资源描述
重大&西华大学
《测试技术与信号分析》
习题与题解
合用专业: 机械类、自动化
课程代码:
学 时: 42-48
编写单位:机械工程与自动化学院
编 写 人: 余愚
审 核 人:
审 批 人:
第二章 习题解答
2-1．什么是信号？信号解决的目的是什么？
2-2．信号分类的方法有哪些？
2-3．求正弦信号的均方值。
解：
也可先求概率密度函数：则：。
2-4．求正弦信号的概率密度函数p(x)。
解：
t
x
T1
-T1
T
-T
代入概率密度函数公式得：
2-5．求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱
解 在x(t)的一个周期中可表达为
该信号基本周期为T，基频w0=2p/T，对信号进行傅里叶复指数展开。由于x(t)关于t=0对称，我们可以方便地选取-T/2≤t≤T/2作为计算区间。计算各傅里叶序列系数cn
当n=0时，常值分量c0：
当n¹0时，
最后可得
注意上式中的括号中的项即sin (nw0 T1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数cn可表达为
其幅值谱为：，相位谱为：。频谱图如下：
2-6．设cn为周期信号x(t)的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。
即：若有
则
证明：若x(t)发生时移t0（周期T保持不变），即信号x(t- t0)，则其相应的傅立叶系数为
令，代入上式可得
因此有
同理可证
证毕！
2-7．求周期性方波的（题图2-5）的幅值谱密度
解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数
则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有
此式表白，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频以及所有谐频处，其脉冲强度为被的函数所加权。与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表白了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。
2-8．求符号函数的频谱。
解：符号函数为
可将符号函数看为下列指数函数当aà0时的极限情况
解
2-9．求单位阶跃函数的频谱：
解：单位阶跃函数可分解为常数1与符号函数的叠加，即
所以：
2-10．求指数衰减振荡信号的频谱。
解：
2-11．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的频移特性
即：若
则
证明：由于
又由于
证毕！
2-12．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的共轭和共轭对称特性
即：若
则
式中x*(t)为x(t)的共轭。
证明：
由于
上式两端用 -f 替代 f 得
上式右端即为x*(t)的傅里叶变换，证毕！
特别地，当x(t)为实信号时，代入x*(t)= x(t)，可得X(f)共轭对称，即
2-13．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的互易性
即：若
则
证明：
由于
以 -t 替换 t 得
上式 t 与 f 互换即可得
即
证毕。
特殊情况,当为偶函数时，
2-14．用傅里叶变换的互易特性求信号g(t)的傅里叶变换G(f)，g(t)定义如下：
且已知
解：当a=2p，不难看出g(t)与X(f)非常相似。代入a=2p，根据傅里叶变逆换有
等式两端同时乘以2p，并用-t替代变量t得
互换变量t和f得
上式正是g(t)的傅立叶变换式，所以
2-15．所示信号的频谱
式中x1(t), x2(t)是如图2-31b），图2-31c）所示矩形脉冲。
解：根据前面例2-15求得x1(t), x2(t)的频谱分别为
和
根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得：
图2-31
2-16．求信号x(t)的傅里叶变换
解：由例2-16已知
注意到x(t)为实偶函数， t >0 时，t<0 时，所以，根据线性叠加特性
