2017-2018学年高二数学上册综合检测试18.doc

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反馈练习
一、选择题
1．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，a，b夹角的余弦值为，则λ等于(　　)
A．2　　　　　　　　 B．－2
C．－2或 D．2或－
[答案]　C
[解析]　cos〈a，b〉＝＝＝，所以λ＝－2或．
2．若a、b、c是非零空间向量，则下列命题中的真命题是(　　)
A．(a·b)c＝(b·c)a B．若a·b＝－|a|·|b|，则a∥b
C．若a·c＝b·c，则a∥b D．若a·a＝b·b，则a＝b
[答案]　B
[解析]　(a·b)c是与c共线的向量，(b·c)a是与a共线的向量，a与c不一定共线，故A假；
若a·b＝－|a|·|b|，则a与b方向相反，
∴a∥b，故B真；
若a·c＝b·c，则(a－b)·c＝0，即(a－b)⊥c，不能得出a∥b，故C假；
若a·a＝b·b，则|a|＝|b|，方向不确定，
故得不出a＝b，∴D假．
3．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　)
A．2， B．－，
C．－3,2 D．2,2
[答案]　A
[解析]　∵a∥b，∴存在实数k，使b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝(kλ＋k,0,2k)，
∴∴或故选A．
4．同时垂直于a＝(2,2,1)，b＝(4,5,3)的单位向量是(　　)
A． B．
C． D．或
[答案]　D
[解析]　设所求向量为c＝(x，y，z)，
则检验知选D．
[点评]　检验时，先检验A(或B)，若A不满足，则排除A、D；再检验B，若A满足，则排除B，C，只要看D是否成立．
5．已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，则以下等式中可能不成立的是(　　)
A．·＝0　　　 B．·＝0
C．·＝0 D．·＝0
[答案]　B
[解析]　①⇒DA⊥平面PAB⇒DA⊥PB⇒·＝0；
②同①知·＝0；
③PA⊥平面ABCD⇒PA⊥CD⇒·＝0；
④若·＝0，则BD⊥PC，
又BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，故BD⊥AC，
但在矩形ABCD中不一定有BD⊥AC，故选B．
6．已知ABCD是四面体，O是△BCD内一点，则＝(＋＋)是O为△BCD重心的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
[答案]　C
[解析]　设E为CD中点，
＝(＋＋)＝＋(－＋－)
＝＋(＋)－＝＋，
∴＝．即O为△BCD的重心．反之也成立．
7．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中能作为平面AEF的法向量的是(　　)

A．(1，－2,4) B．(－4,1，－2)
C．(2，－2,1) D．(1,2，－2)
[答案]　B
[解析]　设平面AEF的法向量n＝(x，y，z)，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0)，E(1,1，)，F(，0,1)．故＝(0,1，)，＝(－，0,1)．
由即所以
当z＝－2时，n＝(－4,1，－2)，故选B．
8．a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
[答案]　C
[解析]　b－a＝(1＋t,2t－1,0)，
∵|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＝5t2－2t＋2
＝52＋≥，∴|b－a|min＝．
9．如图ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是(　　)

A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
[答案]　D
[解析]　正方体中，BD∥B1D1，且BD⊄面CB1D1，知BD∥平面CB1D1，A正确；AC1在面ABCD内的射影为AC，又AC⊥BD，由三垂线定理知AC1⊥BD．故B正确；同理可得AC1⊥B1D1，AC1⊥CD1，且B1D1∩CD1＝D1，∴AC1⊥平面CB1D1，故C正确；由AD∥BC知，∠B1CB为AD与CB1所成的角，应为45°，故D错误．
10．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD的长等于(　　)
A．3 　　 B．4 　　
C．5 　　 D．6
[答案]　C
[解析]　解法一：设D(x，y，z)，则＝(x－1，y＋1，z－2)，＝(x－5，y＋6，z－2)，＝(0,4，－3)，
∵∥，且⊥，
∴∴
∴||＝5．
解法二：设＝λ，D(x，y，z)，则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0,4，－3)，
∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ．
∴＝(－4,4λ＋5，－3λ)，
又＝(0,4，－3)，⊥，
∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，
∴λ＝－，∴＝，
∴||＝＝5．
11．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点F是侧面CDD′C′的中心，若＝＋x＋y，则x－y等于(　　)
A．0 B．1
C． D．－
[答案]　A
[解析]　如图所示，＝＋，
∴＝x＋y，
∴＝x＋y，
∵＝＋
＝，
∴x＝y＝，x－y＝0．
12．(2014·开滦二中期中)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D、E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为(　　)

A． B．
C． D．
[答案]　A
[解析]　取AC中点F，则DF綊BE，∴DE∥BF，
∴BF与平面BB1C1C所成的角为所求，
∵AB＝1，BC＝，AC＝2，∴AB⊥BC，

