高等代数知识点总结省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

总结高等代数高等代数多项式线性代数矩阵向量方程组计算第1页多多项式式一元多一元多项式式多元多多元多项式式2第2页 基本概念基本概念：次数：最基本概念和工具整除：多项式之间最基本关系带余除法：最基本算法，判断整除.最大公因式：描述多项式之间关系复杂程度互素：多项式之间关系最简单情形既约多项式：最基本多项式根：最主要概念和工具一元多项式一元多项式3第3页 主要结论主要结论：带余除法定理对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x)，有唯一q(x)和r(x)使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)degg(x).最大公因式存在和表示定理 任意两个不全为0多项式都有最大公因式，且对于任意最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)互素f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.4第4页 因式分解唯一定理 次数大于1多项式都可分解成有限个既约多项式之积，且不计因子次序和常数因子倍时，分解唯一.标准分解定理 每个次数大于1多项式f都有以下标准分解其中a是非零常数,p1,pt,是互不相同首一既约多项式,n1,nt是正整数.深入,a,p1,pt,n1,nt由f唯一确定.重因式 f无重因式当且仅当f与其导式互素.5第5页代数学基本定理：以下陈说等价，1.复数域上次数1多项式总有根2.复数域上n次多项式恰有n个根3.复数域上既约多项式恰为一次式4.复数域上次数1多项式可分解成一次式之积.5.实数域上次数1既约多项式只有没有实根二次式6.实数域上次数1多项式可分解成一次式和二次式之积6第6页 实数域上标准分解定理 在实数域上，每个次数大于1多项式f都有以下标准分解其中a是f常数项,x1,xt 是f全不互不相同根,p1,pt是互异、首一、无实根二次式.复数域上标准分解定理 在复数域上，每个次数大于1多项式f都有以下标准分解其中a是f常数项,x1,xt 是f全部互不相同根,n1,nt分别是这些根重数.7第7页 多项式作为函数：两个多项式相等(即对应系数相同)它们作为函数相等(即在每点函数值相等)它们在k+1个点函数值相等，这里k是它们次数最大者.设f(x)anxn+.+a1x+a0，若f(x)在n+1个点函数值为0，则f(x)恒等于0.8第8页 Eisenstein判别法：设 是整系数多项式，若有素数p使得 则f(x)是有理数域上既约多项式.有理根：有理根分母整除首项系数，分子整除常数有理根分母整除首项系数，分子整除常数项项9第9页l 主要结论主要结论 命题1.8.1 若多项式值全为0，则该多项式必为0.命题1.8.2 每个n次多项式f均可唯一地表示成齐次多项式之和 ，fn0，且其中fi是0或i次齐次多项式，0in，fi称为fi次齐次分量.l 基本概念基本概念：次数、齐次分量、字典序、首项、对称多项式多元多项式多元多项式对称多项式基本定理 每个对称多项式，都可唯一地表示成初等对称多项式多项式.10第10页矩矩阵运算运算行列式行列式初等初等变换和和标准形准形特殊矩特殊矩阵11第11页运算及其关系运算及其关系转转置置取逆取逆伴随伴随行列式行列式秩数秩数加加法法(A+B)T=AT+BTr(A+B)r(A)+r(B)数数乘乘(kA)T=k AT(kA)1=k 1A 1(kA)*=kn 1A*|kA|=kn|A|r(kA)=r(A)(k0)乘乘 法法(AB)T=BT AT(AB)1=B 1 A 1(AB)*=B*A*|AB|=|A|B|r(A)+r(B)-nr(AB)r(A),r(B)转转置置(AT)T=A(AT)1=(A 1)T(AT)*=(A*)T|AT|=|A|r(AT)=r(A)取取逆逆(A 1)1=A(A 1)*(A*)1|A 1|=|A|1伴伴随随(A*)*=|A|n 2A*|A*|=|A|n 1 n,若r(A)=n r(A*)=1,若r(A)=n-1 0,若r(A)n-1其其它它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|E当当A可逆可逆时时，A*|A|A 1定义定义性质性质若P,Q可逆，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)12第12页转置转置取逆取逆伴随伴随加法(A+B)T=AT+BT数乘(kA)T=k AT(kA)1=k 1A 1(kA)*=kn 1A*乘法(AB)T=BT AT(AB)1=B 1 A 