又根据时间比例特性有，所以
最后得
在实际应用中，一般为的实数
则
2-17．已知信号x(t)试求信号x(0.5t) ，x(2t)的傅里叶变换
解：由例可知x(t)的傅里叶变换为
根据傅里叶变换的比例特性可得
如图2-32所示,由图可看出，时间尺度展宽(a<1.0)将导致其频谱频带变窄,且向低频端移动,这种情况为我们提高设备的频率分析范围发明了条件,但是以延长分析时间为代价的;反之,时间尺度压缩(a>1.0)会导致其频谱频带变宽,且向高频端扩展,这种情况为我们提高信号分析速度提供了也许。
1
1
题图2-17 时间尺度展缩特性示意图
2-18．求同周期的方波和正弦波的互相关函数
解：因方波和正弦波同周期，故可用一个周期内的计算值表达整个时间历程的计算值，又根据互相关函数定义，将方波前移τ秒后计算：
2-19．求信号的自相关函数。
解：由定义
其中积分的被积函数的非零区间为的交集，即。因此，当时，上式为
当时，则有
综合有
2-20．下面的信号是周期的吗？若是，请指明其周期。
（1） （30）
（2） （12）
（3） （）
（4） （8）
2-21．如图所示，有个脉宽为的单位矩形脉冲等间隔（间隔为）地分布在原点两侧，设这个信号为，求其FT。
解：由题意，
其中，其FT为。根据FT的时移特性，可以求得
下面分析一下所求的结果。
当时，由罗彼塔法则可以求得，因此，是单个矩形脉冲频谱的N倍，这是N个矩形脉冲的谱互相叠加的结果；而当（m不是N的倍数）时，，这是N个谱互相抵消的结果。见图（b）。
可以看出，假如N不断增大，这些等间隔分布的矩形脉冲的频谱能量逐渐向离散点处集中，并且幅度也越来越大。特别地，当时，时域信号变成了周期矩形脉冲信号，而频域则变成了只在离散点处有值的离散谱，在这些点处的频谱幅度变成了冲激信号（由于能量趋于无穷大）。这也应验了：借助于冲激信号，周期信号也存在FT。
2-22．“时域相关性定理”可描述如下
试证明。
下面给出两种证明方法。
证明1：
这里运用式：，是FT的“反褶共轭”性质。
证明2：
根据相关运算与卷积运算之间的关系
运用FT的“反褶共轭”性质，可以直接得到结论。
在式中，令，则可得
自相关的傅里叶变换
式中说明，“函数相关的FT是其幅度谱的平方”，换句话说，“函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对”。
运用FT的奇偶虚实性，若是实偶函数，那么也是实偶函数。这样我们就得到了一个特例结论，
即当是实偶函数时，相关性定理与卷积定理是一致的。
2-24．帕斯瓦尔定理
证明：
第三章 习题及题解
1 试说明二阶装置的阻尼比ζ多采用ζ＝（0.6~0.7）的因素
二阶系统的幅频特性曲线和相频特性曲线
答： 二阶系统的阻尼比ζ多采用ζ＝（0.6~0.7）的因素，可以从两个重要方面来分析，一方面，根据系统不失真传递信号的条件，系统应具有平直的幅频特性和具有负斜率的线性的相频特性，右图所示为二阶系统的幅频特性和相频特性曲线，严格说来，二阶系统不满足上述条件，但在一定的范围内，近似有以上关系。在特性曲线中可以看出，当ω﹤0.3ωn时，ζ对幅频特性影响较小，φ(ω)－ω曲线接近直线。A(ω)在该范围内的变化不超过10％，可作为不失真的波形输出。在ω﹥(2.5～3.0)ωn范围内φ(ω)接近180˚，且差值甚小，如在实际测量或数据解决中用减去固定相位差的方法，则可以接近不失真地恢复被测输入信号波形。若输入信号的频率范围在上述两者之间，由于系统的频率特性受ζ的影响较大，因而需作具体分析。分析表白，当ζ＝0.6～0.7时，在ω＝(0～0.58)ωn 的频率范围中，幅频特性A(ω)的变化不超过5％，此时的相频特性曲线也接近于直线，所产生的相位失真很小。
另一方面其他工作性能综合考虑，单位阶跃信号输入二阶系统时，其稳态输出的理论误差为零。阻尼比将影响超调量和振荡周期。ζ≥1，其阶跃输出将不会产生振荡，但需要通过较长时间才干达成稳态输出。ζ越大，输出接近稳态输出的时间越长。ζ﹤1时，系统的输出将产生振荡。ζ越小，超调量会越大，也会因振荡而使输出达成稳态输出的时间加长。显然，ζ存在一个比较合理的取值，ζ一般取值为0.6～0.7。
此外，在斜坡输入的情况下，ζ俞小，对斜坡输入响应的稳态误差2ζ/ωn 也俞小，但随着ζ的减小，超调量增大，回调时间加长，当ζ＝0.6～0.7时,有较好的响应特性。
