线性代数总复习很全市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

要求：会用其性质与展开定理要求：会用其性质与展开定理，计算低阶及特殊行列式。计算低阶及特殊行列式。一、行列式一、行列式两个主要概念两个主要概念：余子式余子式,代数余子式代数余子式第1页上（下）三角行列式值上（下）三角行列式值=对角线上元素之积对角线上元素之积性质性质是计算行列式中心步骤，是计算行列式中心步骤，利用性质将行列式利用性质将行列式化为三角形行列式化为三角形行列式，然后计算是计算行列式主要方法。然后计算是计算行列式主要方法。第2页展开定理及其应用展开定理及其应用利用展开定理，高阶行列式计算能够转化为低利用展开定理，高阶行列式计算能够转化为低一阶行列式计算。一阶行列式计算。第3页特殊关系式特殊关系式第4页例题解解计算以下行列式计算以下行列式 第5页第6页解方程解方程此为范德蒙行列式此为范德蒙行列式例题例题第7页二、矩阵二、矩阵不能推出不能推出(1)(3)(2)或或不能推出不能推出交换律不成立交换律不成立消去律不成立消去律不成立转置矩阵运算律转置矩阵运算律一、矩阵运算中注意几点一、矩阵运算中注意几点第8页特殊矩阵特殊矩阵：若若若若阶梯阵阶梯阵A与行最简阶梯阵与行最简阶梯阵B若若A A 为为n n阶对称矩阵阶对称矩阵A A 为为n n阶反对称矩阵阶反对称矩阵第9页n n 阶方阵阶方阵A可逆充要条件可逆充要条件n n阶方阵阶方阵A可逆可逆可逆矩阵可逆矩阵第10页可逆矩阵性质可逆矩阵性质 设设A,B都是都是n n阶可逆矩阵，阶可逆矩阵，k是非零数，则是非零数，则5 5、求方阵、求方阵A逆矩阵方法逆矩阵方法第11页尤其：尤其：第12页矩阵初等变换矩阵初等变换,初等方阵初等方阵用初等方阵左（右）乘用初等方阵左（右）乘 A A，相当于对相当于对 A A 作初等行作初等行（列）变换得到矩阵，（列）变换得到矩阵，矩阵矩阵A A标准型标准型第13页1 1、R（A）：）：A不等于不等于0 0子式最大阶数。子式最大阶数。2 2、秩基本关系式：、秩基本关系式：3 3、关于秩主要结论：、关于秩主要结论：矩阵秩矩阵秩第14页主要结论主要结论定理定理第15页秩求法：秩求法：1)1)R（A）：）：A不等于不等于0 0子式最大阶数。子式最大阶数。2 2）初等变换法：初等变换法：,R（A）=T阶梯数阶梯数3 3）若）若P可逆，则可逆，则,常需先验证常需先验证P可逆可逆第16页选择题 1设设 A A、B B 都是都是 n n 阶方阵，则阶方阵，则 e e第17页选择题2（4）第18页（2）第19页选择题4（3）第20页解解例例第21页例例：设方阵：设方阵 A满足满足2A2A2 2-5A-8E=0-5A-8E=0，证实，证实 A-2E 可逆，可逆，关键：寻求方阵关键：寻求方阵 B B，使（，使（A-2EA-2E）B=EB=E分析分析原式可写为原式可写为（重点）（重点）第22页例例：设矩阵：设矩阵 X 满足：满足：AXB=XB+C，求，求X，其中，其中由已知，得由已知，得 AXB-XB=C，则得则得显然显然A-E、B均可逆，而且均可逆，而且解解（重点）（重点）第23页例第24页R(A)R(A)=2=2初等初等变换变换例（重点）（重点）第25页例例解解第26页三向量组线性关系三向量组线性关系定义定义定义定义 极大无关组、等价极大无关组、等价等价定义等价定义（重点）（重点）第27页结论结论:2 2、。