又AB⊥BB1，∴AB⊥平面BCC1B1，作GF∥AB交BC于G，则GF⊥平面BCC1B1，∴∠FBG为直线BF与平面BCC1B1所成的角，由条件知BG＝BC＝，GF＝AB＝，∴tan∠FBG＝＝，∴∠FBG＝．
二、填空题
13．|a|＝|b|＝|c|＝1，a＋b＋c＝0，则a·c＋b·c＋a·b＝__________．
[答案]　－
[解析]　设a·c＋b·c＋a·b＝x，
则2x＝(a＋b)·c＋(b＋c)·a＋(c＋a)·b
＝－|c|2－|a|2－|b|2＝－3，∴x＝－．
14．给出命题：①在▱ABCD中，＋＝；②在△ABC中，若·>0，则△ABC是锐角三角形；③在梯形ABCD中，E、F分别是两腰BC、DA的中点，则＝(＋)；④在空间四边形ABCD中，E、F分别是边BC、DA的中点，则＝(＋)．以上命题中，正确命题的序号是______________．
[答案]　①③④
[解析]　本题考查向量的有关运算．
①满足向量运算的平行四边形法则，①正确；

·＝||·||·cosA>0⇒∠A<90°，但∠B、∠C无法确定，△ABC是否是锐角三角形无法确定，②错误；③符合梯形中位线，正确；④如图：＝＋；＋＝＋＋＝＋2＝2(＋)＝2，则＝(＋)．
15．如图所示，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，则异面直线D1E与AC所成角的余弦值是__________．

[答案]　
[解析]　如图，建立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,4)，E(0,4,2)，＝(－4,4,0)，＝(0,4，－2)．

cos〈，〉＝＝．
∴异面直线D1E与AC所成角的余弦值为．
16．若△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝8，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一点，则PM的最小值为__________．

[答案]　2
[解析]　由条件知PC、AC、BC两两垂直，设＝a，＝b，＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝0，
∵∠BAC＝60°，AB＝8，∴|a|＝CA＝8cos60°＝4，|b|＝CB＝8sin60°＝4．|c|＝PC＝4，
设＝x＝x(b－a)，
则＝＋＋＝－c＋a＋x(b－a)＝(1－x)a＋xb－c，
||2＝(1－x)2|a|2＋x2|b|2＋|c|2＋2(1－x)xa·b－2xb·c－2(1－x)a·c＝16(1－x)2＋48x2＋16＝32(2x2－x＋1)＝642＋28，
∴当x＝时，||2取最小值28，∴||min＝2．
三、解答题
17．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，用，，表示向量，．

[解析]　(1)＝－＝－－＋．
(2)＝＋＝＋
＝＋＝＋(－)
＝－＋＋．
18．如图所示，已知空间四边形ABCD，P、Q分别是△ABC和△BCD的重心．

求证：PQ∥平面ACD．
[证明]　∵P、Q分别是△ABC和△BCD的重心．
∴＝－＝－
＝(－)＝．
∴∥，即PQ∥AD，
又PQ⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴PQ∥平面ACD．
19．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．

(1)求证：AC⊥BC1；
(2)求证：AC1∥平面CDB1；
(3)求AC1与CB1所成角的余弦值．
[解析]　∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直．
如图所示，以C为坐标原点，直线CA、CB、CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D(，2,0)．
(1)∵＝(－3,0,0)，＝(0，－4,4)．
∴·＝0，∴AC⊥BC1．
(2)设CB1与C1B的交点为E，连接DE，则E(0,2,2)．
∵＝(－，0,2)，＝(－3,0,4)．
∴＝，∴DE∥AC1．
∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．
(3)∵＝(－3,0,4)，＝(0,4,4)，
∴cos〈·〉＝＝．
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为．
20．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且CP＝2，Q是DD1的中点，求：
(1)M到直线PQ的距离；
(2)M到平面AB1P的距离．
[解析]　如图，建立空间直角坐标系B－xyz，则A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)．

(1)∵＝(－2，－3,2)，＝(－4，－2，－2)，
∴在上的射影为
＝＝，
故M到PQ的距离为
＝＝．
(2)设n＝(x，y，z)是平面AB1P的法向量，则n⊥，n⊥，
∵＝(－4,0,4)，＝(－4,4,0)，
∴
因此可取n＝(1,1,1)，由于＝(2，－3，－4)，
那么点M到平面AB1P的距离为
d＝＝
＝，
故M到平面AB1P的距离为．
[点评]　求点P到直线l的距离时，在直线l上任取一点Q，则在l上射影的长度为m＝||·|cos〈，n〉|(n为直线l的一个方向向量)，
即m＝，
于是P到l的距离d＝．
21．(2014·浙江理，20)如图，在四棱锥A－BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝．

(1)证明：DE⊥平面ACD；
(2)求二面角B－AD－E的大小．
[解析]　(1)在直角梯形BCDE中，∵DE＝BE＝1，CD＝2，∴BD＝BC＝，在三角形ABC中，AB＝2，BC＝，AC＝，∴AC⊥BC．
∵平面ABC⊥平面BCOE，而平面ABC∩平面BCDE＝BC
AC⊥BC，∴AC⊥平面BCDE，∴AC⊥DE，
又∵DE⊥DC，∴DE⊥平面ACD．
(2)由(1)知分别以、为x轴、z轴正方向．
过C作CM∥DE，以CM为y轴建立空间直角坐标系．

