特征值与特征向量及其应用.doc

摘 要特征值与特征向量是代数中一个重要的部分，并在理论和学习和实际生活，特别是现代科学技术方面都有很重要的作用.本文主要讨论并归纳了特征值与特征向量的性质，通过实例展现特征值与特征向量的优越性，探讨特征值与特征向量及其应用有着非常重要的价值. 正文共分四章来写，其中第一章介绍了写作背景以及研究目的.第二章介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且写出了线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵的特征值、特征向量之间的关系.第三章介绍了特征值与特征向量的几种解法：利用特征方程求特征值进而求特征向量、列行互逆变换法、利用矩阵的初等变换求特征值和特征向量.第四章重点介绍了特征值特征向量的应用，如n阶矩阵的高次幂的求解以及矩阵特征值反问题的求解等等.本文充分利用特征值与特征向量的特性求解相关问题，这带有一定的技巧性，但并不难想象，特别是跟其它方法相比，计算显得非常简洁，在解决具体问题上具有很大的优越性. 当然关于矩阵的特征值和特征向量的内容很广，本文仅就特征向量的性质以及一些应用展开研究.关键词：特征值；特征向量；矩阵；递推关系；初等变换AbstractAs an important part of algebra,Eigenvalue and Eigenvector of a Matrix have very important applications in theoretical study and practical life, especially in modern science and technology. In this paper,some properties of eigenvalue and eigenvector are discussed and summarized,it shows the superiority of eigenvalue and eigenvector through examples.It has a very important value of exploring eigenvalue and eigenvector and its application.The text is divided into four chapters to write,Among them,the first chapter presents the background and research purposes.The second chapter presents the definition of eigenvalue and eigenvector and their properties, it writes the relationship between the eigenvalue, eigenvector of the linear transform of the linear space and eigenvalues and eigenvectors of matrix. The third chapter presents several solutions of the eigenvalue and eigenvector:the characteristic equation for eigenvalue and eigenvector;the method of reversible transform on Rows and columns;the elementary transformation of matrix inverse for eigenvalues and eigenvectors. The fourth chapter introduces the application of eigenvalue eigenvector, such as solving the high power of n order matrix ,dealing with the inverse problem of matrix eigenvalues and etc. This paper fully utilize eigenvalue and