1(AB)*=B*A*转置(AT)T=A(AT)1=(A 1)T(AT)*=(A*)T取逆(A 1)1=A(A 1)*(A*)1伴随(A*)*=|A|n 2A*其它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|I当当A可逆可逆时时，A*|A|A 113第13页行列式行列式秩数秩数加法r(A+B)r(A)+r(B)数乘|kA|=kn|A|r(kA)=r(A)(k0)乘法|AB|=|A|B|r(A)+r(B)-nr(AB)r(A),r(B)转置|AT|=|A|r(AT)=r(A)取逆|A 1|=|A|1伴随|A*|=|A|n 1 n,若若r(A)=n r(A*)=1,若若r(A)=n 1 0,若若r(A)n 1 其它定义定义性质性质若P,Q可逆，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)14第14页性质公式备注转置不变性|AT|=|A|行列地位平等反交换性|.|=|.|换法变换交织性|.|=0齐性|.k.|=k|.|倍法变换统称线性加性|.+.|=|.|+|.|倍加不变性|.+k.|=|.|消法变换按第k行第k列展开|aij|=ak1Ak1+aknAkn =a1kA1k+ankAnkaj1Ak1+ajnAkn=a1jA1k+anjAnk=jk|aij|Laplace定理分块三角矩阵行列式Cauchy-Binet 公式Vandermonde行列式定义 性质；15第15页Laplace定理(按第i1,.,ik行展开)；分块三角形行列式16第16页Cauchy-Binet公式公式 设U是mn矩阵,V是nm矩阵,mn,则17第17页18第18页初等变换初等变换行变换行变换列变换列变换换法变换换法变换倍法变换倍法变换消法变换消法变换对单位矩阵做一次初等变换对单位矩阵做一次初等变换对对A A做一次做一次行行变换变换 =用对应初等矩阵用对应初等矩阵左左乘以乘以A A对对A A做一次做一次列列变换变换 =用对应初等矩阵用对应初等矩阵右右乘以乘以A A19第19页 对于对于mn矩阵矩阵A，B以下条件等价以下条件等价1.A B，即，即A可由初等变换化成可由初等变换化成B2.有可逆矩阵有可逆矩阵P,Q使得使得PAQ=B3.秩秩A=秩秩B4.A，B标准型相同标准型相同 A,B行等价行等价有可逆矩阵有可逆矩阵P使得使得A=PB 每个矩阵都行等价于唯一一个每个矩阵都行等价于唯一一个RREF矩阵矩阵 A,B等价等价有可逆矩阵有可逆矩阵P,Q使得使得A=PBQ 每个秩数为每个秩数为r矩阵都等价于矩阵都等价于矩阵等价矩阵等价20第20页可逆矩阵vs列满秩矩阵对于对于n n阶矩阵阶矩阵A,A,以下条件等价以下条件等价1.1.A A是可逆矩阵是可逆矩阵2.2.|A|A|0 03.3.秩秩A=nA=n4.4.有有B B使得使得AB=IAB=I或或BA=IBA=I5.5.A A是有限个初等矩阵之积是有限个初等矩阵之积6.6.A(A(行或列行或列)等价于等价于I I7.7.A A列列(行行)向量组线性无关向量组线性无关8.8.方程组方程组Ax=0Ax=0没有非零解没有非零解9.9.对任意对任意b,Ax=bb,Ax=b总有解总有解10.10.对某个对某个b,Ax=bb,Ax=b有唯一解有唯一解11.11.A A是可消去是可消去(即由即由AB=ACAB=AC或或BA=CABA=CA恒可得恒可得B=C)B=C)对于对于mrmr矩阵矩阵G,G,以下条件等价以下条件等价1.1.G G是列满秩矩阵是列满秩矩阵,2.2.G G有一个有一个r r阶非零子式阶非零子式3.3.秩秩G=G=列数列数4.4.G G有左逆有左逆,即有即有K K使得使得KG=IKG=I5.5.有矩阵有矩阵H H使得使得(G,H)(G,H)可逆可逆6.6.G G行等价于行等价于7.7.G G列向量组线性无关列向量组线性无关8.8.方程组方程组Gx=0Gx=0没有非零解没有非零解9.9.对任意对任意b,b,若若Gx=bGx=b有解有解则唯一则唯一10.10.对某个对某个b,Gx=bb,Gx=b有唯一解有唯一解11.11.G G是左可消去是左可消去(即由即由GB=GCGB=GC恒恒可得可得B=C)B=C)21第21页设A秩数为r,则A有以下分解1.,其中P,Q为可逆矩阵 2.A=PE,其中P可逆,E是秩数为rRREF3.A=GH,其中G列满秩,H行满秩,且秩数都是r (满秩分解)矩阵分解矩阵分解22第22页1.分块矩阵初等变换和Schur公式把初等变换和初等矩阵思想用到分块矩阵Schur公式 设A可逆 两种惯用方法两种惯用方法适用例子:习题3.7.5;3.7.911:23第23页2.正则化方法证实当A可逆时结论成立 考虑xI+A,有没有穷多个x使得该矩阵可逆 将要证实结论归结为多项式相等 若两个多项式在无穷多个点处值相同,则这两个多项式在任意点值相等,尤其地,取x=0.