3 3、1 1、矩阵初等行变换不改变列向量组线性关系矩阵初等行变换不改变列向量组线性关系注意：求极大无关组、讨论线性表示主要用此方法注意：求极大无关组、讨论线性表示主要用此方法；秩（秩（A）=列向量组秩列向量组秩=行向量组秩行向量组秩第28页定理定理第29页定理定理第30页判别法判别法 1 1判别法判别法 2 2 等价向量组等价向量组秩相等秩相等；部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关第31页判别法判别法3 第32页例题例题DFDF第33页例题例题BC第34页设 解解例例重点重点第35页(续续)其余向量由此极大无关组表示为：其余向量由此极大无关组表示为：所以所以第36页向量4-例题4解解 1)1)因为行列式因为行列式 所以当所以当b=3b=3或或b=1b=1时，时，D=0D=0，线性相关；，线性相关；不然线性无关。不然线性无关。第37页证实证实证实第38页证实证实分析：只要证实：分析：只要证实：B B列秩列秩=m;=m;证实证实第39页第40页例例 设向量组设向量组问问 k 为何值时为何值时表示法唯一，表示法唯一，不唯一，不唯一，不可表示。不可表示。解解 设设即即用克莱姆法则用克莱姆法则第41页 k=-3 时时表示法唯一，表示法唯一，时时同解方程组同解方程组有没有穷多解。时时方程组有唯一解方程组有唯一解表示法不唯一，表示法不唯一，第42页线性方程组线性方程组解存在性定理解存在性定理各种解法各种解法解结构解结构四、线性方程组解法与解结构四、线性方程组解法与解结构定理定理1 1 设有非齐次线性方程组设有非齐次线性方程组第43页定理定理1 1 设有齐次线性方程组（设有齐次线性方程组（2 2）方程组方程组-2-2-通解、基础解系通解、基础解系第44页方程组方程组-2-2-通解、基础解系通解、基础解系定理定理2 2 设有非齐次线性方程组（设有非齐次线性方程组（1 1）第45页 讨论讨论a a满足什么条件时，以下方程组无解、有唯一解、满足什么条件时，以下方程组无解、有唯一解、解解系数行列式系数行列式所以所以1):1):2):2):有没有穷多解？有没有穷多解时，求其通解。有没有穷多解？有没有穷多解时，求其通解。（重点）（重点）例例第46页例题例题3 3（续）（续）因为同解方程组中出现了矛盾方程因为同解方程组中出现了矛盾方程:0=3,:0=3,故无解故无解.2):2):则通解为则通解为第47页当当时，时，称称与与正交正交。定理定理中两两正交、非零向量组中两两正交、非零向量组线性无关。线性无关。若若满足满足称称为为规范正交基规范正交基。定义定义3 五、内积、施密特正交化。五、内积、施密特正交化。第48页定义定义4 4 是是n n阶方阵阶方阵,若若是是正交矩阵正交矩阵称称性质性质2 2列列(行行)向量组为正交单位向量组向量组为正交单位向量组是正交矩阵是正交矩阵性质性质1是是正交矩阵正交矩阵则则A可逆且可逆且设设性质性质3 设设 A、B 都是正交矩阵，都是正交矩阵，则则 AB 也是正交矩阵。也是正交矩阵。即即 A n 个列向量是单位正交向量组。个列向量是单位正交向量组。性质性质4 设设 A 是正交矩阵，则是正交矩阵，则也是正交矩阵。也是正交矩阵。