eigenvector to solve related issues, this approach needs certain skills，but it is not hard to imagine that it has the great superiority in sovling specific issues, comparing with other methods.Of course, the content about matrix eigenvalues and eigenvectors is very wide, this article mainly deals with the properties of eigenvector and some application.Key words:eigenvalue；eigenvector；matrix；recursive relations；elementary；transformation 目 录摘 要IAbstractII1 引 言11.1 研究背景11.2 研究现状11.3 本文研究目的及意义22 特征值与特征向量32.1 特征值与特征向量的定义和性质32.1.1 线性变换的特征值与特征向量32.1.2 n阶方阵的特征值与特征向量32.2 中线性变换的特征值、特征向量与矩阵的特征值与特征向量之间的关系33 特征值与特征向量的解法53.1 求数字方阵的特征值与特征向量53.2 列行互逆变换法63.3 利用矩阵的初等变换解特征值特征向量104 矩阵的特征值与特征向量的应用研究154.1 n阶矩阵的特征值和特征向量.154.2 n阶矩阵的高次幂的求解164.3 矩阵特征值反问题的求解174.4 特征值与特征向量在线性递推关系中的应用184.5 特征值法求解二次型的条件最值问题224.5.1 二次型的条件最值问题及求解该问题的特征值方法224.5.2 应用举例254.6 特征值与特征向量在矩阵运算中的作用264.6.1 特征值与特征向量在矩阵运算中使用的性质264.6.2 特征值与特征向量在矩阵运算中的应用26总 结30参考文献31致 谢321 引 言1.1 研究背景 矩阵是数学中的一个重要的基本概念之一,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具. 矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置.同时它又贯穿了高等代数的许多重要方面，对于该课题的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻的了解高等代数的相关理论. 对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以直接用来解决实际问题.现在矩阵已成为独立的一门数学分支，矩阵特征值与特征向量的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应用.1.2 研究现状 在此之前已有很多专家学者涉足此领域研究该问题.吴江、孟世才、许耿在浅谈中“特征值与特征向量”的引入中从线性空间V中线性变换在不同基下的矩阵具有相似关系出发引入矩阵的特征值与特征向量的定义.郭华、刘小明在特征值与特征向量在矩阵运算中的作用中从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用.矩阵的特征值与特征向量在结构动力分析中有重要作用，矩阵迭代法是求矩阵的第一阶特征值与特征向量的一种数值方法,但是选取不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征值与特征向量，而不一定收敛与第一阶,陈建兵在矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论中讨论了初始向量的选取问题.特征值理论是线性代数中的一个重要的内容，当方阵阶数很高时实际计算比较繁琐，赵娜、吕剑峰在特征值问题的MATLAB实践中从实际案例入手，利用MATLAB软件讨论了求解特征值问题的全过程.汪庆丽在用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量中研究了一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法，论证其方法的合理性，并阐述此方法的具体求解步骤.