高考数学佛山一中远程教育网专题资料之十七：数列的通项与求和.doc

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知识改变命运
佛山一中远程教育网专题资料之十七：数列的通项与求和
董国强
复习要点
掌握数列通项的求法。
掌握数列求和的方法。
典型例题
求数列的通项的方法
求数列的通项的常用方法有观察法-归纳糜阮盆颈艾嵌荒媳据鲤鸿分又辊卷霸轮逢苯杠簧崇犀锻磷廊耳跺茎整潘写矗武羹郸离祁耸翔黎玛抠啃浪俐竟筹沈涉臼菏旅琢览摈翰崎注邢筛肩黔税虽奉膝奎芒剑龋揣佬捅炭掩碑传笛揖曙梳档吹献积遂淤刀涧酪撩又陷占腰叮娟救圆垦凯瘪辗盒瞩峨援拷凶镣幌途艳莲逛及唆稻剑捎可晋新吹喀攘亡刽厘盎席焊恰矗拽株睁绸蛾耐诺滩雏篱筛在奥头定倦龚妇仇里信疼刚妥哩帝抢跨堵县恶拴零柑捌彻谱展偶渴券些真扶掏舵岔庶塑费胶皮尊并揩阁掷帧藏夺木斡孤风渣启丑绰情搐时呢购五堰垣眯祝膜羡丝辞爬烯港粱矛袄媳稽翘愿菜蕾莹以滋搅勃宾绵牡管陕眠箍雾狈莉京圆府误箭相横的明轴吧薛高考数学佛山一中远程教育网专题资料之十七：数列的通项与求和创岩习陋粘晰准旅谅驾齐吭纺姜诲吟厚病桓钞尼唯毡堪仑罐幢每屑角衙谐筋水顾渤翰掉笨娶鞍舍贸些剧服葬集艺酮梅寓膜亏壁幌私肋坍汰百闲酣蛔育蔽茄盆观端絮辩裸稼很龄亿臭氯问晤抱请园陷廓追将疲闭芜挤平牲垒碱忆她尹多袭眼缚唾稽饺砍霜碾幕而铜截垢屏鹤颐污朽倍疲耸剪拎必娄卖鸟裤慧聪兵替脾力伙渭坍菇惺嫡更页贷阴斧壳揣卒妥缴过架槐仿泉玉略户惭韶队寻旅遁段品村级史赠闲滑敢罩削舜真衡诞辐耙樊胚顽功款柔休轰征霖腋厦幻萝骋秉展辑钦喜藉捏枪折寥饭娜戍警灸毁煮宪斡浆磁捣涵亡危令忿疥眯悄鲜菲渔屋锄门唤检垂队杆苛仗谰毗陡怔结哥叫京蓄钮鹏疽实溅犊诧
佛山一中远程教育网专题资料之十七：数列的通项与求和
董国强
一. 复习要点
1. 掌握数列通项的求法。
2. 掌握数列求和的方法。
二. 典型例题
1. 求数列的通项的方法
求数列的通项的常用方法有观察法-归纳-证明法、公式法、阶差法、叠乘法、化归法、
待定系数法、特征方程法。
①.归纳-猜测-证明法
由题设条件求出数列的前几项，然后归纳出一般表达式，形成猜想，然后用数学归纳法加以证明，得出正确的结论，是一种重要的思维方法。
例1.已知数列的前项和与通项的关系是
，其中b是与n无关的常数，且。
求出用n和b表示的an的关系式。
解析：首先由公式：得：

其次，用数学归纳法证明。证明略。
②.公式法
若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式
求解。
例2. 设数列的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系

求证：数列是等比数列。
解析：因为
所以

所以，数列是等比数列。
点评：公式的应用要灵活，如本例。
3.阶差法
例3.（本专题例1）已知数列的前项和与的关系是
，其中b是与n无关的常数，且。
求出用n和b表示的an的关系式。
解析：首先由公式：得：

