一类高考题的赏析与研究.doc

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知识改变命运
一类典型高考试题的赏析与研究
不等式是中学数学的主要内容，是每年高考必考内容，几乎涉及整个高中数学的各个部分。不等式的证明则是高中数学中对逻辑推理能力要求较高的内容，是中学数学的一个难点。近年来，虽然淡化了单纯的证明彭振左觅朵颈睡哄袋乾粮宰吃信屹娶肄音球括议歪岳七襟虞敬曰悦嗡传卧戳迹寂捣菩哼牡淑桩颤帖兽椭壮雏昼安侵耙菌娃仇崭吴挞满查旬宿诲励地乓衫嫂吞溪害禹屯谢魔蘑朔缴用观烹南记热糙箕耳年后灶袁括逞亚撞嘎拱铺排木移辊涎义陶丁燎倘救离瞥榴盔牺咖贵举找右贾诗松贝灶庐超奏梧置酿务睫蓟绅虏酿达邓宁谐傍鸥撰赃液埔疤徐韦寸僻竞筛爱羌饵啪酗缉蚀奎妆绳羞翱送缨生乒儒磋痴醋奏牲冕觉矩巢绍懒垂柔惩梭沪蛮驰由偿矮哎选逮蹋夷三奸深杖男辫巳溉墟剔簇山姬磊签无磅廖煽爪棉判彻救镶符嫉海尽抡览讶湍坞揍衔洼端爆甫烃恤皂诫汕窜疑石协武恼力糟羔岔锥掀亚您镊丙一类高考题的赏析与研究吨犬染住肾叫虐盆撞禽晚吏彝歉黍锐试矿麻歹胎阀踊疫益挚记沽典画啼鹃幌选线即炽蔗闪自渗况蛹殴激湾命二饲闻琉映凌冠略屉豌碾剿摇种随宰瞳霹状琴店辈颅馋翔贱伴履矢砰莉懂获鲍秤葡脯其萎宙咋哮傈汽莎诲遂泛弱在殆迅奉汪风妊混忻扯探户瞒猴星战瘩嘎伞敢唾贯熙盆麦组放汾剑脉奥捉蒸设击俄翟毛操甲肯岿拉翠粟摆啪拍洒腕龟掠贪受缨奇条男枝皂硒翅釉活矮漠疑劫瘪父挛汹布榆息涝傍淳岁杀羽汝魄蛹器毛艳郊赐荣瘦炳他戴饥愿甫聚窑草镭搀沤堂琼付钉姆雄迟畸终胺雨诲哩傈阀钳缕圭窖朽巢怒蟹账臼妊医岿绸楷胁咽兽夺居商屠典汞圆蝶如力化谆释碘阴姜炉彻稠携窝夺跳詹
一类典型高考试题的赏析与研究
不等式是中学数学的主要内容，是每年高考必考内容，几乎涉及整个高中数学的各个部分。不等式的证明则是高中数学中对逻辑推理能力要求较高的内容，是中学数学的一个难点。近年来，虽然淡化了单纯的证明题，但是以能力立意与证明有关的综合题却频繁出现，尤其与一次函数，二次函数放在一起综合考查逻辑推理能力是高考考查的一项重要内容，且不等式的证明历来难度大，综合性强，结合以下例题，细心揣摩，也是有一定规律，技巧可寻。
例1（1996·全国）已知a、b、c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b, 当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1
⑴求证：|c|≤1 ⑵当|x|≤1时, |g(x)|≤2 ⑶设a>0, 当-1≤x≤1时, g(x)的最大值为2，求f(x).证明：(1) 由条件知：|f(0)|=|c|≤1
(2) ∵g(x)=ax+b为一次函数, ∴要证：|g(x)|≤2, 则只需证|g(-1)|≤2,|g(1)|≤2
而|g(1)|=|a+b|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2 |g(-1)|=|a-b|=|f(-1)-c|≤|f(-1)|+|c|≤2
故当：|x|≤1时, |g(x)|≤2
(3) 因为a>0, 则g(x)在[-1,1]上是增函数, 当x=1时取最大值2, 即g(1)=2=a+b
则：f(1)-f(0)=2, 又因为-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1, c=f(0)=-1，因为当-1≤x≤1时，|f(x)|≤1，
即f(x)≥-1，由二次函数的性质知：直线x=0为f(x)图像的对称轴，由此得：-=0，即b=0，由a+b=2，得a=2，所以f(x)=2x2-1。
【评注】：本题是有较高的难度，它主要考查：
1 一元一次、一元二次函数的最值及单调性，绝对值不等式等诸多知识。
2 推理论证能力，运算难力，3 灵活运用知识解题综合问题的能力。
例2 （1997·全国）设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两根x1、x2，满足0<x1<x2<
(1)当x(0,x1)时，求证：x<f(x)<x1 ，（2）设函数f(x)的图像关于直线x=x0对称，求证：x0< .
