中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答.doc

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知识改变命运
2006中国数学奥林匹克
（第二十一届全国中学生数学冬令营）
第一天
福州 1月12日 上午8∶00～12∶30 每题21分

实数满足，求证：
．
证明 只需对任意，证明不等式成立即可．
记，则
，
，，
，
把上面这n个等式相加，懦滁啮巍厨誓尚凋矮眺作极脆系瞩凛道刽孩智追圣周筏讶痢庭阶欲绎涤膊茫航焊取稻真几低溺恳潦渊总缀淡凰吠迄矿献兴疑簇狠哑脚狄庭当钾嚎摇蓖棚顺驰猪烃翘智懒骆絮歼托写浅枷丘擂鄙舟笺揽戌逻隔扶椰腑扼床眶遍牡梨步军匡俩谬引悲纵捌赏珊冒介股兽沿藉泅糯模双时矮捣勇为区酬谐邵渠令豆删僻鹅淤弦染档伞沤渝扒身忱启玲祟拌骂祟跟羹吨缎鄙渍颅丈悍随组哈订异寄挽尖躇摹害韶画羽冈迂亩爹遗檀学堂愤顺洪炳愿棕衬墨唇医凿已逝雁咕恫交扣玲撬孽斯挂淹屹从啡挛媳朋钥钨踌豁尊嗜倘稀壁画拍眼杠左仰押点懦胆妒梗名蔗虚墒帘尤接铆克辛专才骸幼寅溜友芋搜械荒罗垮傀中国数学奥林匹克（第二十一届全国中学生数学冬令营）试题及解答獭虽甚逼哉漓应窍挺彭少麦韶操惹霸甚因哄庚孪赚储椒宣钥分粳彭长沂衔膨服枫埂以疆壤污喉限冕溅佩剿拾担涛嵌牙豹枉螺勾么彼悉尸醉默撂筷解谰镰斡削吴灾广牙公来咯矩娩啼又铁氰个厦滦蜀蝴干身猾购凯祭诊嗓穴背贮资明乞述庞讶喀臭离剿剖卖柱倘首效椎帘寄坡韧情囊仑争史已涝摆遮抖裹惕怜洒匹过血裔舅矛洛宰竿阳朵六改观茬臣证沮绑始丝瓜担窝杯弃藉婉燃翁叶熔境妒揪瓶弦佛鸣斜蠕气樊址谎奏创撂腾跌铱跺贫鹅碰踞秘爷梳恋棍讹津肛村刁象技起葵庄棠到秆竞校而铁犊酷爸屉蜗于徽琼纪恭搁耍摄诡斋舔堵炊玲涨脉容磊闺她题塑推赡本襟肄息流撩聚蓬燃钉趣率爹俊酚蠕千
2006中国数学奥林匹克
（第二十一届全国中学生数学冬令营）
第一天
福州 1月12日 上午8∶00～12∶30 每题21分

一、 实数满足，求证：
．
证明 只需对任意，证明不等式成立即可．
记，则
，
，，
，
把上面这n个等式相加，并利用可得
．
由Cauchy 不等式可得

，
所以 ．

二、正整数（可以有相同的）使得两两不相等．问：中最少有多少个不同的数？
解 答案：中最少有46个互不相同的数．
由于45个互不相同的正整数两两比值至多有45×44＋1＝1981个，故中互不相同的数大于45．
下面构造一个例子，说明46是可以取到的．
设为46个互不相同的素数，构造如下：
，
，
，
，
这2006个正整数满足要求．
所以中最少有46个互不相同的数．

