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主讲人：赵国钊主讲人：赵国钊第1页晏子春秋晏子春秋里有一个里有一个“二桃杀三士二桃杀三士”故事，故事，大意是：大意是：齐景公养着三名勇士，他们名叫田开疆、齐景公养着三名勇士，他们名叫田开疆、公孙接和古冶子。公孙接和古冶子。这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公立下过不少功劳。但他们也刚愎自用，目中无人，立下过不少功劳。但他们也刚愎自用，目中无人，得罪了齐国宰相晏婴。晏子便劝齐景公杀掉他们，得罪了齐国宰相晏婴。晏子便劝齐景公杀掉他们，并献上一计：以齐景公名义赏赐三名勇士两个桃子，并献上一计：以齐景公名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己评功，按功劳大小吃桃。让他们自己评功，按功劳大小吃桃。三名勇士都认为自己功劳很大，应该单独吃一三名勇士都认为自己功劳很大，应该单独吃一个桃子。于是公孙接讲了自己打虎功，拿了一只桃；个桃子。于是公孙接讲了自己打虎功，拿了一只桃；田开疆讲了自己杀敌功，拿起了另一桃。两人正准田开疆讲了自己杀敌功，拿起了另一桃。两人正准备要吃桃子备要吃桃子第2页古冶子说出了自己更大功劳。公孙接、田开疆都以古冶子说出了自己更大功劳。公孙接、田开疆都以为自己功劳确实不如古冶子大，感到惭愧难当，赶为自己功劳确实不如古冶子大，感到惭愧难当，赶忙让出桃子。而且以为自己功劳不如人家，却抢着忙让出桃子。而且以为自己功劳不如人家，却抢着要吃桃子，实在丢人，是好汉就没有脸再活下去，要吃桃子，实在丢人，是好汉就没有脸再活下去，于是都拔剑自刎了。古冶子见了，后悔不迭。仰天于是都拔剑自刎了。古冶子见了，后悔不迭。仰天长叹道：假如放弃桃子而隐瞒功劳，则有失勇士尊长叹道：假如放弃桃子而隐瞒功劳，则有失勇士尊严；为了维护自己而羞辱同伴，又有损哥们义气。严；为了维护自己而羞辱同伴，又有损哥们义气。如今两个搭档都为此而死了，我独自活着，算什么如今两个搭档都为此而死了，我独自活着，算什么勇士！说罢，也拔剑自杀了。勇士！说罢，也拔剑自杀了。第3页晏子采取借晏子采取借“桃桃”杀人方法，不费吹灰之力，杀人方法，不费吹灰之力，便到达了他预定目标，可说是善于利用权谋。汉便到达了他预定目标，可说是善于利用权谋。汉朝有些人在一首诗中曾不无讽刺地写道：朝有些人在一首诗中曾不无讽刺地写道：“一朝被谗言，二桃杀三士。谁能为此谋，相国务一朝被谗言，二桃杀三士。谁能为此谋，相国务晏子！晏子！”在晏子权谋之中，包含了一个主要在晏子权谋之中，包含了一个主要数学原理数学原理抽屉原理抽屉原理。第4页第5页第6页第7页第8页抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷克雷(Dirichlet,PeterGustavLejeune,18051859)首先明确首先明确提出来并用以证实一些数论中问题，所以，也称为狄利克雷提出来并用以证实一些数论中问题，所以，也称为狄利克雷标准。它是组合数学中一个主要原理。把它推广到普通情形标准。它是组合数学中一个主要原理。把它推广到普通情形有以下几个表现形式。有以下几个表现形式。形式一：形式一：设把设把n n1 1个元素分为个元素分为n n个集合个集合A A1 1，A A2 2，A An n，用，用a a1 1，a a2 2，a an n表示这表示这n n个集合里对应元个集合里对应元素个数，证实最少存在某个素个数，证实最少存在某个a ai i大于或等于大于或等于2.2.（用反证法）假设结论不成立，即对每一个（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有都有ai2，则，则因为因为ai是整数，应有是整数，应有ai1，于是有：，于是有：a1a2an111nn1这与题设矛盾。这与题设矛盾。所以，最少有一个所以，最少有一个ai2，即必有一个集合中含有两个或两个以，即必有一个集合中含有两个或两个以上元素。上元素。第9页形式二：形式二：设把设把n nm m1 1个元素分为个元素分为n n个个集合集合A A1 1，A A2 2，A An n，用，用a a1 1，a a2 2，a an n表示表示这这n n个集合里对应元素个数，证实最少存在某个集合里对应元素个数，证实最少存在某个个a ai i大于或等于大于或等于m m1 1。