综上所述，从系统不失真传递信号的条件和其他工作性能综合考虑，只有ζ＝0.6～0.7时，才可以获得最佳的综合特性。
2 试述信号的幅值谱与系统的幅频特性之间的区别 （1）对象不同，前者对象是信号；后者的对象是系统；（2）前者反映信号的组成，后者反映系统对输入信号不同频率成分的幅值的缩放能力（3）定义不同：解决方法各异：前者是对信号付氏变换的模，后者是输出的付氏变换与输入的付氏变换之比的模
3 已知信号x(t)=5sin10t+5cos(100t-π/4)+4sin(200t+π/6)，通过传递函数为 的测试系统，试拟定输出信号的频率成分并绘出输出信号的幅值谱。
解： 将输入信号的各次谐波统一写成Xisin(ωit+φxi)的形式
x(t)=5sin10t+5sin(100t+π/4)+4sin(200t+π/6)
信号x(t)由三个简谐信号叠加而成，其频率、幅值、相位分别为
频率
幅值Xi
相位φxi
ω1=10
A1=5
φx1=0
ω2=100
A2 =5
φx2=π/4
ω3=200
A3=4
φx3=π/6
设输出信号为y(t)，根据频率保持特性，y(t)的频率成分应与x(t)的频率成分相同，各频率成分的幅值和相位可由输入信号的幅值和相位与测试系统频率响应特性H(ω)拟定，根据题设条件，可得系统的频率响应函数
系统的幅频特性
输出信号y(t)的频率、幅值、初相位分别为
频率
幅值Yi= A (ωi) Xi
相位φyi=φ(ωi)+φxi
ω1=10
Y1=4.99
φy1=－0.05
ω2=100
Y2 =4.47
φy2=0.32
ω3=200
Y3=2.83
φy3=－0.26
绘出y(t)的幅值谱如右图。
4 ω 在对某压力传感器进行校准时，得到一组输入输出的数据如下：
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
正行程平均值
220.2
480.6
762.4
992.3
1264.5
1532.8
1782.5
2023.4
2211.6
反行程平均值
221.3
482.5
764.2
993.9
1266.1
1534.1
1784.1
2023.6
2212.1
试计算该压力传感器的最小二乘线性度和灵敏度。
解 由校准数据得知，该压力传感器近似线性特性，迟滞误差较小，可用平均校准曲线来计算
根据3－14式
数据序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
∑
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
4.5
220.75
481.55
763.3
993.10
1265.30
1533.45
1783.3
2023.0
2211.85
11265.6
0.01
0.04
0.09
0.16
0.25
0.36
0.49
0.64
0.81
2.85
22.08
96.31
228.99
397.24
632.65
920.07
1248.31
1610.4
1990.66
7146.71
＝0.5
最小二乘拟合直线方程式为
y=2523.2x－9.87-
再将各个输入值xi代入上式，依次找出输出－输入校正值与拟合直线相应点数值之间的最大偏差（见表？？？？），根据式(3-10)，
线性度＝
压力传感器的平均灵敏度用输出量和输入量的测量范围之比表达，
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
220.75
481.55
763.3
993.10
1265.30
1533.45
1783.3
2023.0
2211.85
242.45
494.77
747.09
999.41
1251.73
1504.05
1756.37
2023.69
2261.01
-21.7
-13.22
16.21
-6.31
13.57
29.4
26.93
4.31
-49.16
也可以由拟合直线方程的斜率得到
S=k=2523.2mv/kPa
5 试证明由若干个子系统串联而成的测试系统的频率响应函数为
由若干个子系统并联而成的测试系统的频率响应函数为
证明：图示为两个频率响应函数各为串联而成的测试系统，假设两个子系统之间没有能量互换，系统在稳态时的输入和输出分别为x(t)、y(t)，显然，根据频率响应函数的定义，有
