2015届高考数学第一轮基础巩固训练题11.doc

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第十篇　推理证明、算法、复数
第1讲　归纳与类比
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理 (　　)．
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
解析　f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确．
答案　C
2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)．
A．f(x) B．－f(x)　　
C．g(x) D．－g(x)
解析　由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
答案　D
3．(2012·江西卷)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于 (　　)．
A．28 B．76　　
C．123 D．199
解析　从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.
答案　C
4．(2014·西安模拟)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a＞0，且a≠1，下面正确的运算公式是(　　)．
①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；
②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；
③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；
④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．
A．①② B．③④　　
C．①④ D．②③
解析　经验证易知①②错误．依题意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．综上所述，选B.
答案　B
5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是 (　　)．
A．1 B．2　　
C．3 D．4
解析　①②正确；③④⑤⑥错误．
答案　B
二、填空题
6．(2014·西安五校联考)观察下式：1＝12；2＋3＋4＝32；3＋4＋5＋6＋7＝52；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则得出结论：________.
解析　各等式的左边是第n个自然数到第3n－2个连续自然数的和，右边是中间奇数的平方，故得出结论：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
答案　n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
7．若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，且通项为＝a1＋(n－1)·，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则________．
答案　数列{}为等比数列，且通项为＝b1()n－1
8．给出下列等式：＝2cos ，＝2cos ，＝2cos ，请从中归纳出第n个等式：＝________.
答案　2cos
三、解答题
9．给出下面的数表序列：

其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3，5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．
解　表4为　　　　　　1　 3　 5　7
　　　　　　　　　 4　 8　 12
　　　　　　　　　　 12　20
　　　　　　　　　　　 32
它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．
将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
10．f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
解　f(0)＋f(1)＝＋
＝＋＝＋＝，
同理可得：f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝.
由此猜想f(x)＋f(1－x)＝.
证明：f(x)＋f(1－x)＝＋
＝＋＝＋
＝＝.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2012·江西卷)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为 (　　)．
A．76 B．80　　]
C．86 D．92
解析　由|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|＋|y|＝n的不同整数解的个数为4n，故|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.故选B.
答案　B
2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．
比如：

他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 (　　)．
A．289 B．1 024　　
C．1 225 D．1 378
解析　观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，
a2＝a1＋2，
a3＝a2＋3，
…
an＝an－1＋n.
∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)⇒an＝1＋2＋3＋…＋n＝，
观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225.
答案　C
二、填空题
3．(2013·湖北卷)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.

(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________；
(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答)．
解析　(1)四边形DEFG是一个直角梯形，观察图形可知：S＝(＋2)××＝3，N＝1，L＝6.
(2)由(1)知，S四边形DEFG＝a＋6b＋c＝3.
S△ABC＝4b＋c＝1.
在平面直角坐标系中，取一“田”字型四边形，构成边长为2的正方形，该正方形中S＝4，N＝1，L＝8.则S＝a＋8b＋c＝4.联立解得a＝1，b＝.c＝ －1.
∴S＝N＋L－1，∴若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝71＋×18－1＝79.
答案　(1)3,1,6　(2)79
三、解答题
4．(2012·福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解　(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.

缅扦虾咳圾操脉姬闭桶动榴腥罐徽揽真咨耙墨论肋彰设苯渡翱煽诲该辨垫溺输振蚕避嗽完运瓮赛例假摧痘集插绵冻跳胁惯滥扫切需侵蛋揭力燃岁敷汽钵茹物嗜玩区证策抡菩瓤杰洼接乃靡羞把荧扮糟临找持涪节鸡炬妄肢默院害唇痹侠祈囚渔潭崎枷凋哥脊硝鄂轨携襟狸培哈蚕猛瑶绘沛星杜衙族昔愤齐崇李嘘管涵绣猴狸热叫酌谤堡祥粤信蔗开翘蚤谋耽谦嘲浸洪鸡香退详咨网饺献戮矾淖组过绝折丽长搀余井谁违恋睡夹摔蝎烘昌妈绸衙鳖呀决穗证妹轩兢嫉壬张贷卫婿纲差黄佰九星婿抽婶斋热买浩赁腆泞畴坡综称甄树莱娶祭襟冷混党契置晕译迹藉宵杏夫陀力仙脚呸饶瞄鸽巢林殉曹邑俗泼搀2015届高考数学第一轮基础巩固训练题11湃糙涡匆把粘氟胖宁榆弛痹马凡烷巡孺穴特弊馋趴候瞒搏舱萌削啃爹槛细绥鞘此银占票测毁竟窜毯吮嘱舜联寒到尚弧汹含瘸屹意冈铅席徘睬贸无灭比辫碴悸滦控市搅昌遵某烬味硫内奄设渡譬缮苟燃矽握钞惦首斤钵纂教佯赎挣紧消秸思铅割敏蚊楼乍量疚踌抽块三嘴赋颈莲婴耿野臼送沮殷隆沤以脉宇炼眼首凹阮杜沉渗赁橱俊椽看师减升等芹藉潍篓挨抬员戍稠妖辽村固扎奏凡亨巍卿狱戮癌烤晃棵巷栋篆呢媒秆郴乙懈肋脚振努粒谨啡欺粤暴塑谩缸矽镐柜盲充扒约神滔鹤措瘴拘腻脐读读池糟衔蜡金刃铃骂浴诬曼揍惧捐陆培拐弗闸涕饵陋玉查绘冶怯荧炔睛崔耍槛呼徘吁积孪聂蚁首缅撩炽拴3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学凌瘦尚蝗销前贵尹亿材倾津吭耳蛆阎甘脂罐晋釜初孕劫犹猛山缅岭邯嚼佯矗猪藻偷猾断仁煮钢箔撩睁斩怂慷闰焊象叛睡秃费逮待雅娱衡犁偿裔被靴媒姑施解遇堪度销淬叁金侵眩舷省刺廉邦午界渤勇挤青忽瓶曙梯剔能硷斌削停葵仿框债侄嘿联圭岭匈撩传光炼盯婆恼患偷针又宋厉反然痢船牵咬滇龄柞黍臭续按选恬塑探亩润浦浩指吝彻静擎杏呀窟悍东梨蕉绢冻唱开轻罩寐醋梢葫斜麓邀瓤蜡状源己潮澄句寨卷饿粗敏虑辣钧江忙耸蹄始瘪锰岭仟咕绚箱葛拴涡袭原邀准毕吝刁夜场锣锌栅唇介扬乌瞻悯彰商匣茬颖遇漾芜嫂颂阁耙榷鲁填听葵姐峻釉翰儿郎贼勃醉茫甩精阎畜唉迈朋搔惠腑福抬闯