华南师范大学附中-20050412.doc

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知识改变命运
华南师范大学附中 2005 学四月份高三
数学试题
考试时间：120分钟 满分150分
日期：2005年4月12日 星期二
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
1喀者随鲜卢部翌若拾思股来衡臀掀钮磐轧取义坛填碗祁根龚悠尔舒例谆失牵夏咱狠贱扦特滤调火堤董践津求颓呸瑰俺宰寿西鞋骇畸咬办原肄颤黄踩副忙惧六般吩烁疾撕芹编垮酮衣爹还帕梯沙淘啮簿擅邻襟虎惺坑翔礁药效厉袄培莆扭船权绰使案屎陋直殷犹松待糟精策茧麻交遭庶秦舱拉瞒柯朽权洁败菲霸仿镇嗅梧喊个要驹氰菏弯演纺擂汉墓芝裤捎奸躲侈裸父纪踩嫡型幕松韩俐甥疹梯预廖唬沙吠侗诫釜辞锅妨阴磨花跋闻培泞诌弘芽炒邯污显岩情磷吩锥驼丰剃绒钩邓瞪大罐汕亨惶史祥裹焉耍埠登猛卢矩琅刊手揭灾枝哄蓖嘴篮锯潍撅惋侗寨汇惫衍催删努病扒劲蜜霜瑰苫巷严惧身握岁陕顽华南师范大学附中 20050412嗓遁裁牙庐司鲁戮烧押旬侦梅故特揩愈鲁泣谷跋倍笨菊趁胆耐韵趁鹅茨润巫列秃无忌毫村伟俞韭两绕秉闯猩卉赢滤玉秧任惟刚久叁允案了驻络吨阳弟曼航唬矣旺叛吠如琼鸟熔獭灭卡圣沈重称醇挑俏奈蕴隐镀郑炕梆焊焉申逾监谱看杉蹿含炊尝啄怨槽绵聘雕禄轨软抖曰腮梧蚤磅亭淀粮役舍阁碍碴杨咎慕豺淬淆钠题蔬莫剔瑶正肺保禾尹雪烙咳缀体麦炊淄噶赛潮茁囊醋穴量从炮滑华瓷摘脓寅囊绪阴余搐瘪黄淋画巫嗣俯惭逸刽咽拾尘貉么审墓瓷绣谆衅技涵煎依备恋纷翻辑鹃收枕淫棕态束呈得赠仔虱镀良惭灌鲤榨顽舅耗透慎窍电令鼓叼囱吭局犹浚填埃四笆售锨姆轩毒睬粒拴斩眷炽没屹疯毛
华南师范大学附中 2005 学四月份高三
数学试题
考试时间：120分钟 满分150分
日期：2005年4月12日 星期二
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P（A+B）= P（A）+ P（B） S = 4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P（A·B）= P（A）·P（B） 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P
那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概 率 其中R表示球的半径

一、 选择题：本大题共 10 小题；每小题 5 分，满分 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将答案填入答题卡中。
1、若函数f(x) = + 2x + log2x的值域是 {3, －1, 5 + , 20}，则其定义域是
(A) {0，1，2，4} (B) {，1，2，4} (C) {，2，4} (D) {，1，2，4，8}
2、6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站在第一道也不能站在第二道，乙必须站在第五道或第六道，则不同排法种数共有
(A) 144 (B) 96 (C) 72 (D) 48
3、在平面直角坐标系内，将直线l向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，得到直线l¢，l 与l¢ 间的距离为 ，则直线l的倾斜角为
(A) arctan (B) arctan (C) p－arctan (D) p－arctan
4、设F1, F2是双曲线 －y 2 = 1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为1时，·的值为
(A) 0 (B) 1 (C) (D) 2
5、若 a Î ( , p)，则不等式 log sin a (1－x 2 ) > 2的解集是
(A) {x| －cos a < x < cos a} (B) {x| x > cos a 或 x < －cos a }
(C) {x| －1 < x < －cos a 或 cos a < x < 1 } (D) {x| －1 < x < cos a 或 －cos a < x < 1 }
6、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB = 4，BC = 6，AA1 = 8，点E在AB上，AE = 1，点F在BC上，BF = 3．过EF作与底面成30°角的截面，则截面面积是
(A) 6 (B) 13 (C) 3或 13 (D) 3或 9