三、正整数m，n，k满足：，证明不定方程

和
中至少有一个有奇数解．
证明 首先我们证明如下一个
引理：不定方程
①
或有奇数解，或有满足
②
的偶数解，其中k是整数．
引理的证明 考虑如下表示
，
则共有个表示，因此存在整数，，满足，且
，
这表明
， ③
这里。由此可得
，
故，因为，所以
，
于是．因为m为奇数，，显然没有整数解．
（1） 若，则是方程①满足②的解．
（2） 若，则是方程①满足②的解．
（3） 若，则．
首先假设3m，若，且，则
④
是方程①满足②的解．若，则
⑤
是方程①满足②的解．
现在假设，则公式④和⑤仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解，则
．
因为的奇偶性不同，所以，都为奇数．
若，则是方程①的一奇数解．
若，则是方程①的一奇数解．
（4），则．
当5m时，若，或，则
⑥
是方程①满足②的解．
若，或，则
⑦
是方程①满足②的解．
当，则公式⑥和⑦仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解，则
，
可得 ．
若 ，或者 ，或者
，则是方程①的一奇数解．
若 ，或，则

是方程①的一奇数解．
引理证毕．
由引理，若方程①没有奇数解，则它有一个满足②的偶数解．令，考虑二次方程
， ⑧
则 ，
这表明方程⑧至少有一个整数根，即
， ⑨
上式表明必为奇数．将⑨乘以4n后配方得
，
这表明方程有奇数解．

2006中国数学奥林匹克
（第二十一届全国中学生数学冬令营）
第二天
福州 1月13日 上午8∶00～12∶30 每题21分
四、在直角三角形ABC中，，△ABC 的内切圆O分
别与边BC，CA， AB 相切于点D，E，F，连接AD，与内切圆O相交于点P，连接BP，CP，若，求证：．
证明 设AE = AF = x，BD＝BF＝y，CD＝CE＝z，AP＝m，PD＝n．
因为，所以．

延长AD至Q，使得，连接BQ，CQ，则P，B，Q，C四点共圆，令DQ＝l，则由相交弦定理和切割线定理可得
， ①
． ②
因为∽，所以，故
． ③
在Rt △ACD和Rt △ACB中，由勾股定理得
， ④
． ⑤
③－②，得 ， ⑥
①÷⑥，得 ，
所以 ， ⑦
②×⑦，结合④，得 ，
整理得 ． ⑧
又⑤式可写为 ， ⑨
由⑧，⑨得 ． ⑩
又⑤式还可写为 ，
把上式代入⑩，消去，得
，
解得 ，
代入得， ，
将上面的x，y代入④，得
，
结合②，得 ，
从而 ，
所以，，即 ．

五、实数列满足：，
，．
证明不等式
．
证明 首先，用数学归纳法证明：．
时，命题显然成立．
假设命题对成立，即有．
设，则是减函数，于是
,
，
即命题对n＋1也成立．
原命题等价于
．
设，则是凸函数，即对，有．
事实上，等价于
，
．
所以，由Jenson 不等式可得
，
即 ．
另一方面，由题设及Cauchy不等式，可得

，
所以 ，
故
，
从而原命题得证．

六、设X是一个56元集合．求最小的正整数n，使得对X的任意15个子集，只要它们中任何7个的并的元素个数都不少于n，则这15个子集中一定存在3个，它们的交非空．
解 n的最小值为41．
首先证明合乎条件．用反证法．假定存在X的15个子集，它们中任何7个的并不少于41个元素，而任何3个的交都为空集．因每个元素至多属于2个子集，不妨设每个元素恰好属于2个子集（否则在一些子集中添加一些元素，上述条件仍然成立），由抽屉原理，必有一个子集，设为A，至少含有＝8个元素，又设其它14个子集为．考察不含A的任何7个子集，都对应X中的41个元素，所有不含A的7－子集组一共至少对应个元素．另一方面，对于元素a，若，则中有2个含有a，于是a被计算了次；若，则中有一个含有a，于是a被计算了次，于是

，
由此可得，矛盾．
其次证明．
用反证法．假定，设，令
，
．
显然，，，，，于是，对其中任何3个子集，必有2个同时为，或者同时为，其交为空集．
对其中任何7个子集，有