即
对于n个子系统串联而成的测试系统，可以将前(n-1)个子系统视为一个子系统，而把第n个子系统视为另一个子系统，应用两个子系统串联时频率响应函数的结论并递推可得
对于n个子系统并联而成的测试系统，如图所示，系统的稳态输出
∴
证毕。
6 某一阶温度传感器，其时间常数τ=3.5 (s)，试求：(1) 将其快速放入某液体中测得温度误差在2％范围内所需的近似时间。2 ) 假如液体的温度每分钟升高5˚C，测温时传感器的稳态误差是多少？
解：(1) 将温度传感器快速放入某液体中测量温度，属于其实质是阶跃输入
根据阶跃输入状态下，一阶系统的响应特性，当t约为4τ时，其输出值为输入值的98.2%，
(2) 假如液体的温度每分钟升高5˚C，传感器的输入信号为斜坡输入
x(t)=5t/60 其拉氏变换为 X(s)=5/60s2
一阶系统的传递函数
∴
测温时传感器的稳态误差
e =5τ/60=0.29
7 试述线性系统最重要的特性及其应用
线性系统最重要的特性是线性特性频率保持特性。
根据式3-2，线性特性表白，对于线性系统，假如输入放大，则输出将成比例放大；同时作用于线性系统的两个输入所引起的输出，等于两个输入分别作用于该系统所引起的输出的和，当多个输入作用于线性系统时，也有类似的关系。据此，在分析线性系统多输入同时作用下的总输出时，人们经常将多输入分解成许多单独的输入分量，先分析各分量单独作用于系统所引起的输出，然后将各分量单独作用的输出叠加起来便可得到系统总输出。
频率保持特性指线性系统的稳态输出y(t)，将只有和输入频率相同的频率成份，既
若
则
也就是说，输出y(t)与输入x(t)保持相同的频率成分，由线性系统的叠加特性可知，多个简谐信号叠加的输入，其输出必然有也只能有有与输入频率相同的频率成分。在测试工作中，人们常运用该性质，判断输出信号的信源，分析系统的传递特性，改善系统的信噪比，例如，一个系统假如处在线性工作范围内，当其输入是正弦信号时，它的稳态输出一定是与输入信号同频率的正弦信号，只是幅值和相位有所变化。若系统的输出信号中具有其他频率成份时，可以认为是外界干扰的影响或系统内部的噪声等因素所至，应采用滤波等方法进行解决，予以排除。
8 试求由两个传递函数分别为 和的两个子系统串联而成的测试系统的总灵敏度（不考虑负载效应）
解：在不考虑负载效应的条件下，由题给传递函数的两个子系统串联而成的测试系统的频率响应函数为
系统的总灵敏度为
9 对某静态增益为3.0的二阶系统输入一单位阶跃信号后，测得其响应的第一个峰值的超调量为1.35，同时测得其振荡周期为6.28s，试求该测试系统的传递函数和系统在无阻尼固有频率处的频率响应。
解：据题意，被测二阶系统是一个欠阻尼二阶系统，其最大超调量M1和阻尼比ζ的关系式
将M1＝1.35/3.0＝0.45 代入上式，可得ζ＝0.24
其有阻尼固有频率为
式中Td为振荡周期，由题设条件Td＝6.28，解出ωn＝1.316
该系统的传递函数为
系统的频率响应函数
10 试述脉冲响应函数与频率响应函数、传递函数之间的联系。
当输入信号的作用时间小于0.1τ（τ为一阶系统的时间常数或二阶系统的振荡周期）时，则可以近似地认为输入信号是单位脉冲信号δ(t)，其响应则称为单位脉冲响应函数，又称为权函数，根据δ(t)函数的筛选性质：
立即有
对上式两边求付氏逆变换：
以上推导可以看出在单位脉冲信号输入的时候，系统输出的频域函数Y(s)，就是系统的频率响应函数H(ω)，而其时域响应函数y(t)，就是脉冲响应函数h(t)，它表达测试系统在时域内的动态传递特性。
第四章 习题与题解
1、余弦信号被矩形脉冲调幅，其数学表达式为
试求其频谱
解：设
其中
2、已知余弦信号，载波，求调幅信号的频谱。
解：
3、求余弦偏置调制信号的频谱。
解：
4、已知抱负低通滤波器
试求当函数通过此滤波器以后的时域波形。
解：根据线性系统的传输特性，将函数通抱负滤波器时，其脉冲响应函数应是频率响应函数的逆傅里叶变换，
由此有：
第五章习题解
5-1. 画出信号数字分析流程框图，简述各部分的功能。
解：下图为信号数字分析流程框图，整个系统由三部分组成：模拟信号予解决，模数转换和数字运算分析。
抗频混滤波器
幅值适调
采样保持
幅值量化
运算分析
显示输出
模拟信号予解决
模拟数字转换
数字分析
图5-2 信号数字分析框图