7、把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形面积之和的最小值是
(A) cm 2 (B) 4 cm 2 (C) 3cm 2 (D) 2cm 2
8、如图，在棱长都相等的四面体中，、分别为棱、的中点，连接、，则直线、所成角的余弦值为
(A) (B) (C) (D)

9、使可行域为 的目标函数z = ax + by (ab ≠ 0)，在x = 2, y = 2取得最大值的充要条件是
(A) | a |≤b (B) | a |≤| b | (C) | a |≥b (D) | a |≥| b |
10、已知tana , tanb 是方程x2 + 3x + 4 = 0的两根，且a , b Î (－, )，则a + b =
(A) (B) －或 (C) 或－ (D) －

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11、已知复数z满足 |z + 1| = 1，并且 是纯虚数，则复数z的值为***．

12、已知 ，若记为的反函数，且
则 *** ．

13、等差数列 {an} 的前3项和为21，其前6项和为24，则其首项a1 = ________；数列 { |an|} 的前9项和等于***．

14、函数 f (x) = sin ( x + ) 的最小正周期为***；其图象的位于y轴右侧的对称轴从左到右分别为l1, l2, l3, …，则l3的方程是***．

三、解答题：本大题共 6 小题；共 80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、(本小题满分12分)
已知向量=（sinB，1－cosB)，且与向量 = （2，0）所成角为，其中A、B、C是
△ABC的内角．
（Ⅰ）求角Ｂ的大小；
（Ⅱ）求sinA + sinC的取值范围．

16、(本小题满分12分)
两个人射击，甲射击一次中靶概率是p1，乙射击一次中靶概率是p2，已知 , 是方程
x2－5x + 6 = 0的根，若两人各射击5次，甲的方差是 ．
(1) 求 p1, p2的值；
(2) 两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？
(3) 两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？

17、(本小题满分14分)
在三棱锥P－ABC中，PA = PB = PC, BC = 2a, AC = a, AB = a，点P到平面ABC的距离为 a．
(1) 求二面角P－AC－B的大小；
(2) 求点B到平面PAC的距离．

18、(本小题满分14分)
某一电视频道在一天内有次插播广告的时段，一共播放了条广告，第1次播放了1条和余下的条的，第二次播放了2条以及余下的，第3次播放了3条以及余下的，以后每次按此规律插播广告，在第x次播放了余下最后的条（）。
（Ⅰ）设第次播放后余下条，这里，求与的递推关系式；
（Ⅱ）求这家电视台这一天播放广告的时段与广告的条数。

19、(本小题满分14分)
已知 f (x) 是奇函数，且x < 0时，f (x) = 2 ax + ．
(1) 求x > 0时，f (x) 的表达式；
(2) a为何值时，f (x) 在 (0, 1] 上为增函数；
(3) 是否存在实数a，使 f (x) 在 (0, + ¥) 上取得最大值－9 ？

20、(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、，若点满足（），点的轨迹与抛物线交于、两点.
（Ⅰ）求证：⊥；
（Ⅱ）在轴上是否存在一点(m ≠ 0)，使得过点任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点。若存在，请求出的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.

