2016届高考文科数学考点专题复习测试23.doc

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中档题满分练(二)
1．已知函数f(x)＝2asin ωxcos ωx＋2cos2ωx－(a＞0，ω＞0)的最大值为2，且最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的解析式及其对称轴方程；
(2)若f(α)＝，求sin的值．

2．(2015·温州模拟)对于给定数列{an}，如果存在实常数p，q，使得an＋1＝pan＋q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{an}是“M类数列”．
(1)已知数列{bn}是“M类数列”且bn＝3n，求它对应的实常数p，q的值；
(2)若数列{cn}满足c1＝－1，cn－cn＋1＝2n(n∈N*)，求数列{cn}的通项公式，判断{cn}是否为“M类数列”并说明理由．

3．(2015·金华模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，二面角S－CD－A的平面角为45°，M为AB的中点，N为SC的中点．
(1)证明：MN∥平面SAD；
(2)证明：平面SMC⊥平面SCD；
(3)记＝λ，求实数λ的值，使得直线SM与平面SCD所成的角为30°.

4．(2015·金华十校联考)已知f(x)的定义域为R，且当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(0)的值；
(2)证明：f(x)是奇函数；
(3)如果x＞0时，f(x)＜0，且f(1)＝－，试求使f(x2－2ax－1)≤1对x∈[2，4]恒成立的实数a的取值范围．

中档题满分练(二)
1．解　(1)f(x)＝asin 2ωx＋cos 2ωx＝sin(2ωx＋φ)，
由题意知：f(x)的最小正周期为π，由＝π，知ω＝1，
由f(x)最大值为2，故＝2，
又a＞0，∴a＝1，tan φ＝，φ＝.
∴f(x)＝2sin，
令2x＋＝kπ＋，得x＝＋(k∈Z)．
故f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)由f(α)＝知2sin＝，即sin＝，
∴sin＝sin＝－cos 2
＝－1＋2sin2＝－1＋2×＝－.
2．解　(1)　∵bn＝3n，则bn＋1＝3n＋3＝bn＋3，
由“M类数列”定义，得p＝1，q＝3.
(2)∵cn－cn＋1＝2n(n∈N*)，
∴cn＋1－cn＝－2n(n∈N*)，
则c2－c1＝－2，c3－c2＝－4，c4－c3＝－8，…
∴cn－cn－1＝－2n－1(n≥2)，
以上式子累加得
cn＝－(1＋2＋4＋…＋2n－1)＝1－2n(n≥2)，
其中c1＝－1也满足上式．
因此cn＝1－2n(n∈N*)，
则cn＋1＝1－2n＋1＝2(1－2n)－1＝2cn－1，
{cn}是“M类数列”．
3.(1)证明　如图，取SD的中点E，连接AE，NE，则NE＝CD＝AM，NE∥CD∥AM，

∴四边形AMNE为平行四边形，
∴MN∥AE.
∵MN⊄平面SAD，AE⊂平面SAD，
∴MN∥平面SAD.
(2)证明　∵SA⊥平面ABCD，
∴SA⊥CD.
∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥CD.
又SA∩AD＝A，∴CD⊥平面SAD，
∴CD⊥SD，∴∠SDA即为二面角S－CD－A的平面角，即∠SDA＝45°，∴△SAD为等腰直角三角形，∴AE⊥SD.
∵CD⊥平面SAD，∴CD⊥AE，又SD∩CD＝D，∴AE⊥平面SCD.
∵MN∥AE，∴MN⊥平面SCD，又MN⊂平面SMC，
∴平面SMC⊥平面SCD.
(3)解　∵＝λ，设AD＝SA＝a，则CD＝λa.
由(2)知MN⊥平面SCD，∴SN即为SM在平面SCD内的射影，
∴∠MSN即为直线SM与平面SCD所成的角，即∠MSN＝30°.
在Rt△SAM中，SM＝，而MN＝AE＝a，
∴在Rt△SNM中，由sin∠MSN＝得＝，
解得λ＝2，∴当λ＝2时，直线SM与平面SCD所成的角为30°.
4．(1)解　∵对任意实数x，y有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
∴令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，
∴f(0)＝0.
(2)证明　∵f(x)的定义域为R，
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又令y＝－x，则有f(0)＝f(x)＋f(－x)，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(3)解　设x1，x2∈(－∞，＋∞)，x1＜x2，
∵x2＞x1，∴x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＜0，
f(x2)＜f(x1)，∴f(x)是R上的减函数．
∵f(1)＝－，∴f(－1)＝，∴f(－2)＝1.
∴不等式f(x2－2ax－1)≤1即是f(x2－2ax－1)≤f(－2)，
∴x2－2ax－1≥－2，
即x2－2ax＋1≥0对x∈[2，4]恒成立．
法一　即a≤＋对x∈[2，4]恒成立．
令g(x)＝＋，则由g(x)在x∈[2，4]上单调递增，
∴g(x)min＝g(2)＝1＋＝，∴a≤.
法二　令φ(x)＝x2－2ax＋1(x∈[2，4])，
当a＜2时，φ(x)在[2，4]上单调递增，
φ(x)min＝φ(2)＝5－4a≥0，解得a≤，
故a≤满足题意；
当2≤a≤4时，φ(x)min＝φ(a)＝1－a2≥0，
解得－1≤a≤1，此时与2≤a≤4矛盾；
当a＞4时，φ(x)在[2，4]上单调递减，
φ(x)min＝φ(4)＝17－8a≥0，解得a≤，
此时与a＞4矛盾．
由上述可知，a≤.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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