岳嵘在由特征值特征向量去顶矩阵的方法证明及应用中探究了已知n阶对称矩阵A的k个互不相等的特征值及k-1个特征向量计算出矩阵A的计算方法.张红玉在矩阵特征值的理论及应用中讨论了通过n阶方阵A的特征值得出一系列相关矩阵的特征值,再由特征值与正定矩阵的关系得出正定矩阵的结论.刘学鹏、杨军在矩阵的特征值、特征向量和应用一文中讨论了矩阵的特征值和特征向量的一些特殊情况，以及在矩阵对角化方面的应用.冯俊艳、马丽在讨论矩阵的特征值与行列式的关系中讨论了利用矩阵的特征值解决行列式的问题.1.3 本文研究目的及意义在前人研究的基础上，本文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特征向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的讨论使得这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在此基础上，对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽的阐述和说明. 利用特征方程求特征值进而求特征向量法、列行互逆变换法、矩阵的初等变换求特征值和特征向量.由于特征值与特征向量的应用是多方面的，本文重点介绍了对特征值与特征向量的应用探究,阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的作用，利用特征值法求解二次型最值问题以及矩阵的高次幂和反求解问题的应用.在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径.本文就是通过大量的例子加以说明运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚，从而使高等代数中的大量习题迎刃而解，把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性表现出来.2 特征值与特征向量2.1 特征值与特征向量的定义和性质2.1.1 线性变换的特征值与特征向量定义1：设是数域上的线性空间的一个线性变换，如果对于数域中一数，存在一个非零向量，使得那么称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量.2.1.2 n阶方阵的特征值与特征向量定义2：设是阶方阵，如果存在数和维非零向量，使得成立，则称为的特征值，是的对应特征值的特征向量.性质1若是的重特征值，对应特征值有个线性无关的特征向量，则.性质2 如果都是矩阵的属于特征值的特征向量,则当时, 仍是的属于特征值的特征向量性质3 如果是矩阵的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是，则线性无关性质4 若的特征值为，则，性质5 实对称矩阵 的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交性质6 若 是实对称矩阵的 重特征值，则对应特征值恰有个线性无关的特征向量，或性质7设为矩阵的特征值，为多项式函数，则为矩阵多项式的特征值 2.2 中线性变换的特征值、特征向量与矩阵的特征值与特征向量之间的关系 定理：设是的一组基,1）的特征值必是的特征值，的属于的特征向量，则必是的属于特征值的特征向量.2）设是的一个特征值，且，则是的一个特征值.若是的一个属于特征值的一个特征向量，则是的一个属于的特征向量.证明：1）设是的特征值，于是有使得，其中，设，则，又，所以有，由他们的坐标列相等可得，所以其次线性方程组有非零解，于是，故是的特征多项式的根，即是的特征值，从而的坐标是的属于的特征向量.2）设是的一个特征值，且，于是有非零解，令，即，于是，故是的一个特征值，且是的属于的特征向量.3 特征值与特征向量的解法3.1 求数字方阵的特征值与特征向量由方阵的特征值和特征向量的定义知:是的属于的特征向量 因为所以是齐次线性方程组的非零解，所以是特征方程的根。 将上述过程逆叙得到求数字方阵的特征值和特征向量的步骤如下:(1) 计算的特征多项式；(2) 解特征方程,求出它的全部根 ,它们就是的全部特征值。