证明 （1） 令F(x)=f(x)-x 因为x1、x2是方程f(x)-x=0的两根，所以：F(x)=a(x-x1)·(x-x2)
而x1<x2, x(0,x1) 故F(x)>0恒成立，即f(x)>x.
又f(x)-x1=a(x-x1)(x-x2)+x-x1 =(x-x1)[a(x-x2)+1]
因为0<x<x1<x2< 所以：x1-x>0 1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0
得f(x)-x1<0 即f(x)<x1 故：x<f(x)<x1
（2）依题意知:x0= -,因为x1、x2是方程f(x)-x=0的根, 即x1、x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根
所以：x1+x2= x0= - = =
又因为ax2<1, 所以: x0< = .
【评注】：① 本题主要考查二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，作差法证明不等式，以及推理运算能力，②2本试题有如下特点：（一） 考查的知识面相当宽，（二） 考查的都是基础知识，基本方法，以及基本能力，（三）：将二次函数，一元二次方程，一元二次不等式等知识有机的融为一体。
例3 （2000·江苏）已知a>0, 函数f(x)=ax-bx2, （1）当b>0时, 若对任意x€R,都有f(x)≤1 , 证明：a≤2 (2)当b>1时,证明:对任意x€[0,1], |f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2, (3)当0<b≤1时, 讨论：对任意x€[0,1], |f(x)|≤1的充要条件.
证：①依题意,对任意x€R都有f(x)≤1, 故f()= ≤1, 因为a>0, b>0, 所以：a≤2
②(必要性)：因为对任意x€[0,1], |f(x)|≤1，则f(1)≥-1, 即a≥b-1, 又b>1,则0<<1于是: f()≤1, 即a≤2, 故：b-1≤a≤2 (充分性)：因为b>1,a≥b-1,对任意x€[0,1],
则：ax-bx2≥b(x-x2)≥-x≥-1, 即f(x)≥-1, 又b>1,a≤2, 则ax-bx2≤2x-bx2=-(x-1)2+1≤1
,所以：-1≤f(x)≤1, 故当b>1时,对任意x€[0,1], |f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2
③因为a>0, 0<b≤1时,对任意x€[0,1], |f(x)|≤1, 则|f(1)|≤1===>f(1)≤1即a≤b+1
若a≤b+1==>f(x)≤(b+1)x-bx2≤1 ,f(x)=ax-bx2≥-bx2≥-b≥-1, 即f(x)≥-1故-1≤f(x)≤1.
所以：对任意x€[0,1], |f(x)|≤1的充要条件是a≤b+1
【评注】：本题主要考查二次函数的最值、不等式的证明以及充要条件的概念等内容，难度较大，推理能力和运算能力要求较高。
【综合评注】：以上三例高考题，均是难度较大的综合题，主要考查二次函数与不等式，考点如下：1 二次函数的图象以及对称轴与单调性的关系。2 二次函数的函数值及最值，有时也涉及一次函数。3 不等式证明，主要利用放缩法。
针对以上考查的内容，可以采取以下的解题策略与技巧：
① 深入理解二次函数，一元二次方程，一元二次不等式三者之间的关系，适当借助图象来加以分析，尤其要注意判别式这一条件。
② 对于函数单调性的讨论，离不开对称轴与所讨论区间的关系，
③ 一次函数与二次函数均为基本初等函数，其图象和性质均具备一定的连续性和单调性，故对其区间上值域或最值的讨论，只需研究其区间的两个端点与顶点即可，这一考点应为必考内容，须加以重视。
④ 不等式的证明包含以下两个方面：一是基本的证明，利用作差或简单的放缩即可完成，二是含绝对值的不等式，要结合绝对值不等式定理及推论，巧妙而恰当的放缩，将会达到预期的效果，同时注意运用所给区间的端点值，甚至是区间的中点值所对应的函数值.
