哈工大概率论参考答案习题.doc

习 题 一

1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：
（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. ‘出现奇数点’；
（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. ‘两次点数之和为10’，‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；
（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，‘球的最小号码为1’；
（4）将两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，‘甲盒中至少有一球’；
（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，‘通过汽车不足5台’，‘通过的汽车不少于3台’。
解 （1）其中‘出现点’，
。
（2）

}；
；
。
（3）

（4）
，其中‘’表示空盒；
。
（5）。
2．设是随机试验的三个事件，试用表示下列事件：
（1）仅发生；
（2）中至少有两个发生；

（3）中不多于两个发生；
（4）中恰有两个发生；
（5）中至多有一个发生。
解 （1）
（2）或；
（3）或；
（4）；
（5）或；
3．一个工人生产了三件产品，以表示第件产品是正品，试用表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。
解 （1）；（2）；（3）；（4）。
4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。
解 设‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则

5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求
（1）5只全是好的的概率；
（2）5只中有两只坏的的概率。
解 （1）设‘5只全是好的’，则
；
（2）设‘5只中有两只坏的’，则
.
6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求
（1）3个球的最小号码为5的概率；
（2）3个球的最大号码为5的概率.
解 （1）设‘最小号码为5’，则
；

（2）设‘最大号码为5’，则
.
7．（1）教室里有个学生，求他们的生日都不相同的概率；
（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.
解 （1）设‘他们的生日都不相同’，则
；
（2）设‘至少有两个人的生日在同一个月’，则
；
或
.
8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.
解 设‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则
.
9．将等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少？
解1 设‘恰好排成SCIENCE’
将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：
字母在7个位置中占两个位置，共有种占法，字母在余下的5个位置中占两个位置，共有种占法，字母剩下的3个位置上全排列的方法共3！种，故基本事件总数为，而中的基本事件只有一个，故
；
解2 七个字母中有两个，两个，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有个元素，其中第一种元素有个，第二种元素有个…，第种元素有个，将这个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为

，
对于本题有
.
10．从等个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：‘三个数字中不含0和5’，‘三个数字中不含0或5’，‘三个数字中含0但不含5’.
解 .
，
或
，
.
11．将双大小各不相同的鞋子随机地分成堆，每堆两只，求事件‘每堆各成一双’的概率.
解 双鞋子随机地分成堆属分组问题，不同的分法共‘每堆各成一双’共有种情况，故

12．设事件与互不相容，，求与
解
因为不相容，所以，于是

13．若且，求.
解

由得

14．设事件及的概率分别为，求及
解

.
15．设，且仅发生一个的概率为0.5，求都发生的概率。
解1 由题意有

，
所以
.
解2 仅发生一个可表示为，故

所以
.
16．设，求与.
解 ，
所以
，
故
；
.
所以

17．设，试证明
[证] 因为，所以

故
. 证毕.
18．对任意三事件，试证
.
[证]
. 证毕.
19．设是三个事件，且，，求至少有一个发生的概率。
解
因为 ，所以，于是

20．随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率.
解：半圆域如图
0yx
yx
a

x
设‘原点与该点连线与轴夹角小于’
由几何概率的定义

21．把长为的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.
解1 设‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为，则，不等式构成平面域.
a
S
发生
A
a/2
不等式确定的子域，所以
a
a/2
0

解2 设三段长分别为，则且
，不等式确定了三维空间上的有界平面域.
x
z
y
A
发生

不等式确定的子域，所以
.
22．随机地取两个正数和，这两个数中的每一个都不超过1，试求与之和不超过1，积不小于0.09的概率.
1y
y
1y
0.9
0.1
0y
A
S
y
解 ，不等式确定平面域.
‘’则发生的
充要条件为不
等式确定了的子域，故

23．（蒲丰投针问题）在平面上画出等距离的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长的针，求针与任一平行线相交的概率.
解 设‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，
设为针的中点到最近的一条平行线的距离。
为针与平行线的夹角，则
ay
ay
，不等式确定了平面上

xy
0y
A
S

的一个区域.
发生，不等式确定的子域

故

习 题 二

1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.
解 设‘任取一件是等品’ ，
所求概率为
，
因为
所以

故
.
2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.
解 设‘所取两件中有一件是不合格品’
‘所取两件中恰有件不合格’
则

，
所求概率为
.

3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.
解 设‘发现是同一颜色’，‘全是白色’，‘全是黑色’，则
，
所求概率为

4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.
解 设‘至少有3张黑桃’，‘5张中恰有张黑桃’，，
则
，
所求概率为
.
5．设求与.
解
.
6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
解 设‘从乙袋中取出的是白球’，‘从甲袋中取出的两球恰有个白球’.
由全概公式

.
7．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，求第二次取出的3个球均为新球的概率。
解 设‘第二次取出的均为新球’，

‘第一次取出的3个球恰有个新球’
由全概公式

.
8．电报发射台发出‘·’和‘–’的比例为5:3，由于干扰，传送（·）时失真的概率为2/5，传送‘–’时失真的概率为1/3，求接受台收到‘·’时发出信号恰是‘·’的概率。
解 设‘收到‘·’’，‘发出‘·’’，
由贝叶斯公式
.
9．在第6题中，已知从乙袋中取得的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概率.
解 事件如第6题所设，所求概率为

