振动习题.doc

机械振动习题集

同济大学机械设计研究所
2004．9

1_简谐运动及其运算
1-1求下列简谐函数的单边复振幅和双边复振幅
（1） （2） （3）
1-2通过简谐函数的复数表示，求下列简谐函数之和。
（1）
（2）
（3）

答案：
（1）
（2）
（3）
1-3试计算题1中的一阶对数和二阶导数对应的复振幅，并给出它们的时间历程。
1-4设、为同频简谐函数，并且满足。试计算下列问题
（1）已知，求
（2）已知，求
1-5简述同向异频简谐振动在不同频率和幅值下合成的不同特点。
1-6利用“振动计算实用工具”，通过变换频率和相位总结垂直方向振动合成的特点。

2_单自由度系统振动
2-1请解释有阻尼衰减振动时的固有圆频率为什么总比自由振动时的固有圆频率小？
答案：因为，<1
2-2在欠阻尼自由振动中，把改成0.9的时候，有人说曲线不过X轴了，这种说法正确么，请说明理由？
答案：<1为小阻尼的衰减振动，当然过X轴
2-3在单自由度自由振动时候，给定自由振动时的固有圆频率,阻尼系数,初始位移,以及初始速度,利用本计算工具,请计算有阻尼衰减振动时的固有圆频率.
答案：如=3rad/s, =0.01, =-1, =0;则=2.9985rad/s
2-4 如图2-1所示，一小车（重）自高处沿斜面滑下，与缓冲器相撞后，随同缓冲器一起作自由振动。弹簧常数，斜面倾角为，小车与斜面之间摩擦力忽略不计。试求小车的振动周期和振幅。

图2-1
答案：，

2-5 两个滑块在光滑的机体槽内滑动（见图2-2），机体在水平面内绕固定轴以角速度转动。每个滑块质量为，各用弹簧常数为的弹簧支承。试确定其固有频率。

图2-2
答案：

2-6 如图2-3所示，具有与竖直线成一微小角的旋转轴的重摆，假设球的重量集中于其质心处，略去轴承中的摩擦阻力，试确定仅考虑球的重量时，重摆微小振动的频率。

图2-3
答案：

2-7 图2-4所示，竖直杆的顶端带有质量时，测得振动频率为。当带有质量时，测得振动频率为。略去杆的质量，试求出使该系统成为不稳定平衡状态时顶端质量为多少？

图2-4
答案：

2-8 确定图2-5所示系统的固有频率。圆盘质量为。

图2-5
答案：

2-9 确定图2-6系统的固有频率，滑轮质量为。

图2-6
答案：

2-10 确定图2-7系统的固有频率。

图2-7
答案：

2-11 一个粘性阻尼单自由度系统，在振动时测出周期为1.8s，相邻两振幅之比为4.2:1。求此系统的无阻尼固有频率。
答案：
2-12 一个龙门起重机，要求其水平振动在25s内振幅衰减到最大振幅的5%。起重机可简化

成图2-8系统。等效质量，测得对数衰减，问起重机水平方向的刚度至少应达何值。

图2-8

2-13 某洗衣机重14700N，用四个弹簧对称支承，每个弹簧的弹簧常数为。
a) 计算此系统的临界阻尼系数；
b) 在系统上安装四个阻尼器，每一个阻尼系数为。这时，系统自由振动经过多少时间后，振幅衰减到10%；
c) 衰减振动的周期为多少？与不安装阻尼器时的振动周期作比较。
答案：a) ；
b) ；
c) 而

2-14 一个集中质量为，摆长为的单摆连接了一个阻尼系数为的阻尼器，如图2-9所示，试确定系统的对数衰减率。

图2-9
答案：
2-15 一质量，以匀速运动与弹簧和阻尼相撞后一起作自由振动，如图2-10所示。已知，。问质量在相撞后多少时间达到最大振幅？最大振幅是多少？

图2-10
答案：，

2-16自由振动时的固有圆频率为1rad/s, 阻尼系数为1, 初始位移和速度均为0, 外界激励频率为0.5rad/s, x"u=0.1, q"°=30,利用所给计算工具画出简谐振动以及受Duhamel积分激励的系统(m=40)的瞬态响应与稳态响应的叠加图
答案：

