两式对时间求导得：
，
由此解得： （a）
(a)式可写成：，将该式对时间求导得：
(b)
将(a)式代入(b)式可得：（负号说明滑块A的加速度向上）
取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：

将该式在轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：

其中：
将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得：

A

O

A

O

B
R
1－11

解：设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在 A、B两点连线上的投影相等，即：
（a）
因为
（b）
将上式代入（a）式得到A点速度的大小为：
（c）
由于，（c）式可写成：，将该式两边平方可得：

将上式两边对时间求导可得：

将上式消去后，可求得：
(d)
由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为

A

O

B
R

取套筒A为研究对象，受力如图所示，
根据质点矢量形式的运动微分方程有：

将该式在轴上投影可得直角坐标形式的
运动微分方程：

其中：
,
将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得

1－13
解：动点：套筒A；
动系：OA杆；
定系：机座；
运动分析：
绝对运动：直线运动；
相对运动：直线运动；
牵连运动：定轴转动。
根据速度合成定理

有：，因为AB杆平动，所以，
由此可得，OC杆的角速度为，，所以
当时，OC杆上C点速度的大小为

x

1－15
解：动点：销子M
动系1：圆盘
动系2：OA杆
动系：机座；
运动分析：
绝对运动：曲线运动
相对运动：直线运动
牵连运动：定轴转动

根据速度合成定理有
，
由于动点M的绝对速度与动系的选取无关，即，由上两式可得：
(a)
将（a）式在向在x轴投影,可得：

由此解得：

1－17
解：动点：圆盘上的C点；
动系：OA杆；
定系：机座；
运动分析：绝对运动：圆周运动；
相对运动：直线运动（平行于O1A杆）；
牵连运动：定轴转动。
根据速度合成定理有
（a）
将（a）式在垂直于O1A杆的轴上投影以及在O1C轴上投影得：
，
，，

根据加速度合成定理有
（b）
将（b）式在垂直于O1A杆的轴上投影得

其中：，，
由上式解得：

1－19
解：由于ABM弯杆平移，所以有

取：动点：套筒M；
动系：OC摇杆；
定系：机座；
运动分析：
绝对运动：圆周运动；
相对运动：直线运动；
牵连运动：定轴转动。
根据速度合成定理

可求得：，，

根据加速度合成定理

将上式沿方向投影可得：

由于，，，根据上式可得：
，

1-20

M
O
A

B

解：取小环为动点，OAB杆为动系

运动分析
绝对运动：直线运动；
相对运动：直线运动；
牵连运动：定轴转动。
由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示，
其中：
根据速度合成定理：
可以得到： ，

M
O
A

B

加速度如图所示，其中：
，

根据加速度合成定理：

将上式在轴上投影，可得：,由此求得：

1－21
O
x’
y’

解：求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车
A为参考系观察汽车B的速度。
取：动点：汽车B；
动系：汽车A（Ox’y’）；
定系：路面。
运动分析
绝对运动：圆周运动；
相对运动：圆周运动；
牵连运动：定轴转动（汽车A绕O做定轴转动）
求相对速度，根据速度合成定理

将上式沿绝对速度方向投影可得：
O
x’
y’

因此
其中：，
由此可得：
求相对加速度，由于相对运动为圆周运动，
相对速度的大小为常值，因此有：

1-23 质量为销钉M由水平槽带动，使其在半径为的固定圆槽内运动。设水平槽以匀速向上运动，不计摩擦。求图示瞬时，圆槽作用在销钉M上的约束力。

M

O

M

O

M

O

M

O

解：销钉M上作用有水平槽的约束力和圆槽的约束力（如图所示）。由于销钉M的运动是给定的，所以先求销钉的加速度，在利用质点运动微分方程求约束力。取销钉为动点，水平槽为动系。由运动分析可知销钉的速度图如图所示。

根据速度合成定理有
由此可求出： 。再根据加速度合成定理有：
由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以，并且上式可写成：

因为，所以根据上式可求出。

根据矢量形式的质点运动微分方程有：

将该式分别在轴上投影：
由此求出：

1-24 图示所示吊车下挂一重物M，绳索长为，初始时吊车与重物静止。若吊车从静止以均加速度沿水平滑道平移。试求重物M相对吊车的速度与摆角的关系式。

M

解：由于要求重物相对吊车的速度，所以取吊车为动系，重物M为动点。根据质点相对运动微分方程有

将上式在切向量方向投影有

因为，所以上式可写成

整理上式可得

将上式积分：

其中为积分常数（由初始条件确定），因为相对速度，上式可写成

初始时，系统静止，，根据速度合成定理可知，由此确定。重物相对速度与摆角的关系式为：

R
Ro

F

θ
O
R
Ro

O
1-26 水平板以匀角速度绕铅垂轴O转动，小球M可在板内一光滑槽中运动（如图7-8），初始时小球相对静止且到转轴O的距离为，求小球到转轴的距离为时的相对速度。

