2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题31.doc

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基础达标检测
一、选择题
1．已知条件p：x>1，条件q：≤1，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　当x>1时，一定有<1，因而一定有≤1；
但当≤1时，可以推得x<0或x≥1，所以p是q的充分不必要条件．
2．(文)x＝(a＋3)(a－5)与y＝(a＋2)(a－4)的大小关系是(　　)
A．x>y B．x＝y
C．x<y D．不能确定
[答案]　C
[解析]　∵x－y＝a2＋3a－5a－15－a2－2a＋4a＋8
＝－7<0，∴x<y.
(理)设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．b－a>0 B．a3＋b2<0
C．b＋a>0 D．a2－b2<0
[答案]　C
[解析]　由a－|b|>0⇒|b|<a⇒－a<b<a⇒a＋b>0，于是选C.
3．(2013·天津高考)设a、b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　因为a2≥0，而(a－b)a2<0，所以a－b<0，
即a<b；由a<b，a2≥0，得到(a－b)a2≤0，
所以(a－b)a2<0是a<b的充分不必要条件．
4．设a、b为非零实数，若a<b，则下列不等式成立的是(　　)
A．a2<b2 B．ab2<a2b
C.< D.<
[答案]　C
[解析]　a<b<0时，a2>b2排除A；
当a＝1，b＝2时ab2>a2b，排除B；
当b>a>0时，>排除D；
因为－＝，a2b2>0，又a<b，所以a－b<0，
即－<0，所以<，故选C.
5．设a＞b>0，则下列不等式成立的是(　　)
A．|b－a|≥1　　　　　 B．2a<2b
C．lg<0 D．0<<1
[答案]　D
[解析]　∵a>b>0　　∴0<<1.故选D.
6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则(　　)
A．甲先到教室
B．乙先到教室
C．两人同时到教室
D．谁先到教室不确定
[答案]　B
[解析]　设步行速度与跑步速度分别为v1和v2显然0<v1<v2，总路程为2s，
则甲用时间为＋，乙用时间为，
而＋－＝＝>0，
故＋>，故乙先到教室．
二、填空题
7．设a＝2－，b＝－2，c＝5－2，则a，b，c之间的大小关系为________．
[答案]　a<b<c
[解析]　∵a＝2－＝－<0，b>0，c＝5－2＝－>0，且b－c＝3－7＝－<0，
∴a<b<c.
8．若x>y，a>b，则在①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a；⑤>这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．
[答案]　②④
[解析]　若x>y，a>b，则－x<－y，∴a－y>b－x.
若x>y，a>b，则－b>－a，
∴x－b>y－a，即a＋x>b＋y；
若x>y，a>b，则推不出ax>by.
若x>y，a>b，推不出>.
综上，①③⑤错误，②④正确．
9．已知a1，a2∈(0,1)．记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是M________N.
[答案]　>
[解析]　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，
∵a1、a2∈(0,1)，
∴(a1－1)(a2－1)>0，∴M>N.
三、解答题
10．已知a＋b>0，比较＋与＋的大小．
[解析]　＋－(＋)
＝＋
＝(a－b)(－)
＝
∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴≥0，
∴＋≥＋.
能力强化训练
一、选择题
1．设a>1>b>－1，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.< B.>
C．a2> D．a>b2
[答案]　D
[解析]　若b<0，则<0，∴>，故A不正确．
若b>0，由a>1>b>0，得<，故B也不正确．
当a＝2，b＝时，a2＝4<9＝，∴C也不正确．
∵－1<b<1，∴0≤b2<1.∴a>1>b2，D正确．
2．(文)(2013·陕西高考)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有(　　)
A．[－x]＝－[x] B．[x＋]＝[x]
C．[2x]＝2[x] D．[x]＋[x＋]＝[2x]
[答案]　D
[解析]　本题考查对取整函数的理解．可用排除法．
令x＝1.1，[－1.1]＝－2，而－[1.1]＝－1，A错；
令x＝－，[－＋]＝0，[－]＝－1，B错；
令x＝0.5，[2x]＝1,2[x]＝0，C错；选D.
(理)(2013·陕西高考)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有(　　)
A．[－x]＝－[x]
B．[2x]＝2[x]
C．[x＋y]≤[x]＋[y]
D．[x－y]≤[x]－[y]
[答案]　D
[解析]　取x＝1.6，y＝2.7，则[x]＝[1.6]＝1，[y]＝[2.7]＝2，[2x]＝[3.2]＝3，[－x]＝[－1.6]＝－2，故A、B错误；[x＋y]＝[1.6＋2.7]＝4，显然[x＋y]>[x]＋[y]，故C错．
二、填空题
3．已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是__________．(答案用区间表示)
[答案]　(3,8)
[解析]　考查不等式中整体范围的求解．
令2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)
＝(m＋n)x＋(m－n)y
∴，∴.
∴z＝2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)，
∵－1＜x＋y＜4,2＜x－y＜3，
∴－2＜－(x＋y)＜，5＜(x－y)＜，
∴3＜－(x＋y)＋(x－y)＜8，故z∈(3,8)．
4．(文)(2012·西安模拟)比较大小：lg9·lg11________1(填“>”“<”或“＝”)．
[答案]　<
[解析]　lg9·lg11<2＝<＝1.
(理)(2012·宜春模拟)已知0<x<y<a<1，设m＝logax＋logay，则m的取值范围为________．
[答案]　(2，＋∞)
[解析]　由0<x<y<a<1知0<xy<a2，且y＝logax在(0，＋∞)上为减函数，又m＝logax＋logay＝loga(xy)>logaa2＝2，故m>2.
三、解答题
5．已知a≠1且a∈R，试比较与1＋a的大小．
[解析]　∵－(1＋a)＝，
(1)当a＝0时，＝0，∴＝1＋a.
(2)当a<1时，且a≠0时，>0，∴>1＋a.
(3)当a>1时，<0，∴<1＋a.
6．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．
[分析]　要确定住宅采光条件是变好了，还是变坏了，就是要比较原来窗户面积和地板面积的比值与窗户面积和地板面积增加以后的比值哪个大哪个小．如果是增加了面积以后的窗户面积和地板面积的比值大，则采光条件变好了，否则采光条件变坏或没变．
[解析]　设原来的窗户面积与地板面积分别为a，b，于是原来窗户面积与地板面积之比为，且≥10%.窗户面积和地板面积同时增加的面积为c，则现有窗户面积与地板面积比为，
因此要确定采光条件的好坏，就转化成比较与的大小，采用作差比较法．
－＝.
因为a>0，b>0，c>0，又由题设条件可知a<b，
故有<成立，即>≥10%.
所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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