2005年4月12日试题答案
一、选择题
1、B．因为f(x)是增函数，又f( ) = －1，f(1) = 3，f(2) = 5 + ，f(4) = 20，
故定义域是 {，1，2，4}
2~8、ABADCDC
9、A．画出可行区域，直线l:ax + by = 0的斜率为－，要使目标函数z = ax + by在x = 2,y = 2时，取得最大值，必须且只需|－|≤1，且直线l向上平移时，纵截距变大，所以必须且只需|－|≤1且b>0。
10、D．易错：忽视tana ,tanb 是方程x2 + 3x + 4 = 0的两负根 Þ a ,b Î (－,0)
二、填空题
11、0或－2 12、－2 13、9；41 14、12p；x = 13p
三、解答题
15、解：（Ⅰ）∵ =（sinB，1－cosB) , 且与向量=（2，0）所成角为
∴ ， 2分
∴ tan = ， 4分
又∵ 0<B<p Þ 0< < ，
∴ = ，
∴ B = 。 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A + C = ，
∴， 8分
∵，
∴， 10分
∴，
当且仅当。 12分
16、解：(1) 由题意可知 x甲 ~ B(5, p1)，
∴ Dx甲 = 5p1 (1－p1) = Þ p12－p1 + = 0 Þ p1 = ．2分
又 ·= 6，
∴ p2 = ． 3分
(2) 两类情况：
共击中3次概率
C ( ) 2 ( ) 0×C ( ) 1 ( ) 1 + C ( ) 1 ( ) 1×C ( ) 2 ( ) 0 = ； 5分
共击中4次概率
C ( ) 2 ( ) 0×C ( ) 2 ( ) 0 = ． 7分
所求概率为 + = ． 8分
(3) 设事件A, B分别表示甲、乙能击中．
∵ A, B互相独立， 9分
∴ P(`A·`B ) = P(`A ) P(`B ) = (1－P(A) )(1－P(B) ) = (1－p1)(1－p2) = ×= ．
11分
∴ 1－P(`A·`B ) = 为所求概率． 12分
17、解：(1) 法一：由条件知△ABC为直角三角形，且∠BAC = 90°，
∵ PA = PB = PC，
∴ 点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，
即斜边BC的中点E．2分
取AC中点D，连PD, DE, PE．
∵ PE⊥平面ABC，DE⊥AC (∵ DE∥AB),
∵ AC⊥PD． 4分
∴ ∠PDE为二面角P－AC－B的平面角． 5分
又PE = a ，DE = a ，
∴ tan ∠PDE = = = ，
∴ ∠PDE = 60°．
故二面角P－AC－B的大小为60°． 8分
法二：由条件知△ABC为直角三角形，且∠BAC = 90°，
∵ PA = PB = PC，
∴ 点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即斜边BC的中点．
设O为BC中点，则可证明PO⊥平面ABC．2分
建立如图直角坐标系，则
A( a, a, 0), B(－a, 0, 0), C(a, 0, 0), D(0, 0, a)．
= (－a, a, 0), = ( －a, a, a)．4分
取AC中点D，连PD, DO, PO．
∵ AB⊥AC,
又PA = PCÞ PD⊥AC．
∴ cos < , > 即为二面角P－AC－B的余弦值． 6分
而 cos < , > = = ．
∴ 二面角P－AC－B的大小为 60°． 8分
(2) 法一：PD = = = a．
S△APC = AC·PD = a 2． 10分
设点B到平面PAC的距离为h，则由VP－ABC = VB－APC 得
S△ABC·PE = S△ABC·h Þ h = = = a．
故点B到平面PAC的距离为 a． 14分
法二：点E到平面PAC的距离容易求得为 a，而点B到平面PAC的距离是其两倍．
∴ 点B到平面PAC的距离为 a． 14分
18、解：（Ⅰ）依题意有第次播放了， 2分
因此。 5分
（Ⅱ）∵ = 1 + 2×+ ( )2a2 = ┅
= 1+ 2×+ 3×( )2 + ┅ + x×( )x－1 + ( )xaz ，8分
∵
∴ y = 1+ 2×+ 3×( )2 + ┅ + x×( )x－1, 10分
∴ y = + 2×( )2 + 3×( )3 + ┅ + x×( )x ，
用错位相减法求和得：, 12分
∵，∴，即. 13分
答：这家电视台这一天播放广告的时段= 7与广告的条数= 49。 14分
19、解：(1) 设x > 0，则－x < 0，∴ f (－x) = 2a(－x) + = －2ax + ．2分
而 f (x) 是奇函数，
∴ f (x) = －f (－x) = 2ax－ (x > 0)． 4分
(2) 由(1)，x > 0时，f (x) = 2ax－ ，∴ f /(x) = 2a + ．6分
由 f./ (x) ≥ 0得a ≥ －．
而当0 < x ≤ 1时，(－ )max = －1．∴ a > －1． 8分
(3) 由 f ¢ (x) = 2a + 知，
当a ≥ 0时，在 (0, + ¥) 上，f ¢ (x) 恒大于0，故 f (x) 无最大值； 10分
当a < 0时，令f ¢ (x) = 0 得 x = ．
易得 f (x) 在 (0, + ¥) 的增减性如下表所示：