简谐振动：
受Duhamel积分激励：

2-17 一个有阻尼弹簧-质量系统，受到简谐激励力的作用。试证明：
发生位移共振的频率比；
发生速度共振的频率比；
发生加速度共振的频率比。

2-18 一个电动机安装在一个工作台的中部。电动机和工作台的总重量为356N，转动部分的重量89N，偏心为1cm。观察到：当电动机装到工作台上时，其变形为3.2cm。在自由振动时，1cm的位移在1s内将减小1/32cm。电动机的转速为900r/min。假定阻尼时粘性的，计算运动的最大幅值。
答案：0.235cm

2-19 一个车轮以速度等速沿波形面移动，如图2-11所示。确定重为W的质量块在垂直方向运动的振幅。假定在W的作用下弹簧的静位移为，波形面可表为。

图2-11

答案：0.71cm

2-20 图2-12系统的上支承，作振幅为1.2cm，频率为系统无阻尼固有频率的简谐运动。假定，质量块重量，确定弹簧力和阻尼力的最大幅值。

图2-12
答案：

2-21 在图2-13所示的弹簧-质量系统中，在两弹簧连接处作用一激励力。试求质量块m的振幅。

图2-13
答案：

2-22 一机器重4410N，支承在弹簧隔振器上，弹簧的静变形为0.5cm。机器有一偏心重，产生偏心激励力，为激励频率，为重力加速度，不计阻尼。求：
a) 机器转速为1200r/min时，传入地基的力；
b) 机器的振幅。
答案：a) ;
b)

2-23 一位移传感器，其固有频率为4.75Hz，阻尼比为0.65，确定测量误差分别小于：
a) 1%；
b) 2%的最低测试频率。

2-24 如果加速度计的固有频率是所测试运动频率的4倍，该加速度计的读数误差是多少？
答案：6.66%

3_二自由度系统振动
3-1如图，已知m2＝2×m1=m，k3=2k1=2k2=2k，x10=1.2,x20=＝＝0，试求系统的固有频率，主振型以及相应。

m1
m2
k3
k2
k1

答案：利用程序，易得
固有频率：
wn1=3.162277rad/s，wn2=5 rad/s
主振型：

系统相应：

3-2已知:,[c]= ,=,=,激振力频率w=3rad/s,试求系统的稳态响应。
答案：利用给定程序，输入给定数据，即获得系统的稳态响应。

3-3如图所示，已知质量比＝0.1,固有频率比=0.909,放大系数=1.55, z=0.1846，m1=11,k1=100,根据程序求动力吸振器弹簧的刚度及其质量