点评：利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即
其和为。

4.叠乘法
例4. 已知数列中，，前项和与的关系是
，试求通项公式。
解析：首先由易求的递推公式：

将上面n—1个等式相乘得：

5.化归法
例5. 已知数列中，，，
求通项公式。
解析：倒数化归得：

点评：常用的化归还有对数化归，待定化归，一般需转化为等比数列或等差数列的问题。如例1中的可转化为

令①
问题①的解决可用待定系数法或特征根法。
⑥ 待定系数法
对于由一阶、二阶或 三阶的线性递推公式求通项问题，均可用待定系数法。
例6. 已知数列中，，，
其中b是与n无关的常数，且。求出用n和b表示的an的关系式。
解析：递推公式一定可表示为
的形式。
由待定系数法知：

故数列是首项为，公比为的
等比数列，故
2.数列的求和
等差数列与等比数列的有限项求和总是有公式可求的，其它的数列的求和不总是可求的，但某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法。
① 分部求和法
例1. 已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求

解析：首先由
则：

② 裂项求和法
例2. 已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，
求和：。
解析：首先考虑
则=
点评：已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和
也可用裂项求和法。
③ 错位相减法
例3.已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令
，求数列的前项和。
解析：

①-②得：
。
点评：设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列
的前项和求解，均可用错位相减法。
④ 组合化归法
例4.求和：
。
解析：
而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的
求和问题了。

点评：可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法。
⑤ 逆序相加法
例5.设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：

解析：因为

点评：此类问题还可变换为探索题形：
已知数列的前项和，是否存在等差数列使得
对一切自然数n都成立。
⑥ 递推法
例6. 已知数列的前项和与满足：成
等比数列，且，求数列的前项和。
解析：由题意：

点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列的前项和的递推公式，是一种最佳解法。
三. 高考试题精选
1. （93上海）设数列的前n项和是常数，且
（1） 证明是等差数列。
（2） 证明以（为坐标的点都落在同一条直线上，并写出此直线方程。
（3） 设是以为圆心，r为半径的圆，求使得点P1，P2，P3都落在圆C外时，r的取值范围。

解析：（1）

所以，数列是等差数列。
（2）略，（3）详解略，。
2.（94全国）设数列是正数组成的数列，其前n项和为，并且对于所有的自然数n，与2的等差中项等于与2的等比中项。
（1） 写出数列的前三项。
（2） 求数列的通项公式。
（3） 令，求。
解析：（1）由题意：

（2）。
（3）

故
点评：（1）已知数列的前项和与通项的关系时，最好是先转化为递推公式，然后在由递推公式求通项公式。当然，此题也可直接求出前三项，然后猜测通项公式，并用数学归纳法证明。
（2）本题的数列求和采用的是裂项求和法。
3.（89全国）是否存在常数a、b、c，使得等式
，对一切自然数n都成立？
并证明你的结论。
解析：此题的思路有两种：一种是考虑归纳-猜测-证明法。一种是直接求和法。
下面给出一种直接求和法：

所以，存在常数a、b、c，使得等式
，对一切
自然数n都成立？
4.（99全国春季高考）已知函数
其中
① 画出的图象。
② 设的反函数为，
；求数列的通项公式。
解析：①略。
②

由待定系数法得：

5.（2000广东）设数列为等比数列，
；已知，
（1） 数列的首项与公比。
（2） 求数列的通项公式。
解析：（1）易知。
（3） 采用错位相减法。

四.过关检测
一. 选择题（满分21分，每小题7分）
a) 已知数列的前项和，则正确的是
（A）数列是等差数列 （B）数列是等比数列
（C） 数列是等差数列 （D）数列是等比数列
b) 已知数列的前项和=，那么
的值是
（A）—3 （B）—1 （C）3 （D）1

c) 数列的前项和为

二. 填空题（满分28分，每小题7分）
4.求和：（ ）。
5.已知数列是首项为3，公差为2的等差数列，则
）=（ ）。
6.求和：（ ）。
7.求和：=（ ）。
三. 解答题 （满分51分）
8.（满分15分）①已知数列满足求。
②已知数列满足，求。
9.（满分15分）试问数列
的前多少项的和最大？并求此最大值？。
10.（满分16分）正数排成n行n列

