高一数学下册巩固与练习题20.doc

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巩固

1．函数f(x)＝的零点有(　　)
A．0个　　　　　　　　　　B．1个
C．2个 D．3个
解析：选B.由f(x)＝＝0得：x＝1，
∴f(x)＝只有1个零点．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是(　　)
A．1 B．2
C．0 D．无法确定
解析：选B.∵ac＜0，∴Δ＝b2－4ac＞0，
∴二次函数与x轴有两个交点．
3.函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是(　　)
A．(0,1] B．(1,10]
C．(10,100] D．(100，＋∞)
解析：选B.由于f(1)f(10)＝(－1)×＜0，根据二分法得函数在区间(1,10]内存在零点．
4．(原创题)定义在R上的奇函数y＝f(x)，当x＞0时，y＝f(x)是单调递增的，则函数y＝f(x)的图象与x轴的交点情况为________．
答案：1个
5．已知函数f(x)＝2mx＋4，若在[－2,1]上存在x0，使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意知m≠0，∴f(x)是单调函数，
又在[－2,1]上存在x0，使f(x0)＝0，
∴f(－2)f(1)≤0，
即(－4m＋4)(2m＋4)≤0，解得m≤－2或m≥1.
答案：m≤－2或m≥1
6．判断下列函数在给定区间上是否存在零点．
(1)f(x)＝x3＋1；
(2)f(x)＝－x，x∈(0,1)．
解：(1)∵f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)，
令f(x)＝0，即(x＋1)(x2－x＋1)＝0，∴x＝－1，
∴f(x)＝x3＋1有零点－1.
(2)法一：令f(x)＝0得－x＝0，＝0，
∴x＝±1，而±1∉(0,1)，
∴f(x)＝－x，x∈(0,1)不存在零点．
法二：令y1＝，y2＝x，在同一平面直角坐标系中，作出它们的图象，从图中可以看出当0＜x＜1时，两图象没有交点．

故f(x)＝－x，x∈(0,1)没有零点．
练习

1．函数f(x)＝x3－2x2－x＋2的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D.f(x)＝x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1)．
∴f(x)有三个零点1，－1,2.
2．函数f(x)＝lnx＋2x－1零点的个数为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选D.在同一坐标系内分别作出函数y＝lnx与y＝1－2x的图象，易知两函数图象有且只有一个交点，即函数y＝lnx－1＋2x只有一个零点．
3．函数f(x)＝ln－的零点一定位于区间(　　)
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
解析：选A.由于f(1)f(2)＝(ln－2)(ln3－1)＜0，故函数在区间(1,2)内必存在零点，故选A.
4．(2009年高考福建卷)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是(　　)
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln(x－)
解析：选A.∵g(x)＝4x＋2x－2在R上连续且g()＝＋－2＝－＜0，g()＝2＋1－2＝1＞0.
设g(x)＝4x＋2x－2的零点为x0，则＜x0＜，
0＜x0－＜，∴|x0－|＜.
又f(x)＝4x－1零点为x＝；f(x)＝(x－1)2零点为x＝1；
f(x)＝ex－1零点为x＝0；f(x)＝ln(x－)零点为x＝，故选A.
5．(2010年合肥检测)函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为(　　)
A．[0，] B．[，]
C．[，] D．[，1]
解析：选C.代入可知，只有f()·f()<0，所以函数的零点在区间[，]上．
6．已知函数f(x)＝，若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.由已知当x≤0时f(x)＝－x2＋bx＋c，由待定系数得：⇒
故f(x)＝，令f(x)＋x＝0，分别解之得x1＝2，x2＝－1，x3＝－2，即函数共有三个零点，故选C.
7.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
解析：由计算器可算得f(2)＝－1，f(3)＝16，f(2.5)＝5.625，f(2)·f(2.5)<0，所以下一个有根区间为[2,2.5]．
答案：[2,2.5]
8．若函数f(x)的图象是连续不断的，根据下面的表格，可断定f(x)的零点所在的区间为________(只填序号)．
①(－∞，1]　②[1,2]　③[2,3]　④[3,4]　⑤[4,5]　⑥[5,6]　⑦[6，＋∞)

x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678
解析：用二分法解题时要注意，根据区间两个端点函数值符号的异同，确定零点所在区间．
答案：③④⑤
9．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．
解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.
∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
由根与系数的关系知，∴，
∴f(x)＝x2－x－6.
∵不等式af(－2x)＞0，
即－(4x2＋2x－6)＞0⇔2x2＋x－3＜0，
解集为{x|－＜x＜1}．
答案：{x|－＜x＜1}
10．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．
解：设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]．
(1)f(x)＝0在区间[0,2]上有一解．
∵f(0)＝1>0，∴应有f(2)≤0⇒m≤－.
(2)f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则

∴－≤m≤－1.由(1)(2)知：m≤－1.
11．是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出a的范围，若不存在，说明理由．
解：若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．
f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－或a≥1.
检验：(1)当f(－1)＝0时a＝1.所以f(x)＝x2＋x.
令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.
(2)当f(3)＝0时a＝－.此时f(x)＝x2－x－.令f(x)＝0，即x2－x－＝0，解之，x＝－或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－.
综上所述，a<－或a>1.
12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.
(1)若a>b>c且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；
(2)若对x1，x2∈R且x1<x2，f(x1)≠f(x2)，方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]有两个不等实根，证明必有一实根属于(x1，x2)．
证明：(1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0.
又∵a>b>c，∴a>0，c<0，即ac<0.又∵Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，所以函数f(x)必有两个零点．
(2)令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，
则g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]＝，
g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝，
∴g(x1)·g(x2)＝·＝－[f(x1)－f(x2)]2.
∵f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)·g(x2)<0.
∴g(x)＝0在(x1，x2)内必有一实根．
∴方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]在(x1，x2)内必有一实根．

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