m1
m2
k3
c3
k2
c2
k1
c1

答案：
m2=
1.1
k2=
8.26281

3-4 一辆汽车重17640N，拉着一个重15092N的拖车。若挂钩的弹簧常数为171500N/m。试确定系统的固有频率和模态向量。

图3-1

答案：

3-5 一个电动机带动一台油泵。电动机转子的转动惯量为，油泵的转动惯量为，它们通过两个轴的端部连接起来。试确定系统的运动微分方程、频率方程、固有频率和模态向量。

图3-2
答案：
；

3-6 试确定图3-3所示皮带传动系统的固有频率和特征向量。两皮带轮的转动惯量分别为和，直径分别为和。

图3-3
答案：，刚体运动；

3-7 写出图3-4的运动方程及频率方程，设静止时，钢绳为水平，起重臂与铅垂线成角，机体可视为刚体。

图3-4
答案：；

3-8 解定图题3-5系统的固有频率，假设两圆盘直径相等。

图3-5
答案：
式中

3-9 试确定图3-6系统的固有频率，略去滑轮重量。

图3-6
答案：

3-10 如图3-7所示的行车，梁的弯曲截面矩，，。小车重11760N，另挂一重物，其重量为49000N，钢丝绳弹簧常数，试确定系统的固有频率和振型比。

图3-7
答案：

3-11 一重块自高处自由落下，然后与弹簧-质量系统一起作自由振动，如图3-8所示，试求其响应。已知。

图3-8
答案：，
；
，，
。

3-12 一卡车简化成系统，如图3-9所示。停放在地上时受到后面以等速驰来的另一辆车的撞击。设撞击后，车辆可视为不动，卡车车轮的质量忽略不计，地面视为光滑，试求撞击后卡车的响应。

图3-9
答案：，；
，。

3-13 如图3-10所示，一刚性跳板，质量为3，长，左端以铰链支承于地面，右端通过支架支承于浮船上，支架的弹簧常数为，阻尼系数为，浮船质量为。如果水浪引起一的激励力作用于浮船上。试求跳板的最大摆动角度。

图3-10
答案：。

3-14 试确定图3-11所示系统的稳态响应。

图3-12
答案：

3-15 确定图3-13所示系统的稳态响应。假定。

图3-32

4 多自由度系统振动
4-1对指定的广义坐标，，，求图示三级摆，当第一、二两质量上作用有简谐激振力时的稳态响应，其中是常数，。
答案：

4-2图示一无质量均质简支梁，弯曲刚性常数为EJ，上有集中质量m1＝m2＝m3＝m，在第一个质量上作用有激振力。假设各阶主阵型阻尼比(i＝1,2,3)。已知激振频率，求各质量的稳态响应。

4-3在图示系统中，各质量只能沿铅垂方向运动。在质量4m上作用有铅垂激振力，求系统的无阻尼强迫振动的稳态响应。又若考虑到各弹性元件中的阻尼，假设振型阻尼比(i＝1,2,3)，，求系统的稳态响应。

4-5如图所示的汽车在的情形下的固有频率，设a＝2.3m，b＝0.94m，，m1＝m2＝650Kg，，前后轮的轮胎刚度均为K＝1200KN/m。

答案：
，，
，。

4-6如图所示的三自由度系统，若，，求系统的固有频率及响应。
答案：

4-7一发电机厂的汽轮机及其隔振系统的简化模型如图所示，
（1）导出对x－y－θ坐标的振动微分方程，并求系统的固有频率和主振型。设，，，o点为重心，m为汽轮机的重量。
（2）计算在，，条件下的响应。
答案：
振动微分方程：

固有频率：
，，

4-8研究一个无阻尼三自由度系统：

其中{F(t)}为瞬时激振向量。
（a） 求固有频率；
（b） 确定模态向量和模态矩阵；
（c） 证明模态向量相对于矩阵M和K是正交的。
答案：
固有频率：，，
模态矩阵：
证明略。

4-9如图所示弹簧质量系统，如，
，

求其各阶固有频率及主阵型。
答案：
频率：
主阵型：

4-10求如图所示的弹簧质量系统的固有频率及主阵型。设，，。
答案：
频率：，，
主阵型：

4-11如图所示的弹簧质量系统，求系统在，，作用下的响应。设，，为单位阶跃函数。

答案：
固有频率：，，，

4-12图示有阻尼弹簧质量系统，如，，各质量上作用外力（其中），各阶正则振型的相对阻尼系数，试用叠加法求各质量的强迫振动的稳态响应。

答案：

4-13一轴盘扭振系统如图所示，给定初始条件为：
（1），，，；
（2），，。求系统的响应。

答案：
固有频率：，，
（1）
（2）

4-14证明模态向量相对于矩阵M和K是正交的
4-15 说明模态分析法求解自由振动和强迫振动的部骤

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