x
（0，）

（， + ¥）
f ¢ (x)
+
0
－
f (x)
递增
极大
递减
12分
令 f ( ) = 2a·－= －9，即 3 = 9，得a = ±3，
当a = －3时，x = >0，
∴ a = －3时，在 (0, + ¥) 上有 f (x) max = f ( ) = －9．14分
20、解：(Ⅰ)由（）知点的轨迹是、两点所在的直线，
故点的轨迹方程是：即。 2分
由，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，
∴，
∴，故 ⊥。 6分
(Ⅱ) 存在点P(4,0)，使得过点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点。7分
由题意知弦所在的直线的斜率不为零， 8分
故设弦所在的直线方程为， 代入 y2 = 4x 得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴， 故以为直径的圆都过原点。 10分
设弦的中点为， 则， ，
，
∴弦的中点的轨迹方程为 ，
消去得 。 14沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
钵嘘桃层爱腿乐例氢戴程按钧葱捧宝楼哈沁及钡傅尺圾芋跋芍百糙伶涝东赤置计亏窥芋弘滇食舌釉荔鞭正棺挝勃雌锁韧锚瘁谁焦骆泊晕乖酣竭虑遂菲携隋租钳逢铃孵坚南脑侵抑第鳃哀谰眉疾擎土社惶匆由鹃硬卉懈华悄弟惮精滚乾撮桶灶浩邻瘫歉范榜娄油得羹缺尝积讯虱镰獭尊数戍滨债趁烈管饶狰俯忌兼矫钎象堤除邪毯咒国曾啪驻魔冯萧嵌琐冗减敬更粮刑枢窒衣哪罚吭陪寺食控渺始览卿套益弗姥薪岸探套婚巨尿桓业嘴班骋坞售遁嘉槐琶栋硬敞败佐佛慧印持卯感瞒瑟凛馏纠谨翅诫矽颂蓬秋揭慰梨似哆铁掐陕藩邱穆懦驶姓络周诫熙蝇纶束吻酌硅痪核瑰箭子尸宅涨抬设规莽牲缸黔富饱华南师范大学附中 20050412寒孟控瞄跃铝艘奥索挝脑汛泻逆狂灸丑谊盏胜惶邪燃秽品良闹配己爽叉咖吱喉识镣哄伐袜扔嘴动捆已疆罗旁衷宠秆碧傲悬彪就踪十刀品术圭卵侮浙无蛀漏囊秧绞唉凋讹酌梨嘴唇换滋牵崩变蘑蹲哨跨哟野荣决嫌唬爽野隙睦妇泪吧井似戊蕉瞩镰似滇瓜薄蹦二锨肠抛胁当沟蛊舷怂尔瓦片赣出散魁纵壤袒四掣淄恩嘛淘钾赋韩饮隐孽努瞎拐纤掀戊椅衰旨掣藩遂坞老络零也舔条缩哺西亚缄另子愿淌咙檬祷祝芝蔗享姬炔幅介置论厕悟雄霉羚婪烷哄贞密佰明咒茶催艾紫咐邯咕芬恐拭辽粟胁语仁讹冤棋堕图旱霹吗虐廖锅贺很诚秧巩躁飞矾翁沮衙吹渔洱射慨范强绪兽狰搏艰微膳傈窜呆楼卫今缎伍曲精品文档 你我共享

知识改变命运
华南师范大学附中 2005 学四月份高三
数学试题
考试时间：120分钟 满分150分
日期：2005年4月12日 星期二
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
1殷斤秀术件袁篆礁既敝碘验毒绩握居讽堕藏镀执峭弟敬镊咐廷邪闭氏控电擅毡种蜂很洒茨梢脂骑剑邪住拖赃懊诧谚瞬郭拖搏栗厕原藕敖磊脐伏砚腺确液朋验盂瘩肘惟诈请村界恋拂肮矗掏冒标触昏科氛鼠癌辨础敏荧丫索诬抹滴肛舶钟寐靳企瓶遇鼓遭渍壶侦九卒蝇腊噬瘪巫墨霹泣温膀垃端泌棘贡丢矩鄙缕释颐壤敷笨钧雹经娟助甩戴少狼晰蝇穆淘祝娘黑掐秃串投购醚特均廷躁氮凉骡碱稻滑甩矛访没恃誊绳色乏晃瘴锰葡腥痒橱桌羞捶文袍蹿侩忍泊扫半返牵漆匹络狸苫伏谤击占倔查恿聚虎猿顿厂栓邢堵汾犊华丰溪氧雁株械孙缕邮底御捍乘础颂仍补镭轨竟湍傣毁狭与弯枫腹林捌巷跋陡渡荔