解：取小球为动点，板为动系，小球在水平面的受力如图所示（铅垂方向的力未画出）。根据质点相对运动微分方程有：

将上式在上投影有
因为，，，所以上式可写成

整理该式可得，将该式积分有
初始时,,由此确定积分常数，因此得到相对速度为

1-27 重为P的小环M套在弯成形状的金属丝上，该金属丝绕铅垂轴以匀角速度转动，如图所示。试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。

M

M

解：取小环为动点，金属丝为动系，根据题意，相对平衡位置为，因为金属丝为曲线，所以，因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。小环受力如图所示。其中分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。根据质点相对运动微分方程有：

其中：，将上式分别在轴上投影有
（a）
以为，,,因此
（b）
由（a）式可得
（c）
将代入（c），联立求解（b）、（c）并利用，可得：

再由方程（a）中的第一式可得

2-1

x
解：当摩擦系数足够大时，平台AB
相对地面无滑动，此时摩擦力
取整体为研究对象，受力如图，
系统的动量：
将其在轴上投影可得：
根据动量定理有：
即：当摩擦系数时，平台AB的加速度为零。
当摩擦系数时，平台AB将向左滑动，此时系统的动量为：

将上式在轴投影有：
根据动量定理有：
由此解得平台的加速度为：（方向向左）

2-2

x

取弹簧未变形时滑块A的位置为x坐标原点，取整体为研究对象，受力如图所示,其中为作用在滑块A上的弹簧拉力。系统的动量为：

将上式在x轴投影：

根据动量定理有：

系统的运动微分方程为：

2－4 取提起部分为研究对象，受力如图(a)所示，提起部分的质量为，提起部分的速度为，根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为，方向向下，大小为（如图a所示）。

y

（a） (b)

根据变质量质点动力学方程有：

将上式在y轴上投影有：

由于，所以由上式可求得：。
再取地面上的部分为研究对象，由于地面上的物体没有运动，并起与提起部分没有相互作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即：

x
3－5 将船视为变质量质点，取其为研究对象，
受力如图。根据变质量质点动力学方程有：

船的质量为：，水的阻力为
将其代入上式可得：

将上式在x轴投影：。应用分离变量法可求得

由初始条件确定积分常数，并代入上式可得：

2-8 图a所示水平方板可绕铅垂轴z转动，板对转轴的转动惯量为，质量为的质点沿半径为的圆周运动，其相对方板的速度大小为（常量）。圆盘中心到转轴的距离为。质点在方板上的位置由确定。初始时，，方板的角速度为零，求方板的角速度与角的关系。

o

M

图a 图 b

解：取方板和质点为研究对象，作用在研究对象上的外力对转轴z的力矩为零，因此系统对z轴的动量矩守恒。下面分别计算方板和质点对转轴的动量矩。
设方板对转轴的动量矩为，其角速度为，于是有

设质点M对转轴的动量矩为，取方板为动系，质点M为动点，其牵连速度和相对速度分别为。相对速度沿相对轨迹的切线方向，牵连速度垂直于OM连线。质点M相对惯性参考系的绝对速度。它对转轴的动量矩为

其中：

系统对z轴的动量矩为。初始时，，此时系统对z轴的动量矩为

当系统运动到图8-12位置时，系统对z轴的动量矩为

由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有，因此可得：

由上式可计算出方板的角速度为

2－11 取链条和圆盘为研究对象，受力如图（链条重力未画），设圆盘的角速度为，则系统对O轴的动量矩为：

P

根据动量矩定理有：

整理上式可得：

由运动学关系可知：，因此有：。上式可表示成：

令，上述微分方程可表示成：，该方程的通解为：

根据初始条件：可以确定积分常数，于是方程的解为：

系统的动量在x轴上的投影为：
系统的动量在y轴上的投影为：
根据动量定理：

由上式解得：，

2－14 取整体为研究对象，系统的动能为：

其中：分别是AB杆的速度和楔块C的速度。
若是AB杆上的A点相对楔块C的速度，则根据
复合运动速度合成定理可知：，
因此系统的动能可表示为：，系统在能够过程中，AB杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有：，系统的动力学方程可表示成：