1) 模拟信号予解决重要有抗频混滤波和幅值适调，也也许涉及抗频混滤波前的去直流分量。输入模拟电压信号经抗频混滤波，变为有限带宽为fc的信号，为离散采样作准备；幅值调节通过放大或衰减，将信号的幅值调整一定值（一般是）的，与量化器的输入电平相适应。这一予解决虽然仍采用模拟手段实现，但由于是信号数字分析系统中特有的和不可缺少的部分，通常也把它归于信号数字分析系统。
2) 模拟数字转换完毕模拟电压离散采样和幅值量化，将模拟电压信号转换为数字码。一方面，采样保持器根据电压信号的带宽，按照采样定理选定适当的采样频率fs>2fc（要考虑抗频混滤波器的截止特性）将采样为离散序列，这样的时间轴上离散而幅值模拟的信号通常称为采样信号。而后，量化装置将每一个采样信号的电压幅值转换为数字码，最终把电压信号变为数字序列xn。
3) 运算分析单元接受数字序列xn，将其分为点数固定的一系列数据块，实现信号的时域截断和加窗，进而完毕各种分析运算，显示、输出分析结果。
5-2 .模数转换器的输入电压为0～10V。为了能辨认2mV的微小信号，量化器的位数应当是多少？若要能辨认1mV的信号，量化器的位数又应当是多少？
解:
设量化装置的位数为m。
若要辨认2mV的信号，则
，得
若要辨认1mV的信号，则
，得
5-3. 模数转换时，采样间隔分别取1ms，0.5ms，0.25ms和0.125ms。按照采样定理，规定抗频混滤波器的上截止频率分别设定为多少Hz（设滤波器为抱负低通）？
解:
采样间隔取1ms，0.5ms，0.25ms和0.125ms，分别相应的采样频率为1000Hz，2023Hz，4000Hz和8000Hz。根据采样定理，信号的带宽应小于等于相应采样频率的一半。所以，抗频混滤波器（抱负低通滤波器）的上截止频率应分别设为为500Hz，1000Hz，2023Hz，4000Hz。
1
100
200
300
f Hz
题图 5-4
0
5-4. 连续信号的频谱如下图所示。取采样间隔=2.5ms，求离散信号在的频谱。
解:
此题的关键是要掌握在不满足采样定理时，信号超过奈魁斯特频率的频谱部分将以奈魁斯特频率为分界线，向低频端折叠这一频混现象。
采样间隔=2.5ms，采样频率400Hz，奈魁斯特频率200Hz。信号频谱超过200Hz的部分（200Hz～300Hz）将以200Hz为分界向内折叠并叠加在原频谱的200Hz～100Hz的范围之上。下左图是原连续信号的频谱，下右图是经400Hz采样后的离散信号的频谱（只画出Hz的一个周期）。
1
100
200
300
f Hz
2
f Hz
200
100
1
5-5．某信号的幅值频谱如下图。试画出当采样频率fs分别为1)2500Hz，2) 2200Hz，3) 1500Hz时离散信号在0～fN之间的幅值频谱。
f Hz
0
200
800
1200
A(f)
2
2.80
1.80
题图 5-5
解 原理同题4
1) 当fs =2500Hz时，fN =1250Hz，大于信号的最高频率，满足采样定理。离散信号的频谱在0～fN的频率范围内与原信号的频谱相同。
f Hz
0
200
800
1200
A(f)
2
2.80
1.80
fN=1250Hz
2) 当fs =2200Hz时，fN =1100Hz，小于信号的最高频率，不满足采样定理。原信号中，高于奈魁斯特频率fN的1200Hz的谱线以fN为界向低频方向折叠，变为1000Hz,产生频混。此时离散信号的频谱如下：
f Hz
0
200
800
1000
A(f)
2
2.80
1.80
fN＝1100Hz
3) 当fs =1500Hz时，fN =750Hz，小于信号的最高频率，不满足采样定理。原信号中，高于奈魁斯特频率fN的800Hz和1200Hz的谱线以fN为界向低频方向折叠，分别变为700Hz和300Hz，产生频混。此时离散信号的频谱如下：
f Hz
0
200
300
700
A(f)
2
2.80
1.80
fN=750Hz
5-6. 已知某信号的截频fc＝125Hz，现要对其作数字频谱分析，频率分辨间隔＝1Hz。问：
1)采样间隔和采样频率应满足什么条件？2)数据块点数N应满足什么条件？3)原模拟信号的记录长度T＝?
解:
1) 信号的带宽为125Hz，采样频率应当大于等于它的两倍，所以
Hz ， ms。
2) 频率分辨间隔＝1Hz，所以 s。假如取，则
若N 值取基2数，则N＝256。
3) 模拟信号记录长度理论上至少应在1.024秒以上。.