性质性质5 设设 A 是正交矩阵，则是正交矩阵，则第49页3、施密特正交化方法、施密特正交化方法设在设在中中为线性无关向量组为线性无关向量组令令正交化过程：正交化过程：则则是正交向量组，是正交向量组，单位化单位化第50页六、特征值与特征向量、矩阵对角化六、特征值与特征向量、矩阵对角化内容：内容：矩阵特征值与特征向量定义矩阵特征值与特征向量定义,求法求法,性质；性质；相同矩阵概念、性质、矩阵对角化条件和方法相同矩阵概念、性质、矩阵对角化条件和方法定义定义1 1使方程使方程设方阵设方阵成立成立数数和和 n 元非零列向量元非零列向量第51页1-1-特征值、特征向量特征值、特征向量-求法求法1 1、特征值特征值求法求法2 2、特征向量求法、特征向量求法第52页2-2-特征值、相同矩阵特征值、相同矩阵-性质性质性质性质 全不为零。全不为零。第53页3-3-特征值、相同矩阵特征值、相同矩阵-性质性质性质性质2 2第54页例例2 2、3-3-特征值、相同矩阵特征值、相同矩阵 例例3 3 设设A A是一个方阵是一个方阵-100第55页例4-相同矩阵设矩阵设矩阵A A、B B相同，求参数相同，求参数a,b,c.a,b,c.解解 1 1）因为矩阵）因为矩阵A A、B B相同，所以相同，所以第56页例4-相同矩阵设矩阵设矩阵A A、B B相同，求参数相同，求参数a,b,c.a,b,c.2 2）因为矩阵）因为矩阵A A、B B相同，所以相同，所以1 1也是也是A A特征值，所以特征值，所以而且而且1 1是是B B一个特征值一个特征值第57页3-3-特征向量性质特征向量性质1 1）方阵方阵A A不一样特征值所对应特征向量必线性无关不一样特征值所对应特征向量必线性无关。2 2）实对称矩阵实对称矩阵A A不一样特征值所对应特征向量必相不一样特征值所对应特征向量必相3 3）正交向量组必是线性无关组。）正交向量组必是线性无关组。互正交互正交。第58页4-n4-n阶方阵阶方阵A A可对角化条件、方法可对角化条件、方法1 1、一个充分必要条件：、一个充分必要条件：n n阶方阵阶方阵A可对角化可对角化A有有n个线性无关特征向量个线性无关特征向量2 2、两个充分条件、两个充分条件：1 1）假如）假如A有有n个互不相同特征值，则个互不相同特征值，则A必可对角化必可对角化2 2）假如）假如A是实对称矩阵，则是实对称矩阵，则A必可用正交矩阵对角化。必可用正交矩阵对角化。3 3、对角化方法对角化方法：4 4、正交对角化、正交对角化（重点）（重点）（重点）（重点）第59页例例1 1（1）求）求设设相同于相同于（1）由性质）由性质（2）（2）解解第60页例例5第61页三阶实对称矩阵三阶实对称矩阵 特征值分别为特征值分别为秩秩例例8 8对应特征向量分别为对应特征向量分别为已知已知求求 值及矩阵值及矩阵解解秩秩有三个不一有三个不一样样特征值特征值,则则 可取可取特征向量为特征向量为则则第62页七、二次型化标准型七、二次型化标准型-1-1-基本定义、基本内容基本定义、基本内容1 1、二次型、二次型二次齐次多项式；二次齐次多项式；标准型矩阵标准型矩阵对角阵对角阵二次型矩阵表示二次型矩阵表示2 2、二次型矩阵、二次型矩阵前提前提：实对称矩阵；注意元素特点：实对称矩阵；注意元素特点 标准型标准型仅含有平方项二次型仅含有平方项二次型则二次型矩阵则二次型矩阵第63页二次型及其标准型-2-最主要内容注注1 1：对线性变换：对线性变换 X=PY X=PY来说，当来说，当P P可逆矩阵时，称之为可逆矩阵时，称之为可逆变换；当可逆变换；当P P是正交矩阵时，称之为正交变换是正交矩阵时，称之为正交变换 用正交变换用正交变换 将二次型将二次型 化为标准型；化为标准型；第64页二次型-3-例2求正交变换X=QY，将二次型 化为标准型 解解 二次型矩阵为第65页3 3）对每个基础解系进行）对每个基础解系进行SchmidtSchmidt正交化、再单位正交化、再单位化：化：第66页第67页第68页