（用反证法）假设结论不成立，即对每一个（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有都有aim1，因为，因为ai是整数，所以是整数，所以aim，于，于是有：是有：a1a2anmmmnmnm1n个个m这与题设相矛盾。这与题设相矛盾。所以，最少有存在一个所以，最少有存在一个aim1.第10页1947年，匈牙利数学家把这一原理引进到中学生数学竞赛中，年，匈牙利数学家把这一原理引进到中学生数学竞赛中，当年匈牙利全国数学竞赛有一道这么试题：当年匈牙利全国数学竞赛有一道这么试题：“证实：任何六个证实：任何六个人中，一定能够找到三个相互认识人，或者三个互不认人中，一定能够找到三个相互认识人，或者三个互不认识人。识人。”假如假如B、C、D三人三人互不认识互不认识，那么我们就找到了，那么我们就找到了三个三个互不认识互不认识人；假如人；假如B、C、D三人中有两个三人中有两个相互认相互认识识，比如，比如B与与C认识，那么，认识，那么，A、B、C就是三个就是三个相互认相互认识识人。不论哪种情况，本题结论都是成立。人。不论哪种情况，本题结论都是成立。用用A、B、C、D、E、F代表六个人，从中随便找代表六个人，从中随便找一个，比如一个，比如A吧，把其余五个人放到吧，把其余五个人放到“与与A认识认识”和和“与与A不认识不认识”两个两个“抽屉抽屉”里去，依据抽屉原理，最少里去，依据抽屉原理，最少有一个抽屉里有三个人。不妨假定在有一个抽屉里有三个人。不妨假定在“与与A认识认识”抽屉抽屉里有三个人，他们是里有三个人，他们是B、C、D。第11页第12页第13页第14页要使要使16个儿童个到饼干数各不相同至个儿童个到饼干数各不相同至少需要少需要1+2+3+15+16=这与只有这与只有135块饼干矛盾块饼干矛盾.所以一定有所以一定有2个个儿童得到饼干数目相同儿童得到饼干数目相同.第15页假设无人借假设无人借6本或本或6本以上图书，则本以上图书，则全班至多借书全班至多借书542=210（本）（本）.但全班共但全班共借来借来212本，所以要么最少有两人借本，所以要么最少有两人借6本，本，要么最少有要么最少有1人借人借7本本.第16页 1.1.有黑色、白色、黄有黑色、白色、黄色筷子各色筷子各8 8根，混杂在一起，黑根，混杂在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色暗中想从这些筷子中取出颜色不一样两双筷子，问最少要取不一样两双筷子，问最少要取多少根才能确保到达要求？多少根才能确保到达要求？最多取出最多取出8根只有一个颜色筷子，根只有一个颜色筷子，再取任意再取任意3根即可确保到达要求。所以根即可确保到达要求。所以最少要取最少要取11根根.第17页 2.2.在在1 1只箱子里面放着红、只箱子里面放着红、黑、白三种颜色手套各黑、白三种颜色手套各6 6副，如副，如想闭着眼睛从中取出两副颜色想闭着眼睛从中取出两副颜色不一样手套，问最少要取出多不一样手套，问最少要取出多少只才能到达要求？少只才能到达要求？121212121 12525最少取出最少取出15只手套才能到达要求只手套才能到达要求.第18页3.在在2323方格纸中，将方格纸中，将19这这9个数字填入每个小方格中，并对全部个数字填入每个小方格中，并对全部形如形如“十字十字”图形中图形中5个数字求和，个数字求和，对于小方格中数字任意一个填法，其对于小方格中数字任意一个填法，其中和数相等中和数相等“十字十字”图形最少有多少图形最少有多少个？个？第19页在在2323方方格纸中共有格纸中共有2121=441个个“十十”字图形，字图形，“十十”字图字图形中形中5个数字和个数字和最小为最小为5，最大，最大为为45，共有，共有45-4=41种不一样种不一样和和.由由441=4110+30可知，和数相等可知，和数相等“十十”字图形最少有字图形最少有11个个.第20页4.400人中最少有两个人生日相同人中最少有两个人生日相同.分析：生日从分析：生日从1月月1日排到日排到12月月31日，共有日，共有366个不相个不相同生日，我们把同生日，我们把366个不一样生日看作个不一样生日看作366个抽屉，个抽屉，400人视为人视为400个苹果，由表现形式个苹果，由表现形式1可知，最少有两可知，最少有两人在同一个抽屉里，所以这人在同一个抽屉里，所以这400人中有两人生日相同人中有两人生日相同.