第八章题解
8-1 拟用固有频率fn=100Hz，阻尼比ξ= 0.7的惯性式测振装置（如图）测频率为f = 45Hz的加速度时，其振幅误差为多少？又，若用此装置所记录频率为5Hz之振动位移的振幅范围为±0.1mm，则可测试的最大加速度为多少？
题图 8-1
8-1解：系统的振幅比为：
==
=0.9747
所以 振幅误差为
由上式（1）可得：
对
=39.5 (m/s2)
,=39.5 (m/s2)
答: (1)振幅误差约为
(2)可测试的最大加速度为 39.5 m/s2 .
8-2 假如有两只惯性式测振传感器，其固有角频率和阻尼率分别为ωn1 =250弧度/秒，ζ1 = 0.5；ωn2 = 100弧度/秒，ζ2 = 0.6，现在要测量转速为n = 3500转/分电机的简谐振动位移，应当选用哪只传感器，为什么？
8-2解:n=3500转/分钟=366.5 弧度/秒=
==1.47<==3.67
又由惯性式位移传感器的对的相应条件
>> 1 0.6 ~ 0.7
因此可选用=100弧度/秒 =0.6 的传感器
也可由
对（1） ：＝＝１.15
所以： ＝１.15
对（2） ：＝＝１.02=1
所以： ＝１.02 又=0.66 较好
因此根据以上比较选用第二只．
题图 8-3
8-3 应变式加速度传感器如图所示。加在弹簧悬臂上的质量m = 1.25kg，弹簧悬臂具有均匀的矩形横截面b=2cm，h=0.4cm，悬臂材料的弹性模量E=210GN/m2，悬臂和支座的质量忽略不计。在悬臂上对称的贴有四片相同的电阻应变片，并采用全桥连接的方式，应变片的灵敏系数K=2，电阻值R1 = R2 = R3 = R4 =120Ω，质量m的质心到应变片中心的距离L = 8cm。问：
⑴ 当应变仪读数为200微应变（με）时，每片应变片的电阻变化为多少？这时的水平加速度a又为多少？
⑵ 若用此加速度计测量振动频率为80次/秒的加速度是否合适，为什么？
解：该加速度计的固有频率
＝HZ
因惯性式加速度计用于测量加速时的条件是：
＜＜１ 即 ＜＜
而现在 ＝80 HZ > =51.6 HZ ,故不合适．
若一定要采用就必须对测试结果进行非线性修正．又，在设备工矿监测工作中，当采用相对的比较判据时，由于是进行相对比较判据，因而在一定的范围（不超过传感器能产生相应的频率范围）内，特别当监测对象的特性频率在传感器线性限度所允许的工作频率范围内时，仍然可以使用．
(2) 因全桥连接，故，
所以
所以：＝560 =
=0.57g
式中单位换算：
Ｅ＝
8-4 用于自动检查表面波纹的杠杆电触点位移传感器（如图）由与被检查表面接触的测量杆1和增大测量杆位移L / l倍的杠杆3组成。测量杆由刚度为c 1 的弹簧2压向被检查表面，杠杆3固接在具有角刚度c 2 的板弹簧5上。当零件表面波纹超过许可范围时，触点4中的一个闭合——发出检测出废品的信号。检查工作的生产率与零件相对传感器移动的速度V成正比，然而，速度过大也许在B1点处破坏接触。若零件表面的数学方程为x = a sin 2πZ / A（式中A为粗造度波长），测量杆1的质量为m，杠杆3对饺链O的转动惯量为J，忽略摩擦力，测量杆安装在被检查表面时弹簧2有预张紧x 0，饺链处弹簧5有预张紧φ0，求零件移动的极限速度V*。
题图 8-4
8-4解：杆1移动某值x引起的杠杆转动角度，在这种情况下当向上运动时弹簧2的力增大，而弹簧5中的减小。这时样在杆1上作用有惯性力—，弹簧2的阻力，支座反力R和杠杆3的作用力等于。
这时杆1的运动微分方程为：
令：
；；
杆的运动微分方程为：
（a）
恒定接触时的条件在于点B1处的反力不改变符号，也即
由于表面轮廓用下列方程描述：
测量杆的运动方程具有形式
(b)
式中 (c)
把（b）待入（a），并考虑到条件，得到
(d)
式中为仪表杆杆的移动频率。
有两种也许破坏接触的情况。在状态，当时接触也许破坏。
假如系统的参数这样选择，使条件成立，则将不会发生接触的破坏。
