2017-2018学年高二数学上册基础巩固检测题4.doc

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23　两角和与差的正弦余弦函数2

时间：45分钟　满分：80分
班级________　　姓名________　　分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知a＝sin10°＋cos10°，b＝sin20°＋cos20°，c＝，则a、b、c的大小关系为(　　)
A．a<c<b　　B．a<b<c
C．c<b<a D．b＜a＜c
答案：A
解析：a＝sin55°<sin60°＝，b＝sin65°>sin60°＝.
2．已知sinα＋sinβ＋sin1＝0，cosα＋cosβ＋cos1＝0，则cos(α－β)＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D.
答案：C
解析：原式变为
sinα＋sinβ＝－sin1　 　①
cosα＋cosβ＝－cos1　　②
①②平方相加得cos(α－β)＝－.
3．设函数f(x)＝sin＋cos，则(　　)
A．y＝f(x)在单调递增，其图像关于直线x＝对称
B．y＝f(x)在单调递增，其图像关于直线x＝对称
C．y＝f(x)在单调递减，其图像关于直线x＝对称
D．y＝f(x)在单调递减，其图像关于直线x＝对称
答案：D
解析：f(x)＝sin＋cos＝sin＝cos2x.
则函数在单调递减，其图像关于x＝对称．
4．已知锐角α，β满足cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为(　　)
A.　　B．－　　C.　　D．－
答案：A
解析：∵α，β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，∴sinα＝，sin(α＋β)＝，∴cos(2π－β)＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－×＋×＝.
5．若sinα＋sinβ＝，则cosα＋cosβ的取值范围是(　　)
A. B.
C．[－2,2] D.
答案：D
解析：设cosα＋cosβ＝x，
则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝＋x2，
即2＋2cos(α－β)＝＋x2，
∴x2＝＋2cos(α－β)．
显然，当cos(α－β)取得最大值时，x2有最大值．
∴0≤x2≤即－≤x≤.
6．设α，β∈，sinα＝，sinβ＝，α＋β的大小为(　　)
A．－135° B．45°
C．135° D．45°或135°
答案：B
解析：cos(α＋β)＝，∵α＋β∈(0°，180°)，∴α＋β＝45°.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°＝________.
答案：cos1°
解析：－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°
＝－sin40°(－sin39°)＋cos40°cos39°
＝cos(40°－39°)
＝cos1°.
8．已知α是第二象限角，sin＝－，则cosα＝________.
答案：－
解析：因为α是第二象限角，sin＝－<0，所以α＋是第三象限角，所以cos＝－，所以cosα＝cos＝cos＋sin＝－.
9.＝__________.
答案：
解析：原式＝＝＝.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知3sinβ＝sin(2α＋β)，α≠kπ＋，α＋β≠kπ＋，k∈Z，求证：tan(α＋β)＝2tanα.
证明：由3sinβ＝sin(2α＋β)，得
3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]．
3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα.
整理，得sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα.
∴α≠kπ＋，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．
将上式两边同除以cosα·cos(α＋β)，得
tan(α＋β)＝2tanα.

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，.求cos(α－β)的值．
解析：依题意，得cosα＝，cosβ＝.
因为α，β为锐角，所以sinα＝，sinβ＝，
所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.
12．已知a、b是两不共线的向量，且a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)．
(1)求证：a＋b与a－b垂直；
(2)若α∈，β＝，且a·b＝，求sinα.
解：(1)证明：∵a2＝cos2α＋sin2α＝1，b2＝cos2β＋sin2β＝1.
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
即(a＋b)⊥(a－b)．
(2)由已知a·b＝cosαcos＋sinαsin＝cos且a·b＝，
∴cos＝.
由－＜α＜，得－＜α－＜0.
∴sin＝－＝－.
∴sinα＝sin
＝sincos＋cossin＝－.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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