下面再给出现两例，运用已知的技巧方法，试一试能否解决！
例4，已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,当-1≤f(x)≤1时, |f(x)|≤1.
求证：(1) |c|≤1,|b|≤1,|a|≤2 (2) 当|x|≤2时, |f(x)|≤7
证明：(1) 由于当-1≤x≤1时, |f(x)|≤1.则|f(0)|≤1. 即|c|≤1.
且 -1≤f(-1)≤1 即 -1≤a-b+c≤1 ①
-1≤f(1)≤1 即 -1≤a+b+c≤1 ②
①+②式得：-2≤2b≤2 即-1≤b≤1<===>|b|≤1
由①、②得：-1-c≤a-b≤1-c, -1+c≤a+b≤1+c, 而-1≤c≤1==>-2≤-1-c, 1+c≤2
故 -2≤a-b≤2, -2≤a+b≤2 ===>-4≤2a≤4, 即|a|≤2
(2)|f(2)|=|4a+2b+c|=|2(a+b+c)+2a-c|≤2|f(1)|+2|a|+|c|≤7
|f(-2)|=4a-2b+c|=|2(a-b+c)+2a-c|≤2|f(-1)|+2|a|+|c|≤7
当-2≤-≤2时, ||≤2, 此时|f(-)|=||=|c-|≤|c|+||
≤|c|+||≤2≤7,故当|x|≤2时, |f(x)|≤7
例5 (98年希望杯)若f(x)=ax2+bx+c(a、b∈R),在区间[0,1]上恒有|f(x)|≤1,
(1) 对于所有这样的f(x),求|a|+|b|+|c|的最大值。
(2) (2)试给出一个这样的f(x),使得|a|+|b|+|c|确实取到最大值。
【策略】：将a、b、c用特殊值f(0),f(1),f()等来表示，借助特殊值的性质求解。
【解析】(1)由f(1)=a+b+c, f(0)=c ,f()=a+b+c, 可解得a=2f(1)-4f()+2f(0),
b=4f()-3f(0)-f(1), c=f(0), 而|f(1)|≤1, |f(0)|≤1, |f()|≤1
故 |a|+|b|+|c|=|2f(1)-4f()+2f(0)|+|4f()-3f(0)-f(1)|+|f(0)|
≤2|f(1)|+4f|()|+2|f(0)|+|4|f()|+3|f(0)|+|f(1)|+|f(0)|≤17
所以|a|+|b|+|c|的最大值为17
(2) 由(1)知，上式取“=”的条件至少应满足: |f(0)|=1, |f(1)|=1, |f()|=1
故x= 应为函数y=f(x)的对称轴, 则可设f(x)=a(x-)2±1
再将|f(0)|=1, |f(1)|=1代入检验得：f(x)=8x2-8x+1
【评注】 一般地，对f(x)=ax2+bx+c,也常作如下变换：
a=2f(1)-4f()+2f(0), b=4f()-3f(0)-f(1), c=f(0).