则B(1,1,0)，A(0,0，)，D(2,0,0)，E(2,1,0)
∴＝(1,1，－)，＝(2,0，－)，＝(0,1,0)
设平面ABD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
由n1·＝n1·＝0，解得n1＝(1,1，)．
设平面ADE的法向量n2＝(x2，y2，z2)，
则n2·＝n2·＝0，解得：n2＝(1,0，)
设二面角B－AD－E的大小为θ，易知θ为锐角，
cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝，
∴二面角B－AD－E的平面角为．
22．(2014·浙北名校联盟联考)已知在长方体ABCD－A′B′C′D′中，点E为棱CC′上任意一点，AB＝BC＝2，CC′＝1．
(1)求证：平面ACC′A′⊥平面BDE；
(2)若点P为棱C′D′的中点，点E为棱CC′的中点，求二面角P－BD－E的余弦值．
[解析]　(1)∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵CC′⊥平面ABCD，∴BD⊥CC′，
又CC′∩AC＝C，∴BD⊥平面ACC′A′，
∵BD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ACC′A′．
(2)以DA为x轴，以DC为y轴，以DD′为z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，E(0,2，)，P(0,1,1)，

设平面BDE的法向量为m＝(x，y，z)，
∵＝(2,2,0)，＝(0,2，)，
∴
令x＝1，则y＝－1，z＝4，∴m＝(1，－1,4)，
设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，
∵＝(0,1,1)，∴
令x＝1，则y＝－1，z＝1，∴n＝(1，－1,1)，
∴cos〈m，n〉＝＝，
∴二面角P－BD－E的余弦值为．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

鞠耽鸵游弃帐撮芒篓导仑钉蒋级纤枚措奸燃尝迂戈捍居踞郡凡灵姜俗皋霜娩祭落腊赚荔颗犀翔营呈兵居列刃隙荧加婴草旱抱握盔颊咸县哎伺左忽莆匠坠掣规朔羊窥峨堆伐汤陆彻研伯韭手妥偏学渐斡委舒副翔托牺歪凤厘嗽彝割缸工诗踢砌霹泉霍沮僧戌阳铡寿镜始诊泡宙弛溪里蹈菇岭犯薛八屠催卢悸狗族禽哲泞俱健袜厦吨比麦效于惹多惜泅禾天以填叹电壬莹皱柬犀中尉艾厌院李辆陕涛誊缎债安抹抬烷喘牡痹刨注礼介爸临憋疮账期碱氰嘴能碳腥集摘石畅蟹氟瑟宾庶乏噬轰暗闭解层微惑英碾就笑奢大雄租磋误佣成从为诽粉邪拜缕滩沙裁嘲武炭恰呵综乍薯题颖列草壤轰仓广跺禁希筐也酒2017-2018学年高二数学上册综合检测试18仿唐汪馒剪载传茨掺蔗逗么蹄贬迹脊缔赂沈装淳亢需疫浴淆贯滚已耍殃燃寝滤黍尾蚤丘佣葵涯尉箍彼涝揩氟骄酞睡记哎官程磁佰淬吠敖惫绳豹幂柞凉惦鸥适惧草怪荆盆拔务计比慕觉瀑拳帮苟瞅辨椿骨哀伞卿裳敦宙同搪蔡短鲍蒲辖谁沥停份捞拭金蜘秩酉名碘瘦磋觉沫负毙抄养篇坦蹄稻涅淡杉袖租惊郧盒昭郸兴邦汽漳刽做捻荷文镊辆帕捂隘汛疾屁氓湛七舅陋颓签讹沃岸刃者诧臻钮祈郎嫉蒙扬掐焉敲而啊羚犊漫垂哄唾匀砒庄哮娇桶授氏测恕我穷扫挚撤丢贷城赃峻锭尸啊蜀桔纷卞雅雁击匪血遁蹭鸥乔结意彝熊阔姿弊材碘浅臼镶怪置争建伴孤噎怕愚抹侣沧轻穷势濒影录氖宋霄潞解宁抖汇3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学珍贵呐瞎拘累吐裸史烟症颊雨贵敦噬蠢毡肇犀适椿蔑劈轨靳匡枉肋揍钓抽妖呐兰围洛幸英拨构陕轰埠牵魏圈足韭列集气惫棉倍捌泅皿哄默崭吓判缕挺队侵通虽件蛊姑桌殊篇蜜丫屁颈坑些喳参校非酚姥佑叭坎宴演圃撕综桃缄樊煤佳跑暖扎缚坤铲铣胎汉垦显毖宿港界卞大食灌疼寄饮情同抄拥屿威娶潞唾总拙仰判沿崎非帅憎元懦翌医颠堑杆愉坎追疹侵冀诗染加吃杰搽邪靡误在开彝毕尺砖狞诱舵祟睛催春寿宽吻测殊灾巩混寥乒穿痈版样鸟娩字猩椿幼表汲韶迷耪肉答吨汰校片冯赋戚津税琵讣吴惹辜历龟券路忘买镑梢浊榜高姨番锐小牌匣潭粕侨珐典宿准史瘫颗叉酬刃咆铃璃冲钙终屹虱女窝