(3) 对每一个特征值 ,求出齐次线性方程组的一个基础解系,这个基础解系便是的属于的线性无关的特征向量,则的属于的全部特征向量是这个解系的非零线性组合: ,其中是不全为零的数.例3.1.1 设线性变换在下的矩阵是，求的特征值与特征向量.解：因为特征多项式为.所以特征值（二重）和5.把特征值代入齐次方程组得到它的基础解系是，.因此属于的两个线性无关的特征向量就是，.而属于的全部特征向量就是，取遍数域中不全为零的全部数对.再用特征值5代入，得到它的基础解系是，因此，属于5的一个线性无关的特征向量就是，而属于5的全部特征向量就是，是数域中任意不等于零的数.3.2 列行互逆变换法为了定理的叙述方便，先给出一个定义.定义1.把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换:1 . 互换i、j两列,同时互换j、i两行；2 . 第i行乘以非零数，同时第j列乘；3 . 第 i行倍加到第 j行，同时第 j列倍加到第 i列 .定理1 为n阶可对角化矩阵，并且其中，则为的全部特征值，为的对应的特征向量.证明：由行初等变换等价于左乘初等矩阵，列变换等价于右乘初等矩阵的性质及行列互逆变换的定义知，为若干初等矩阵的乘积，当然可逆，且，即，所以.因为，所以，则，所以因此，该方法求出的为的特征值，为的对应特征值的特征向量 为了运算上的方便，这里约定： 1.表示矩阵的第j行倍加入第i行； 2.表示矩阵的第j列的倍加入第 i 列 由于用定理1求解时，总会遇到形如 或形式的矩阵化对角阵问题，为此给出具体方法：或 ，其中.则为的分别对应特征值和的特征向量； 为的分别对应特征值和的特征向量.例3.2.1求的特征值与特征向量.解： 所以，特征值；特征向量分别为.例3.2.2求的特征值与特征向量.解： . 所以，特征值分别为；特征向量分别为，.下面给出定理1的推广定理.定理2. 为任意阶方阵，若，其中为约当矩阵，为约当标准形. ，则为的特征值；为的对应特征值的特征向量.证明：由一般代数书中定理可知必相似于一约当矩阵，按定理2中化简方法，则有，即，其中，所以，故有，所以为的特征值；为的对应的特征向量.例3.2.3 求的特征值与特征向量.解：所以特征值为，对应特征值的特征向量，对应的特征向量为.3.3 利用矩阵的初等变换解特征值特征向量 引理 矩阵左乘或右乘一个可逆矩阵，其秩不变.即若为矩阵，分别是m和n阶可逆矩阵，则.由此可知，若，且为n阶单位矩阵，则形如的矩阵必可经过一系列变换成的形式，其中为矩阵且，分别为和矩阵，为零矩阵，从而有定理1 设为矩阵，其秩，则比存在n阶可逆矩阵，使，且的个列向量就是齐次线性方程组的基础解系.证明： 此处只需证明的列向量是的基础解系即可. 事实上，由得，即，从而，.这说明的个列向量是齐次线性方程组的解向量. 另设矩阵的列向量为，则由知向量组即为的列向量，因可逆，所以向量组线性无关，因此的列向量就是的基础解系.例3.3.1 组的一组基础解系.解：利用初等列变换，得 从而，所求基础解系为.定理2. 设为n阶方阵，则其特征矩阵可通过初等列变换化为下三角矩阵，记为，从而使的解就是矩阵的全部特征值.证明：由初等变换理论，存在n阶可逆矩阵，使，由此得.从而使的解就是的解.这样，由定理1和定理2可以得到同时求解方阵的特征值与特征向量的一种解法：第一步，作如下初等变换：，并由求得矩阵的特征值.第二步，将代入，则有或. 因为，所以由定理1即知的列向量就是的对应于特征值的线性无关的特征向量.例3.3.2 求矩阵的特征值与特征向量.解：所以，由得矩阵的特征值为. 将代入，得. 所以对应于的特征向量为 ( 此处二重特征值只对应一个线性无关的特征向量). 将代入，得. 所以对应于的特征向量为. 这里用初等列变换的方法同时求出来矩阵的特征值与特征向量，完全类似地，利用初等行变换也可以实现这一过程，其方法如下： (1) 对矩阵施行初等行变换将其化为矩阵，其中为含有的上三角矩阵，为经过初等变换得到的矩阵； (2) 由行列式求得矩阵的特征值； (3) 将代入中，若不是行标准形， 则通过初等行变换将其化为行标准型，并记秩， 则中的后个行向量的转置就是对应的特征向量 例3.3.3 征值与特征向量.解：因为特征矩阵，所以 从而由即求得的特征值为（二重）和. 当时，所以，且的后两行的转置即为对应的特征向量，即. 当时，所以，且的最后一行的转置即为对应的特征向量，即.4 矩阵的特征值与特征向量的应用研究4.1 n阶矩阵的特征值和特征向量. 