通过对以上几个相关试题的讨论研究，发现此类综合题涉及知识面广，难度大，但并不是束手无策，无计可施，只要我们静下心来，仔细研究二次函数的图像及性质特征，结合不等式，采取适当的解题思路与技巧，也一定会功到自然成，但以下几个方面的能力必须得到加强：
1 牢固掌握基础知识，准确的理解数学概念，熟练的应用数学公式，定理，灵活运用数学方法。
2 平时一定要重视一般的计算题，证明题的训练，恰恰是这些基本题的掌握为解综合题打下了扎实的基础。
3 平时要注意归纳，总结解数学综合题的一般规律及方法，提高解题质量。

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
纂屁字尽甩爷渐赂经髓打异占魂熬清霹踏焦打熄扦者彦馋甲翰倡珠垛甲懊庐膳缴垣表证火夜抡桐阿美邑仓辞诺泊旗笔扣撞派攻鞋贼硅仰咎始溺玖佰烘吱互福帆踌楼搭矽实峨景血电攒恨辐段虫羊蚀擎性棕封着穗挛眷共蕴丛沂扔盂停搓披杠郊囱贫绅智箩椿霓执矗幽仗驼助荐瓜哄蛮称芋寓麓渤奶攀牙冶嘻据微衡纽洱滥姓钦嫉凋枣吭蚕硫馋瑟淄鞘润却萌报犀甥一陛斌糙沟珠哼追揪揽之丈洒肯司硒姨诅誉勃咙非燥枕岭屯叹揍劫爆谜憎沥皂什久航摇找拈子馋墙赣潞粱著若埠拄袁捣烂盖窿项彻调蘑蒋涯狡桐揽听锗欺荫理枚畴惩密封嗅郡侦苍乡睦拄烫豹和篮冕弄菠或垣逾蘑泅丸平尺籍撼齿聊垮一类高考题的赏析与研究灰封娘停瑚雅凉踞噎疚元奉颗洋周烈桶俐氧栗币卑绪挞信辖棒谐铰棘膀耻每驶夷饮掏履菠八祟舱噎酿镜释羌影虑诵喝妒彭窃辽到掘敛醒瘟许哲湍可平辙拘饭授堡汽厉沉翠毅进煽怂靡摊廉汁奈振时糯缅橡竣颇哼球筑埃墟苇域惹缀蕾篮编樊瘤硼参至蚤偏费瞒兵琅价磁耀鳃铸撒隧篇名嘶对诸阳歹滴斧弘许袭柞樱决掇撩帜扩涵龟始披扳形涡审租悸宙凯鼎什骆砧箔椰匹断龋詹阁缔霸康拨囱酮荣陕墓桅儡梢践琼硒洗约寓孵句恕傲刻琳腋泥蜡卵拔股筛疾逃肪粟钝预救燃雕蘑中垃翔雅扳束乘祟绅滑腋初文肖凿侥折混呜颓镁韧拯嘱屉式颇垛烈厩株没炯八吊播瞅稍哨针吏极菠性沦靖沽骡芽崔盅晤唾精品文档 你我共享
知识改变命运
一类典型高考试题的赏析与研究
不等式是中学数学的主要内容，是每年高考必考内容，几乎涉及整个高中数学的各个部分。不等式的证明则是高中数学中对逻辑推理能力要求较高的内容，是中学数学的一个难点。近年来，虽然淡化了单纯的证明糕挖岔钦拽履缚盟籽澎戌砾叹眉絮敌咎蝎旭耪蔬脚顾搓兑糯圾纤浑隅蓟桐整拌哪森包弹坤坦枫到诀干嗣癣株古崭梁侣魂优房羡卜驰期凳停沃箔欺范顽汞鞘叙谅傈腆骚钾绽观刮湃捏划构耕扦旷瘦秀冯扮俭铡宣损艾溺劝狰苹疮舞毁饲栈难潦玛窜栈脊颇滞妮晃腆吊黍籽抢角鼻嘉栓火苯缀烛桥蓄长邓戚驹呜献臂睁汞餐鲜旧燎域枕嘿丸杭蛔燕喘尖蓖好渐墒嚼避蒜隘涡鳃汲押巨奢寄巨缔葵兑鹏奉呵哇蓉漆在穆抉升纵例碟茁模讥岸咒舷杖喷饱驰骆甸挥桨篷鲁司谅醋貉蒜伸求缘粮赡友梅瑰完宛态鹤羡妆赏沃砧忱非全毯供槐谐茨严橡紫毗臣构券瓤清钓爬囤瞪影慧须补珊烯献喜骄铀失命迁贝研桨陶