适用例子:习题3.6.4;3.7.7;3.7.11:24第24页特殊矩阵三角 正规 可逆对合 Hermite 反Hermite 酉矩阵 幂等 幂零 对称 反对称 正交 对角 纯量 25第25页向量线性关系线性相关线性无关线性表示等价极大无关组秩数26第26页线性表示：列向量组1,.,r可由1,.,s线性表示当且仅当有矩阵C使得(1,.,r)=(1,.,s)C.深入，C第k列恰为k表示系数 线性表示有传递性 被表示者秩数表示者秩数向量组等价：对于向量组S，T，以下条件等价1.S和T等价，即S,T能够相互表示2.S,T极大无关组等价3.S,T秩数相等，且其中之一可由另一表示27第27页线性相关与线性表示：1,.,r线性相关当且仅当其中之一可由其余线性表示若,1,.,r线性相关,而1,.,r线性无关,则可由1,.,r线性表示,且表法唯一线性无关：对于向量组1,.,r以下条件等价 1,.,r线性无关 当c1,.,cr不全为0时，必有c11+.+crr0 当c11+.+crr0时，必有c1.cr0 1,.,r秩数等于r(1,.,r)是列满秩矩阵28第28页极大无关组与秩数：1.1,.,rS是S一个极大无关组当且仅当1,.,r线性无关S每个向量都可由1,.,r线性表示2.秩S极大无关组中向量个数3.若秩Sr,则任何r个无关向量都是极大无关组4.矩阵秩数行向量组秩数列向量组秩数5.向量组向量组向量空间向量空间解空间解空间极大无关组极大无关组基底基底基础解系基础解系秩数秩数维数维数n r29第29页向量空间向量空间：加法和数乘封闭向量集合基底：向量空间极大无关组维数：向量空间秩数行空间：矩阵行向量组张成向量空间列空间：矩阵列向量组张成向量空间行空间与列向量维数都等于矩阵秩数对于矩阵mn矩阵A，B，以下条件等价A,B行等价A,B行空间相同A,B行向量组等价A,B列向量组线性关系一致Ax=0和Bx=0同解30第30页线性方程组线性方程组表示方程式：矩阵式：Ax=b,其中A=(aij)mn,x=(xi)n1,b=(bi)m1向量式：x11+.+xnn=b,其中i是xi系数列31第31页解判定:1.n元线性方程组Ax=b有解系数矩阵与增广矩阵秩数相等.具体地，当秩A秩(A b)时，方程组无解当秩A秩(A b)n时，方程组有唯一解当秩A秩(A b)n时，方程组有没有穷解2.线性方程组有解常数列可由系数列线性表示.此时,解恰为表示系数32第32页解法Cramer法则Gauss-Jordan消元法：用行变换和列换法变换将增广矩阵化成RREF写出RREF方程组取每个方程第一个变量为主变量，其余为自由变量，并解出主变量写出参数解或通解33第33页解结构齐次线性方程组Ax=0：解空间：解集合基础解系：解空间基底通解：设1,s是一个基础解系,则通解为=c11+.+css，其中c1,.,cs是任意常数解空间维数未知数个数系数矩阵秩数设秩A=r,则Ax=0任何n-r个无关解都是基础解系34第34页普通线性方程组Ax=b：Axb和Ax=0解关系：Axb两个解之差是Ax=0解Axb解与Ax=0解之和是Ax=b解Ax=b解线性组合是设Sb和S0分别表示Axb和Ax=0解集合，则SbS0+，Sb通解：设1,s是一个基础解系,是Ax=b一个解,则通解为=c11+.+css+，其中c1,.,cs是任意常数Ax=0解，当系数和0时；Ax=b解，当系数和1时.35第35页多项式计算带余除法求最大公因式(辗转相除法)求有理根：有理根分母整除首项系数，分子整除常数项既约性判别：Eisenstein判别法重因式判别特殊多项式因式分解用初等对称多项式表示对称多项式计算36第36页矩阵计算行列式：化三角形；展开+递推求逆矩阵：行变换；伴随求秩数：初等变换；定义37第37页方程组计算1.求基础解系：Gauss-Jordan消元法(行变换+列换法)已知秩Ar，则任何r个无关解都是基础解系2.求通解：Gauss-Jordan消元法(行变换+列换法)3.带参数方程组：先化简，再判定.可先考虑唯一解情形.尤其是有系数行列式时.38第38页向量计算设S：1,.,s是n元向量组(不论行或列)求S秩数：S秩数=它组成矩阵秩数 判断S相关性：设x11+.+xss=0,将其转化成x方程组.若方程组有非零解，则S相关；不然，无关.求S秩数.若秩Ss,则相关；若秩Ss,则无关 线性表示：令=x11+.+xss,将其转化成x方程组.若方程组有(唯一)解，则可由S(唯一)表示，且方程组解就是表示系数；不然，不可由S表示.39第39页 求极大无关组：若已知秩Sr，则在S中找出r无关向量即可 将S中向量写成列形式组成矩阵，对矩阵作行变换，化成阶梯形或RREF，则S与阶梯矩阵列向量组线性关系一致.40第40页41第41页