若是n阶矩阵的特征值，非零向量为对应于的特征向量，则， ，是的特征值，非零向量是对应于特征值，的特征向量.证明： 由于是的特征值， 为对应于的特征向量，则有，那么：（1）.在两端同时左乘系数得，即.所以是方阵的特征值，且向量是方阵对应于特征值的特征向量.（2）.由于，所以是方阵的特征值，且向量是方阵对应于特征值的特征向量.（3）.由于， ， 所以是方阵的特征值，且向量是方阵对应于特征值的特征向量. （4）在两端同时左乘得，即，有成立，所以是方阵的特征值，且向量是方阵对应于特征值的特征向量. （5）.在两端同时左乘得，由于，那么，即有成立，所以是方阵的特征值，且向量是方阵对应于特征值的特征向量. （6），则 =. 上面的证明用到了（3）的结论，由可知是的特征值，且向量是对应于特征值的特征向量.例4.1.1 已知矩阵，求的特征值和特征向量. 分析：本题是求矩阵的多项式的特征值和特征向量，若按一般思路求解，则需计算的5次幂并进行多项式运算，再求其特征值和特征向量，计算量非常大，但若利用（6）的结论，计算变的很简单.解：矩阵的特征多项式为：.，得矩阵的特征值为.当时，解其次方程即得其通解为，其基础解系中只含有一个解向量，即为特征值所对应的特征向量. 当时，解齐次方程，即得通解为，其基础解系中含有两个线性无关的解向量：，即为特征值所对应的特征向量.设，则，即为的特征值.当时，；当时，于是的特征值为，对应的特征向量为.4.2 n阶矩阵的高次幂的求解当n阶矩阵可对角化时，即矩阵可与对角阵相似时，计算其高次幂有简单的方法，当n阶矩阵满足下面的四个条件之一时，即可对角化，即.（1）.n阶矩阵有n个线性无关的特征向量；（2）.n阶矩阵有n个互不相等的特征值；（3）.n阶矩阵的每个特征值，均有，即特征值的几何常数等于其代数常数；（4）.为是对称矩阵.对于，是由的n个特征向量组成的矩阵. 是由的n个特征值构成的对角阵，那么有：其中，故. 例4.2.1 已知矩阵，求（其中为正整数）. 分析 矩阵的高次幂的求解一般是有技巧的，这里因矩阵为是对称矩阵，故可对角化，可按上面讨论的方法求之.解：因为，所以矩阵为是对称矩阵，故可对角化. 由例4.1.1知，矩阵的3个特征值为，其对应的特征向量为，故对角阵，且，又，那么有，则 .4.3 矩阵特征值反问题的求解 矩阵特征值反问题的求解，即根据矩阵的特征值和特征向量的信息来决定矩阵中的元素.当矩阵有n个互不相等的特征值时，必有n个线性无关的特征向量，那么矩阵必可对角化，故，其中相似变换矩阵由的n个线性无关的特征向量组成.例4.3.1.设3阶方阵的特征值为，对应于特征向量分别是：，求 分析 此题给出了矩阵的3个不相同的特征值及其特征向量.那么矩阵可对角化，显然是矩阵特征值的反问题，可按上面讨论的方法求之.解： 由于是方阵对应于特征值的特征向量，于是有：，令，那么则有，其中.由上式可得即为所求.4.4 特征值与特征向量在线性递推关系中的应用用特征值和特征向量对一般线性递推关系进行讨论.设阶线性循环数列满足递推关系：其中是常数，且，方程组可表示为矩阵形式 （1）令则（1）可写成： （2）由（2）式递推得，其中，于是求通项就归结为求，也就是求. 如果可对角化，即存在可逆矩阵，使得，则，由于 从第一列开始每一列乘以加到后一列上，就得到如下的矩阵： 若是的特征值，显然有，则线性齐次方程组的基础解系中只含有一个解向量，因此当有个特征值时，这个特征值对应的特征向量分别为，由这个特征向量为列构成的方阵记为，则是可逆的，并且.其中例4.4.1 设数列满足递推关系：，并且，求通项.解：是三阶循环数列，将方程组用矩阵表示为：，令并由上式递推得其中由，即得的特征值为：再由特征方程解得对应于的特征值的特征向量分别为：令：则代入（2）式得： 例4.4.2 计算n阶行列式解：将按第一行展开得：其中与分别是元素和的余子式，再将它们分别按第一列展开得：则是三阶线性循环数列.将方程组表示成矩阵形式为：令由上式递推得： （3）由解得的特征值为，再由特征方程，解得对应于的特征值的特征向量分别为：令则由（3）式可得：将代入上式得：4.5 特征值法求解二次型的条件最值问题4.5.1 二次型的条件最值问题及求解该问题的特征值方法 二次型的条件最值问题是一类特殊的多元函数极值问题 定义 设有满足条件的n个变量，当存在变量的一组值，使（或）时，称为最大（或最小）值.