2015届高考理科数学第一轮知识点专项题库74.doc

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第4讲　参数方程
1． P为曲线C1：(θ为参数)上一点，求它到直线C2：(t为参数)距离的最小值．
解　将曲线C1化成普通方程是(x－1)2＋y2＝1，圆心是(1,0)，
直线C2化成普通方程是y－2＝0，则圆心到直线的距离为2.
所以曲线C1上点到直线的最小距离为1.
2．在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值．
解　∵椭圆＋y2＝1的参数方程为(φ为参数)，故可设动点P的坐标为(cos φ，sin φ)，其中0≤φ<2π.因此S＝x＋y＝cos φ＋sin φ＝
2＝2sin，
∴当φ＝时，S取得最大值2.
3． 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，曲线D的参数方程为(t为参数)．若曲线C、D有公共点，求实数m的取值范围．
解　曲线C的普通方程为(x－m)2＋y2＝4.
曲线D的普通方程为3x＋4y＋2＝0.
因为曲线C、D有公共点，所以≤2，|3m＋2|≤10.
解得－4≤m≤，即m的取值范围是.
4．已知极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的直线与x轴的交点为P，与椭圆(θ为参数)交于点A，B，求PA·PB的值．
解　由题意，直线经过点P(1,0)，
其参数方程为(t为参数)， ①
又椭圆方程为＋y2＝1， ②
将①代入②，整理，得5t2－2t－6＝0；
所以PA·PB＝|t1t2|＝.
5．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝4cos，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l被⊙C截得的弦AB的长度．
解　⊙C的方程可化为ρ＝4cos θ＋4sin θ，两边同乘ρ，则ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ.
由ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得x2＋y2－4x－4y＝0.
圆心C的坐标为(2,2)，圆的半径r＝2.
又由题设知直线l的普通方程为x－y－2＝0，
故圆心C到直线l的距离d＝＝.
∴弦AB长度等于2＝2.
6．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线C1的方程为ρ2＝8ρsin θ－15，曲线C2的方程为(α为参数)．
(1)将C1的方程化为直角坐标方程；
(2)若C2上的点Q对应的参数为α＝，P为C1上的动点，求PQ的最小值．
解　(1)x2＋y2－8y＋15＝0.
(2)当α＝时，得Q(－2,1)，点Q到C1的圆心(0,4)的距离为，所以PQ的最小值为－1.
7．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l被曲线C截得的线段长度．
解　将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋y2－6y＝0，即x2＋(y－3)2＝9，它表示以(0,3)为圆心，3为半径的圆，直线方程l的普通方程为y＝x＋1，
圆C的圆心到直线l的距离d＝1，
故直线l被曲线C截得的线段长度为2＝4.
8．在平面直角坐标系xOy中，判断曲线C：(θ为参数)与直线l：(t为参数)是否有公共点，并证明你的结论．
解　直线l与曲线C没有公共点．证明如下：
直线l的普通方程为x＋2y－3＝0，
把曲线C的参数方程代入l的方程x＋2y－3＝0，得
2cos θ＋2sin θ－3＝0，即sin＝.
∵sin∈[－，]，而∉[－，]，
∴方程sin＝无解，即曲线C与直线l没有公共点．
9．已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．
解　将直线l的参数方程(t为参数)转化为普通方程为x＋2y＝0，
因为P为椭圆＋y2＝1上任意一点，
故可设P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈R.
因此点P到直线l的距离
d＝＝，
所以当θ＝kπ＋，k∈Z时，d取得最大值.
10．过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线(t为参数)相交于A、B两点，求线段AB的长．
解　直线的参数方程为(s为参数)，
又曲线(t为参数)可以化为x2－y2＝4，将直线的参数方程代入上式，得s2－6s＋10＝0，
设A、B对应的参数分别为s1，s2.
∴s1＋s2＝6，s1s2＝10
∴|AB|＝|s1－s2|＝＝2.
11．已知圆锥曲线(θ是参数)和定点A(0，)，F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点．
(1)求经过点F1且垂直于直线AF2的直线l的参数方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程．
解　(1)圆锥曲线化为普通方程＋＝1，
所以F1(－1,0)，F2(1,0)，则直线AF2的斜率k＝－，于是经过点F1且垂直于直线AF2的直线l的斜率k′＝，直线l的倾斜角是30°，
所以直线l的参数方程是(t为参数)，
即(t为参数)．
(2)直线AF2的斜率k＝－，倾斜角是120°，
设P(ρ，θ)是直线AF2上任一点，
则＝，ρsin(120°－θ)＝sin 60°，
则ρsin θ＋ρcos θ＝.
12．已知直线C1：(t为参数)，
圆C2：(θ为参数)．
(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
解 (1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.
联立方程组解得C1与C2的交点为(1，0)，.
(2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.
A点坐标为(sin2 α，－cos αsin α)．
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为
(α为参数)．[来源
P点轨迹的普通方程为＋y2＝.
故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．
13．已知曲线C1：(t为参数)
C2：(θ为参数)
(1)若C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)距离最小值．
解 (1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，
C2：＋＝1，
C1为圆心(－4，3)半径是1的圆．C2为中心是坐标原点，焦点为(±，0)长半轴为8，短半轴为3的椭圆．
(2)当t＝时，P(－4，4)，Q(8cos θ，3sin θ)，
故M(－2＋4cos θ，2＋sin θ)．
C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离
d＝|4cos θ－3sin θ－13|
＝|5cos(θ＋φ)－13|(其中cos φ＝，sin φ＝)，
∴dmin＝.
14． 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为 参数)，曲线C2的参数方程为(a>b>0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l∶θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．
(1)分别说明，C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1.当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
解 (1)C1是圆，C2是椭圆．
当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a，0)，
因为这两点间的距离为2，所以a＝3.
当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b)，
因为这两点重合，所以b＝1.
(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1.
当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝.
当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．
故四边形A1A2B2B1的面积为
＝.

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