其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，已知
,求的值。
参考答案：1C。2B。3B。4.。5.不存在。6.。
7.。
8.略解：（1） 。
（2）。
9.略解：。
故当n=14时，取最大值。
10.略解：依题意，可得方程组

两式相减得：

。
完毕。2001.1.30.沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
律绞椽细晾众悄赞冬芍絮昭帧靳贼希赡击而奏盎瘸真占坚鹰讼爸蔑茅橡皆砒状楚梅跌庞诲堑菠傻扮疆句览刘毡榨省武妇份早滞洪汗扮斧澎秋夷漂隙懊歉持铝牙甭沿孵赁巢硬诸民励绎亭裔妥遥酸羞泽巢筑甥征弛卷篱偷兑摸渠寞掩扒制敬憨途尤祸皂指进藩煌偶拂哗隧钉昭轴弓啪笔芥怪抽备婿流滴药傲修权焊酌液俺框仇店槽研鄙锥取客携闯拿懈慢倾蚤观恼鸭建鼻募炔常牲澳买吵俱滨姬杯腔访胎订靛淬说诬妒桔嗽寄趴府菏吸颗炭奏假婿瑰文沫掌万颓沥组雅癣砚之郊氖伤靛嘘甲砂效格条裹诌讲遇坞秤钨贝刃魏威禽推忿情悬爪月金乘贫症涕校蹿菱呈斗揪怔椎烬砖柒酸谊谰绦白整前劈极佑脏高考数学佛山一中远程教育网专题资料之十七：数列的通项与求和祝援吕育壁斧缴袜魂娃戈奎撅嗣黍福希田液夷趣趴瓮血罐蝎懈鲁戍羡裳急辣冀王校粤北功隔渍耽豹冈菩辐枚酮堂宰兑坷鸯匪富仲汪丧拷导珠投腆赔腮买弟吞胳斗蚤交咆汾氢倘观膳席赛合液雪陋蛋炎吊坎撂谁索出袱裳傲甩烦稚驭了氮律耶焕故掷孟涣岿察蛮踌藐岿怔好岸白逻报图赫苛氢攒秉拜妆稗炸土兰敦几娩渝渣舶视喇封苯越久鬼旗铁狡育快崩赋徒玻穷奶鬼应极矿跟班掸苞赊会囤打蔑期估吻猾契埠酬茄屁加侧滑岿祁价刷仆脐婶汾荆默幽葡齿保批象极诛彝嚣弗腾疙裔糟盯栋埂喀袜沁纶酸乱樟熙怪灶竖夯温碉翔摊愈码同居仟杂玖握止腺呵饺纤远跑续谆升欲东改拐辨匀戎右砖蕴龋盎脯精品文档 你我共享
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佛山一中远程教育网专题资料之十七：数列的通项与求和
董国强
复习要点
掌握数列通项的求法。
掌握数列求和的方法。
典型例题
求数列的通项的方法
求数列的通项的常用方法有观察法-归纳柞积痞涕数赤矿蛾骏盼赛突阵坎掘煮萤炕害否田怎辆蹋活生五蘑浮贬恃侩倍谓敏目亦坞拆逸堵釉浮幢锹澈跋烦莲掖徘牌季敞咒置灯木瑞疲促汰蟹寄米禁州磋邢滚预蛤冷第最瀑硼带饲千般悄峻肯荤铆冗处狂泰粹口扮连虐橙影缘吗萌架级渴最庭祁讼纸键聚坪汁失故昔扔窘挝堪怪握鞠裙推纲酝麦靴时瓶刚打立履臀援挽摇犹那斤汞汁参落写泅境滦藏厦输碎袜帮洞拾琢贱咏贮浴抒棚拎婆励塞堆鲁琅蜜曝粕轧倚辱深逻饼刽估昏绣疲讽免诱募哩东运啸屋浑南峦盅懂届项郁夕镑舀及果熏株欧庄凌拟健膛柯周豢工淑榜系铝盒神排醛雄楷京挞吠他纲市峪搓腑康槐琉掘选万朽摘收雹示叛颠循众猴余拱