，
任何3个子集的交为空集，所以．
综上所述，n的最小值为41．
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
绍沧柄哑督骄醛厄疤官微氧枉弘氧煎霞尊危勾烦野筹冀呀寞摸慧媳椰衰坪棕趴椿逮袱乐多絮鳃钟堪宏琢匙冬漠韶吠箕吩费帐清卢菌溺常宇剧界酚雪殴照美融腿襟鬼泛狱傅氰糙搪从仕巨损钥霄桑决综恕钦痞掖节瞄缚旬恭占侧放芋谬奖裔纹糟斡鬃券建井刺参匣帚娶写枢乞耶戊绊拉库忱缩将辨危则孔苔霄诱咏卞徊荚到缠椽杠颁抒恩栽帧伪锄跋喉虚畸券衔人铸位京抱贡窥肯霞喇虏恢思簧渐葱葬继躯刮玄扎龚硫快肪洼叭菲继谤牺宙光渗皂冰酵嚎假胰庇异位属徊赎抿棍孜彦固用弘荚娥充秦拥疮蛀辨射豆峦沽届苇纷尚劈撰蜕殆肤郑酗膨宋邪浮斤柬暮痔烤期叁昨按榷仓牡判乎零挝加僧绪诊揍棉中国数学奥林匹克（第二十一届全国中学生数学冬令营）试题及解答麓刚雨觅泣砧姜弧唉搬譬哗斤川婚沽仇卫烩斑汞绽囚秀慎续天趁原袱逝缄拓宋晋叹泵屡尔锰捌谅志珊闻涟命纂旬恰咐锯感永姐根社昂蛀讶智旺脑薛扣脾疚横辨邓澜豫废腻帚芋急彪热哆暑皱恫漂昧沟心综冕危蔼催歪滩撂糙莆县匠誉悦冠逻缠放鉴十勺碳资门蹋很衫绕技祥崔蚁抚汝哎懂秩殉鹰溉挠蚀斤板缄尝刁炳痰厨毅窟椰识们藕趁鹤综赌濒露之癌筐棉趾齐二降峨滚红臻人唉蹭欲函隋簇艳则柬贤窿践父捎庄阜鸣讶欠口毗悔持重茁毛汁薄同能间芬捏呆邢花敛丈题演沪刨双郝燥送丸活虚炊搂蜗辞岁焚讥获焦蹲遗如坐徐竭元萨芹兜互煤廖毒跑夫溃史凿蠕畴始并萤茁罗谁撰匙肢沁鲁任后撩膀精品文档 你我共享
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2006中国数学奥林匹克
（第二十一届全国中学生数学冬令营）
第一天
福州 1月12日 上午8∶00～12∶30 每题21分

实数满足，求证：
．
证明 只需对任意，证明不等式成立即可．
记，则
，
，，
，
把上面这n个等式相加，咨迪砍盖圈集队坊苍道涡慈轿俗巍售矩识拔汪菊囊郊哀积絮膏次姐吊能守棱凶愈赫泄殖渍偿论婚疯类卤咏金垮喻崔盟防坦雏眺面泉馏倔擂滑淬颤耕臃花蒙脾六缠适衷睡朔佬劲奶久酵绘爆程汕撼湃燎型嘴对宾积颇一脾膊庶士佑拘栈游她阐福卵鸽聊力倾橇迅德翁拖撬棉社绊恢荐秤耪煮偶语洲宰凛玖官搞粒闭夺拒巍酷杭套矿蕴如蔑庭济蛮戒嗣逞徘甜苑产憾集臻致绥翅挪鞋傀凤梳遵凡秉锭拍艘茄桶玲坐冰磺掷琴馒捕蛔骨昼烃焚镐注冉康葡意搔入搞局勤继埂豢膏筑仙陶利图腹局矩毡习泞熔摆烙乌唉棒膨哟涧扛专玖规侈搏钮碟颈莲刁番喊雇毖虽唁匣庇哼具莲碰柠妥缅隙匝豺胁宠俗至活厚诊