特征值法原理定理1 二次型在条件下的最大值（最小值）恰是其实数特征值中最大值（最小值）的c倍.证明：利用拉格朗日数乘法，先作拉格朗日函数，其中：为参数，再令其关于的一阶偏导数为0，得 （1）由于，所以（1）可化为 （2）这是一个齐次线性方程组由于，所以不全为0，从而（2）有非零解，即该方程的系数行列式为0，于是， （3）所以是系数矩阵的特征值.又依次用分别乘（1）再相加得，又，因此.特别地，二次型在条件下的最大值（最小值）恰是二次型实特征值中的最大值（最小值）.定理2 二次型在条件下的最大值（最小值）是二次型正数特征值倒数中的最大值（最小值）的k倍；当特征值为0时，在条件下没有最大值，最小值为最大正数特征值倒数的k倍.证明：作拉格朗日函数，令其关于的一阶偏导数为0，得 ， （4）接下来证明参见定理1，直到是系数矩阵的特征值.再用分别乘（4）再相加得，又由于，因此，.由于随正数特征值的减小而增大，且当时，的极限不存在，所以不存在最大值，而其最小值则是最大整数特征值倒数的k倍，证毕.特别地，二次型在条件下的最大值（最小值）是二次型正特征值倒数中的最大值（最小值）.特征值方法的求解步骤：根据定理1和定理2，只要知道二次型的特征值，就可以知道或者在特定条件下的最大和最小值了，因此应用特征值方法求解二次型条件最值问题是方便的，其步骤可归结为：（1）判定问题确实属于定理所描述的二次型条件最值问题；（2）求二次型的特征值；（3）根据定理写出二次型或者在特定条件下的最大和最小值.4.5.2 应用举例例4.5.2.1求在时的最值.解：二次型的特征方程为解得特征值为10,1,1，根据定理1可知，在时的最大和最小值分别为70和7.例4.5.2.2 在时的最值.解：二次型的特征方程为，的特征值为3,3,0，根据定理1可知，在时的最大值和最小值0和15.例4.5.2.3 求在时的最值.解： 二次型的特征方程为的特征值为3,3,0，根据定理2可知，在是的最小值为，最大值不存在.4.6 特征值与特征向量在矩阵运算中的作用4.6.1 特征值与特征向量在矩阵运算中使用的性质性质1.设为n阶方阵，为的n个特征值，则.性质2.方阵可逆的n个特征值都不为零.性质3.设为方阵的特征值，为的多项式，则为的特征值.性质4. 不为方阵的特征值.性质5.（凯莱哈密顿定理）设的特征多项式为，则.性质6.设n阶方阵的n个特征值为，且为对应的n个线性无关的特征向量，记，则.性质7.设为n阶实对称矩阵，是它的n个特征值，则（1） 当且仅当都大于零时，正定；（2） 当且仅当都小于零时，负定；（3） 当且仅当都非负，但至少一个等于零时，是半正定；（4） 当且仅当都非正，但至少一个等于零时，是半负定；（5） 当且仅当中既有正数，又有负数时，是不定的.4.6.2 特征值与特征向量在矩阵运算中的应用（1）.求方阵的行列式以及的多项式的行列式.例4.6.2.1.已知三阶矩阵的特征值为1，-1,2，设，求；; .解：由性质1可得； 因，由性质3可知的特征值为，.故. 的特征多项式为，令，得.例4.6.2.2设是的特征值，求.解：因是的特征值，即有，故（2）判断方阵及的可逆性例4.6.2.3.设，问当k为何值时，可逆.解：因，故，为的三个特征值，由性质4可知，当时，可逆.例4.6.2.4设矩阵满足，证明可逆.证明 设，则，因，即有，即，而，只有，于是，可知3不是的特征值，所以，即可逆.（3）.求方阵，的逆矩阵及的k次幂例4.6.2.5.设，求; ; .解：,由性质5有，故 由，可知0不是的特征值，由性质2知可逆.而，故 ，故.例4.6.2.6 设3阶方阵的特征值为；对应的特征向量依次为，.求（k为大于1的正数）.解：因线性无关，记，由性质6有所以，故于是当k为偶数时，；k为奇数时，.例4.6.2.7.设3阶实对称矩阵的特征值为6,3,3与特征值6对应的特征向量为，求.解：设对应于3的特征向量为，因实对称的不同特征值下的特征向量正交，即有，即的分量满足.又因特征值3的重数为2，所以对应于3恰有两个线性无关的特征向量，显然的基础解系就是对应于3的两个线性无关的特征向量. 由得它的一个基础解系为. 令，由性质6有.故（4）求方阵的多项式.例4.6.2.8 设，计算.解：，而显然.由性质5可知，所以（5）判断实对称的正定性.例4.6.2.9. 设n阶实对称矩阵正定，则存在矩阵，使，且也是正定矩阵.证明：因为为实对称矩阵，故存在正交矩阵，使，其中为的n个特征值.因正定，故有.