解：将一年中解：将一年中366366天视为天视为366366个抽屉，个抽屉，400400个个人看作人看作400400个苹果，由抽屉原理表现形式个苹果，由抽屉原理表现形式1 1能够得知：最少有两人生日相同能够得知：最少有两人生日相同.第21页5.边长为边长为1正方形中，任意放入正方形中，任意放入9个个点，求证这点，求证这9个点中任取个点中任取3个个点组成三角形点组成三角形中，最少有一中，最少有一个面积不超个面积不超过过1/8.EDFG第22页解：将边长为解：将边长为1正方形等分成边长为正方形等分成边长为四个小正方形，视这四个正方形为四个小正方形，视这四个正方形为抽屉，抽屉，9个点任意放入这四个正方形中，个点任意放入这四个正方形中，据形式据形式2，必有三点落入同一个正方形，必有三点落入同一个正方形内内.现尤其取出这个正方形来加以讨论现尤其取出这个正方形来加以讨论.把落在这个正方形中三点记为把落在这个正方形中三点记为D D、E E、F.F.经过这三点中任意一点（如经过这三点中任意一点（如E E）作平行）作平行 线，线，如图可知：如图可知：hSDEFSDEGSEFGEDFG第23页6.6.任取任取5 5个整数，必定能够从中选出三个，个整数，必定能够从中选出三个，使它们和能够被使它们和能够被3 3整除整除.证实：任意给一个整数，它被证实：任意给一个整数，它被3除，余数可能为除，余数可能为0，1，2，我，我们把被们把被3除余数为除余数为0，1，2整数各归入类整数各归入类r，r1，r2.最少有一类最少有一类包含所给个数中最少两个包含所给个数中最少两个.所以可能出现两种情况：所以可能出现两种情况：.某一类最少包含三个数；某一类最少包含三个数；.某两类各含两个数，第三类包含一个数某两类各含两个数，第三类包含一个数.若是第一个情况，就在最少包含三个数那一类中任取三数，若是第一个情况，就在最少包含三个数那一类中任取三数，其和一定能被其和一定能被3整除；整除；若是第二种情况，在三类中各取一个数，其和也能被若是第二种情况，在三类中各取一个数，其和也能被3整整除除.总而言之，原命题正确总而言之，原命题正确.第24页 7.7.某校派出学生某校派出学生204204人上山植树人上山植树1530115301株，株，其中最少一人植树其中最少一人植树5050株，最多一人植树株，最多一人植树100100株，株，则最少有则最少有5 5人植树株数相同人植树株数相同.证实：按植树多少，从证实：按植树多少，从50到到100株能够结构株能够结构51个抽屉，个抽屉，则个问题就转化为最少有则个问题就转化为最少有5人植树株数在同一个抽屉人植树株数在同一个抽屉里里.(用反证法用反证法)假设无人或人以上植树株数在假设无人或人以上植树株数在同一个抽屉里，那只有人以下植树株数在同一个同一个抽屉里，那只有人以下植树株数在同一个抽屉里，而参加植树人数为抽屉里，而参加植树人数为204人，所以，每个抽屉人，所以，每个抽屉最多有最多有4人，故植树总株数最多有：人，故植树总株数最多有：第25页4(504(5051519999100)100)441530015301得出矛盾得出矛盾.所以，最少有所以，最少有5 5人植树株数相同人植树株数相同.第26页 形式一：形式一：设把设把n n1 1个元素分为个元素分为n n个集合个集合A A1 1，A A2 2，A An n，用，用a a1 1，a a2 2，a an n表示这表示这n n个集合个集合里对应元素个数，证实最少存在某个里对应元素个数，证实最少存在某个a ai i大于或大于或等于等于2.2.形式二：形式二：设把设把n nm m1 1个元素分为个元素分为n n个集个集合合A A1 1，A A2 2，A An n，用，用a a1 1，a a2 2，a an n表示这表示这n n个个集合里对应元素个数，证实最少存在某个集合里对应元素个数，证实最少存在某个a ai i大大于或等于于或等于m m1 1。抽屉原理两种常见形式抽屉原理两种常见形式:第27页抽屉原理不但在数学中有用，在抽屉原理不但在数学中有用，在现实生活中也处处于起作用，如招生现实生活中也处处于起作用，如招生录用、就业安排、资源分配、职称评录用、就业安排、资源分配、职称评定等等，都不难看到抽屉原理作用。定等等，都不难看到抽屉原理作用。第28页第29页
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