2015届高考数学第一轮基础巩固训练题22.doc

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第6讲　抛物线
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2013·四川卷)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是 (　　)．
A．2　 B．2　
C．　 D．1
解析　由抛物线方程知2p＝8⇒p＝4，故焦点F(2,0)，由点到直线的距离公式知，F到直线x－y＝0的距离d＝＝1.
答案　D
2．(2014·安康中学模拟)已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p的值为 (　　)．
A．1　 B．2　
C．　 D．4
解析　圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3,0)，半径为4.圆心到准线的距离为3－＝4，解得p＝2.
答案　B
3．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是(　　)．
A．y＝12x2　 B．y＝12x2或y＝－36x2
C．y＝－36x2　 D．y＝x2或y＝－x2
解析　分两类a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2.
答案　D
4．(2014·吉安模拟)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则A点的横坐标为 (　　)．
A．2　 B．3　
C．2　 D．4
解析　抛物线的焦点为，准线为x＝－.双曲线的右焦点为(3,0)，所以＝3，即p＝6，即y2＝12x.过A做准线的垂线，垂足为M，则|AK|＝|AF|＝|AM|，即|KM|＝|AM|，设A(x，y)，则y＝x＋3，代入y2＝12x，解得x＝3.
答案　B
5．(2013·新课标全国Ⅱ卷)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为 (　　)．
A．y＝x－1或y＝－x＋1
B．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
C．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
D．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
解析　法一　由|AF|＝3|BF|，得＝3，而F点坐标为(1,0)，设B(x0，y0)，则从而可解得A的坐标为(4－3x0，－3y0)，因为点A，B都在抛物线上，所以解得x0＝，y0＝±，所以kl＝＝±.
则过点F的直线方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1)．
法二　结合焦点弦公式|AB|＝及＋＝求解，设直线AB的倾斜角为θ，由题意知p＝2，F(1,0)，＝3，又＋＝，∴＋＝1，
∴|BF|＝，|AF|＝4，∴|AB|＝.
又由抛物线焦点弦公式：|AB|＝，∴＝，
∴sin2θ＝，∴sin θ＝，∴k＝tan θ＝±，故选C.
答案　C
二、填空题
6．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．
解析　由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.
答案　x2＝12y
7．已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x0＝________.
解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.
根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3.
答案　3
8．(2012·陕西卷)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．

解析　

如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2米．
答案　2
三、解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值．
解　法一　根据已知条件，抛物线方程可设为
y2＝－2px(p＞0)，则焦点F.
∵点M(－3，m)在抛物线上，且|MF|＝5，
故
解得 或
∴抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.
法二　设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则准线方程为x＝，由抛物线定义，M点到焦点的距离等于M点到准线的距离，所以有－(－3)＝5，∴p＝4.
∴所求抛物线方程为y2＝－8x，
又∵点M(－3，m)在抛物线上，
故m2＝(－8)×(－3)，
∴m＝±2.
10．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；
(2)求证：·是一个定值．
(1)解　∵由题意可知抛物线的焦点F为(1,0)，准线方程为x＝－1，∴直线l的方程为y＝x－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，
由直线l过焦点，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8.
(2)证明　设直线l的方程为x＝ky＋1，
由得y2－4ky－4＝0.∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．
∵·＝x1x2＋y1y2
＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2
＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.
∴·是一个定值．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)．
A．x2＝y　 B．x2＝y
C．x2＝8y　 D．x2＝16y
解析　∵－＝1的离心率为2，∴＝2，即＝＝4，∴＝.x2＝2py的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意，得＝2，∴p＝8.故C2：x2＝16y，选D.
答案　D
2．(2014·上饶模拟)已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是 (　　)．
A.　 B.　
C．2　 D.－1
解析　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.
答案　D
二、填空题
3．(2014·郑州二模)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝________.
解析　抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为直线AF的倾斜角为120°，所以tan 120°＝，所以yA＝2.因为PA⊥l，所以yP＝yA＝2，代入y2＝4x，得xA＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.
答案　4
三、解答题
4．(2014·台州质量评估)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点K(0，－1)的直线l与C相交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为D.
(1)证明：点F在直线BD上；
(2)设·＝，求∠DBK的平分线与y轴的交点坐标．
(1)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(－x1，y1)，l的方程为y＝kx－1，由得x2－4kx＋4＝0，
从而x1＋x2＝4k，x1x2＝4.
直线BD的方程为y－y1＝(x＋x1)，
即y－＝(x＋x1)，
令x＝0，得y＝＝1，所以点F在直线BD上．
(2)解　因为·＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝8－4k2，故8－4k2＝，解得k＝±，所以l的方程为4x－3y－3＝0,4x＋3y＋3＝0.
又由(1)得x2－x1＝±＝±，
故直线BD的斜率为＝±，
因而直线BD的方程为x－3y＋3＝0，x＋3y－3＝0.
设∠DBK的平分线与y轴的交点为M(0，t)，
则M(0，t)到l及BD的距离分别为，，
由＝，得t＝或t＝9(舍去)，
所以∠DBK的平分线与y轴的交点为M.

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