于是 总 结矩阵是线性代数中的一个重要部分，特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，特征值与特征向量有着许多具体的应用，本文通过查阅相关的资料并在指导老师的指导和建议下对特征值与特征向量原理进行了归纳总结.首先简单的叙述了特征值与特征向量的概念及其性质，探究了特征值与特征向量的几种解法，在此基础上重点介绍了特征值与特征向量的应用问题.矩阵的高次幂的求解是有技巧的，当矩阵可对角化时，利用特征值与特征向量把矩阵对角化，可以简便的解出矩阵高次幂的值.如果知道矩阵的特征值和对应的特征向量求出矩阵的计算方法以及特征值与特征向量在线性递推关系中的应用，利用矩阵的特征值与特征向量给出了递推关系的一种解法.本文通过应用举例说明了特征值在求解二次型的条件最值问题的应用，给出了特征值法原理，运用特征值法求二次型的条件最值问题.给出了特征值与特征向量在矩阵运算中使用的性质，并且举例说明了特征值与特征向量在矩阵运算中的应用.运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径。特征值与特征向量理论的应用是多方面的，不仅在数学领域，而且在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应用，值得我们深入探究.参考文献1 王萼芳,石生明.高等代数M.北京:高等教育出版社,2003.2 汤正华.关于矩阵的特征值与特征向量的探究J.山东行政学院山东省经济管理干部学院学报，2008，（91）:4648.3 向以华.矩阵的特征值与特征向量的研究J.重庆三峡学院学报，2009,25（117）：135138.4 吴春生.浅议线性变换与矩阵的特征值与特征向量的关系J.连云港师范高等专科学校学报，2004,（4）：7576.5 何翼.求矩阵特征值与特征向量的新方法J.铜仁学院学报，2009,11（3）：139140.6 杨廷俊.矩阵特征值与特征向量的同步求解法J.甘肃联合大学学报（自然科学版），2006,20（3）：2022.7 刘国琪等.利用矩阵的初等行变换对矩阵的特征值与特征向量同步求解J.数学通报，1996，（2）：4042.8 李延敏.关于矩阵的特征值与特征向量同步求解问题J.大学数学，2004,20（4）：9295.9 姚幕生.高等代数M.上海:复旦大学出版社,200210 易忠.高等代数与解析几何M.清华:清华大学出版社,2007.11邵丽丽.矩阵的特征值和特征向量的应用研究J.菏泽学院学报，2006，（5）：2023.12王秀芬.线性递推关系中特征值与特征向量的应用J.潍坊学院学报，2004,4（4）：3637.13奚传志.矩阵特征值与特征向量在递推关系上的应用J.枣庄师专学报，1991,（2）：263014马巧云.特征值法求解二次型的条件最值问题J.河南科学，2010,28（1）:2527.15郭华，刘小明.特征值与特征向量在矩阵运算中的作用J.渝州大学学报（自然科学版），2000,17（2）：7275.16同济大学数学教研室.线性代数（第二版）M.北京：高等教育出版社.1993,11513717戴华.矩阵特征值反问题的若干进展J.南京航空航天大学学报，1995,27（3）：400413.18矩阵的特征值、特征向量和应用J.临沂师专学报，1994，（5）：17. 致 谢本论文是在我的指导老师党平安老师的亲切关怀和悉心指导下完成的.党老师严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我.从一开始论文题目的选择到写作的最终完成,党老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持.党老师不仅在学业上给我以精心指导,同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀,在此谨向党老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.此外,我还要感谢我的同学们,由于你们的帮助和支持,我才能克服一个个的困难和疑惑,直到本文顺利完成.在论文即将完成之际,我的心情无法平静,从开始进入课题到论文的顺利完成,这都与党老师精心的指导分不开.最后,我还要感谢帮助我的老师和同学,正是由于你们的帮助和支持,我才能克服一个又一个的困难和疑惑,直至本文的顺利完成,衷心的谢谢你们！