当工作时值在范围，在该值时接触也许破坏，由关系式（d）等于零（当时）求得，于是
或者考虑到（d）得到极限速度值
8-5 液位传感器（测量液体水平面的敏感构件）如图题8-5所示。由淹没在液体中的浮标（直径为d，质量为m1），杠杆系统，刚度为c的弹簧和质量为m2的平衡重组成。当液面H0变化时，超过的推力移动浮标，通过杠杆系统带动自动记录器或操纵机构。设液体密度为ρ，忽略液体的惯性，试写出浮标的传递函数（先列出浮标微幅自由振动微分方程，然后求其传递函数）。
题图 8-5
题图 8-6 题图 8-7
m
8-5解：当浮标在垂直方向（例如向下）移动大小时产生等于 的附加推力。运动微分方程可表达为：
于是，固有振动频率
8-6 在非接触的位移（或间隙）测量仪器中，经常运用有皱纹的圆筒—波纹管作为增张器（放大器），波纹管中内部压力的微小变化将引起它的长度有相对大的改变，图示为用于自动检查零件椭圆度的波纹管变换器简图。质量为m的圆筒4悬挂在仪器外壳1中刚度为c 1的平板弹簧2上，圆筒4同刚度为c 2的波纹管5刚性连接，波纹管中的压力由导管6供应。预紧力f0和仪器的调节用刚度为c 3的弹簧7实现，当被检查的尺寸超过允许范围时，触点8中的一个发生闭合并产生挑出废品的信号。
题图 8-8 题图 8-10
幅频特性曲线
幅频特性曲线
在把零件送往检查时，为了减小仪器振动衰减的时间，在测量系统中引入粘滞摩擦阻尼器3，阻尼器的阻尼力与移动速度成比例，即F=αx，。设波纹管中压力的变化与测量端和零件之间间隙的变化成比例，即Δp/p0=（e/δ）Asinωt，式中e—偏离圆柱形状的振幅，δ—零件和顶端之间的间隙，ω—零件的角速度，A—系数。试作出仪器的振幅—频率特性曲线，并求测量动态误差不超过被测量值±10%的角速度ω的范围（也即这样的范围，在该范围内，质量4振动的振幅与静偏离的差不大于10%）。
8-6解：圆筒4的运动微分方程具有形式
（a）
或者 （b）
式中
静偏离
圆筒振动频率和振幅的关系具有形式
在所研究的情况
或者
这函数的曲线表达在图上（曲线2）
在那表达出了测量动力误差的允许范围（线阴影部分）其方程表达为
允许范围和振幅——频率特性曲线的相交点给出被检查零件角速度的最大许可值
8-7解：是基于＝－ 由于是绝对运动，是相对运动，而是牵连运动，有 ＝, =,
即=+
故=+
＝－由于矢量式才对的，若仅从标量关系出发则将得犯错误结果，因它们之间存在着相位差。
8-8 某测振仪器的频响曲线如图所示，问可否用该仪器来进行振动测量，为什么？又，在振动测量中，可以对的反映或记录简谐振动的传感器，是否就一定能对的反映或记录一般的周期振动，为什么？
8-8解：有所得实验波形应进行波形修正反演解决。因从频响曲线知该仪器所测波形不满足不失真测量的两个条件。即各次谐波的幅值放大同样的倍数和各次谐波的相位正比于各次谐波的频率。为此，需对所测波形进行频谱分析，分出它的各个组成频率分量，然后由测式系统的频响曲线（幅频特性和相频特性）的各相应值进行修正，最后再把各修正后的分频波形合成器来即可得出相应的真实波形。
即 实测波形
修正反演后的波形
又，一定能。这是基于波形的付氏基数分解和叠加原理而拟定的。
8-9 当用共振法测定阻尼系统的固有频率，且用压电式加速度计进行拾振时，是否所测得的加速度共振频率就是该系统的固有频率，为什么？
8-9解：通常所说的共振，是指当激振频率到达某一特定值时，振动量的幅值达成极大值的现象。但从以上分析可以看出，振动位移、速度、加速度响应的幅值，其各自到达极大值时的频率是各不相同的。一般情况下，共振频率并非就是固有频率。只有在弱阻尼条件下，三种共振频率以及有阻尼自由振动频率才接近于系统的固有频率。但是，只有速度共振频率才真正与系统的固有频率相等。加速度幅值为
加速度幅值的极值条件为
两者不相等，可见加速度共振频率不是该系统的固有频率。
8-10压电式加速度传感器
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