10．已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率。
解 设‘任取一产品，经检查是合格品’，
‘任取一产品确是合格品’，
则

，
所求概率为

.
11．假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等的概率.
解 设‘第次取出的零件是一等品’，.
‘取到第箱’，.
则
（1）.
（2）

.
12．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回。试求：
（1）顾客买下该箱的概率；
（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率.
解 设‘顾客买下该箱’，
‘箱中恰有件残次品’，，
（1）
；
（2）.
13．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份

（1）求先取到的一份为女生表的概率；
（2）已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率.
解 设‘先取到的是女生表’，
‘后取到的是男生表’，
‘取到第个地区的表’，
（1）
；
（2）因为先取出的是女生表的概率为，所以先取出的是男生表的概率为，按抓阄问题的道理，后取的是男生表的概率.
于是
（2）

.
14．一袋中装有枚正品硬币，枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？
解 设‘任取一枚硬币掷次得个国徽’，
‘任取一枚硬币是正品’，
则
，
所求概率为

.
15．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求甲击中的概率.
解 设‘目标被击中’，‘第个人击中’
所求概率为

.
16．三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是，求他们将此密码译出的概率.
解1 设‘将密码译出’，‘第个人译出’
则

.
解2 事件如上所设，则
.
17．甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为0.4，0.5，0.7。设飞机中一弹而被击落的概率为0.2，中两弹而被击落的概率为0.6，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率.
解 设‘飞机被击落’，‘飞机中弹’ .
则

设 ‘第个人命中’，，则

，

，
，
所以
.
18．某考生想借一本书，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率.
解1 设‘该生能借到此书’，‘从第馆借到’
则
(第馆有此书且能借到)
，

.
于是

.
解2 .
解3 事件如解1所设，则
，
故

.
19．设，证明、互不相容与、相互独立不能同时成立.
证 若、互不相容，则，于是

所以、不相互独立.
若、相互独立，则，于是，即、不是互不相容的.
注：从上面的证明可得到如下结论：
1）若、互不相容，则、又是相互独立的或.
2）因，所以
如果 ，则，从而

可见概率是1的事件与任意事件独立，自然，必然事件与任意事件独立.
如果，则，即概率是零的事件与任意事件独立，自然，不可能事件与任何事件独立。
20．证明若三事件相互独立，则及都与独立。
证

即与独立.

即 与相互独立.
21．一个教室里有4名一年级男生，6名一年级女生，6名二年级男生，若干名二年级女生，为要我们在随机地选择一名学生时，性别和年级是相互独立的，教室里的二年级女生应为多少名？
解 设还应有名二年级女生，‘任选一名学生为男生’，‘任选一名学生为一年级’，则
，，，
欲性别和年级相互独立，即

，
所以，即教室里的二年级女生应为9名。
22．图中1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率均为，且设各继电器闭合与否相互独立，求至是通路的概率.
L
1
4
5
3
2
R

解 设‘是通路’，‘第个接点闭合’ ，则

23．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，求该射手的命中率。
解 设该射手的命中率为，由题意
，，
所以 .
24．设一批晶体管的次品率为0.01，今从这批晶体管中抽取4个，求其中恰有一个次品和恰有两个次品的概率。
解 .
.
25．考试时有四道选择题，每题附有4个答案，其中只有一个是正确的。一个考生随意地选择每题的答案，求他至少答对三道题的概率。

解 答对每道题的概率为，所求概率为
.
26．设在伯努里试验中，成功的概率为，求第次试验时得到第次成功的概率.
解 设‘第次试验时得到第次成功’，则
‘前次试验，成功次，第次试验出现成功’，
所以
（前次试验，成功次）（第次试验成功）
.
27．设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品，不能出厂。现该厂生产了台仪器（假定各台仪器的生产过程相互独立）。求（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰有两台不能出厂的概率；（3）其中至少有两台不能出厂的概率。
解 设‘任取一台可以出厂’，‘可直接出厂’，‘需进一步调试’。
则
，

将台仪器看作重伯努里试验，成功的概率为，于是
（1），
（2），
（3）。
28．设昆虫产个卵的概率为，又设一个虫卵能孵化成昆虫的概率为，若卵的孵化是相互独立的，问此昆虫的下一代有条的概率是多少？
解 设‘下一代有条’，‘产个卵’ 则

.
29．一台仪器中装有2000个同样的元件，每个元件损坏的概率为0.0005，如果任一元件损坏，则仪器停止工作，求仪器停止工作的概率.
解 考察一个元件，可视为一次贝努里试验，2000个元件为2000重贝努里试验。，利用泊松逼近定理，所求概率为
.
30．某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴，经过若干时间后，发现一盒火柴已经用完，如果最初两盒中各有根火柴，求这时另一盒中还有根的概率。

解 设‘发现一盒已经用完另一盒还有根’。
‘发现甲盒已经用完乙盒还有根’。
则

发生甲盒拿了次，乙盒拿了次，共进行了次试验，而且前次试验，甲发生次，第次试验甲发生。
故

从而
.

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