由上式解得：，

2－17 质量为的均质物块上有一半径为的半圆槽，放在光滑的水平面上如图A所示。质量为光滑小球可在槽内运动，初始时，系统静止，小球在A处。求小球运动到B处时相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约束力。

A
B

A
B

图A 图B

解：取小球和物块为研究对象，受力如图B所示，由于作用在系统上的主动力均为有势力，水平方向无外力，因此系统的机械能守恒，水平动量守恒。设小球为动点，物块为动系，设小球相对物块的速度为，物块的速度为，则系统的动能为

设为势能零点，则系统的势能为

根据机械能守恒定理和初始条件有，即

系统水平方向的动量为：

根据系统水平动量守恒和初始条件有

由此求出，将这个结果代入上面的机械能守恒式,且最后求得：

下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象，受力如图C，D所示。设小球的相对物块的加速度为，物块的加速度为，对于小球有动力学方程

A
B

A
B

（a）

图C 图 D

对于物块，由于它是平移，根据质心运动动力学方程有
（b）
将方程（a）在小球相对运动轨迹的法线方向投影，可得

其中相对加速度为已知量，。将方程（b）在水平方向和铅垂方向投影，可得

领，联立求解三个投影可求出

2－18 取小球为研究对象，两个小球对称下滑，
设圆环的半径为R。每个小球应用动能定理有：
（a）
将上式对时间求导并简化可得：
(b )
每个小球的加速度为

取圆环与两个小球为研究对象，应用质心运动定理

将上式在y轴上投影可得：

将(a),(b)两式代入上式化简后得

时对应的值就是圆环跳起的临界值，此时上式可表示成

上述方程的解为：，
圆环脱离地面时的值为
而也是方程的解，但是时圆环已脱离地面，因此不是圆环脱离地面时的值。

z

2－19 取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。根据受力分析可知：系统对铅垂轴的动量矩守恒。设小球相对圆柱的速度为，牵连速度为系统对z轴的动量矩守恒，有：

其中：，则上式可表示成：

由此解得：
其中：，
根据动能定理积分式，有：

其中：，将其代入动能定理的积分式，可得：

将代入上式，可求得：
由可求得：

2－20 取链条为研究对象，设链条单位长度的质量为

应用动量矩定理，链条对O轴的动量矩为：

外力对O轴的矩为：

因为：，所以上式可表示成：

积分上式可得：
由初始条件确定积分常数，最后得：
动力学第三章部分习题解答

3－3 取套筒B为动点，OA杆为动系

根据点的复合运动速度合成定理

可得：，

研究AD杆，应用速度投影定理有：
，
再取套筒D为动点，BC杆为动系，根据点的复合运动速度合成定理

将上式在x轴上投影有：，

3－4 AB构件（灰色物体）作平面运动，
已知A点的速度

C

AB的速度瞬心位于C，应用速度瞬心法有：

，
设OB杆的角速度为，则有

设P点是AB构件上与齿轮I的接触点，
该点的速度：

齿轮I的角速度为：

3－6 AB杆作平面运动，取A为基点
根据基点法公式有：

将上式在AB连线上投影，可得

因此，
因为B点作圆周运动，此时速度为零，
因此只有切向加速度（方向如图）。
根据加速度基点法公式

将上式在AB连线上投影，可得
，

x
y
（瞬时针）

3－7 齿轮II作平面运动，取A为基点有

将上式在x 投影有：

由此求得：

x
y

再将基点法公式在y轴上投影有：
，由此求得
再研究齿轮II上的圆心，取A为基点

将上式在y轴上投影有
，
由此解得：
再将基点法公式在x轴上投影有：
由此解得：，又因为
由此可得：

3－9 卷筒作平面运动，C为速度瞬心，
其上D点的速度为，卷筒的角速度为

角加速度为

卷筒O点的速度为：

O点作直线运动，其加速度为

O

C
B

研究卷筒，取O为基点，求B点的加速度。

将其分别在x,y轴上投影

同理，取O为基点，求C点的加速度。

将其分别在x,y轴上投影

P

3－10 图示瞬时，AB杆瞬时平移，因此有：

AB杆的角速度：
圆盘作平面运动，速度瞬心在P点，圆盘的
的角速度为：
圆盘上C点的速度为：
AB杆上的A、B两点均作圆周运动，取A为基点
根据基点法公式有

将上式在x轴上投影可得：
因此：
由于任意瞬时，圆盘的角速度均为：
B
C

将其对时间求导有：，由于，所以圆盘的角加速度。
圆盘作平面运动，取B为基点，根据基点法公式有：

P