高一数学上册高效测评考试题23.doc

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第三章　3.1.2

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)内，那么下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
C．函数f(x)在区间(2,16)内无零点
D．函数f(x)在区间(1,16)内无零点
答案：　C
2．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________，以上横线上应填的内容分别为(　　)
A．(0,0.5)，f(0.25)　　　　 B．(0.1)，f(0.25)
C．(0.5,1)，f(0.25) D．(0,0.5)，f(0.125)
解析：　∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5)，利用二分法，则第二次应计算f＝f(0.25)．
答案：　A
3．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，若α，β(α<β)是方程f(x)＝0的两个根，则实数a，b，α，β之间的大小关系是 (　　)
A．α<a<b<β B．a<α<β<b
C．a<α<b<β D．α<a<β<b
解析：若令g(x)＝(x－a)(x－b)，显然函数g(x)的两个零点是a，b，函数f(x)的两个零点是α，β，而函数f(x)的图象是由函数g(x)的图象向上平移两个单位长度得到的，结合图象可知a<α<β<b，故应选B.

答案：　B
4．函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：　作出两函数图象，利用数形结合思想求解．

∵g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，
又当x＝2时，f(x)＝2ln 2＝ln 4>1，
在同一直角坐标系内画出函数f(x)＝2ln x与g(x)＝x2－4x＋5的图象，如图所示，可知f(x)与g(x)有两个不同的交点．故选B.
答案：　B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]上的近似解，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有解区间为________．
解析：　记f(x)＝x3－2x－5，
∵f(2)＝－1<0，f(2.5)＝f＝－10>0，
∴下一个有解区间为(2,2.5)．
答案：　(2,2.5)
6．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.437 5)≈0.162
f(1.406 25)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度0.04)为________．
解析：　由参考数据知，f(1.406 25)≈－0.054，f(1.437 5)≈0.162，即f(1.406 25)·f(1.437 5)<0，且1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.437 5.
答案：　1.437 5
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，求方程f(x)＝0的正根(精确度为0.01)．
解析：　由于函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，故在(0，＋∞)上也单调递增，因此f(x)＝0的正根最多有一个．
因为f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以方程的正根在(0,1)内，取(0,1)为初始区间，用二分法逐步计算，列出下表：
区间
中点值
中点函数近似值
(0,1)
0.5
0.732
(0,0.5)
0.25
－0.084
(0.25,0.5)
0.375
0.328
(0.25,0.375)
0.312 5
0.124
(0.25,0.312 5)
0.281 25
0.021
(0.25,0.281 25)
0.265 625
－0.032
(0.265 625,0.281 25)
0.273 437 5
－0.005 43
(0.273 437 5,0.281 25)

因为|0.273 437 5－0.281 25|＝0.007 812 5<0.01，所以方程的根的近似值可取为0.273 437 5，即f(x)＝0的正根约为0.273 437 5.
8．利用计算器，求函数f(x)＝lg x＋x－3的零点．(精确度0.1)

解析：　f(x)＝lg x＋x－3，在同一坐标系中，作出y＝lg x和y＝3－x的图象，如图所示，观察图象可以发现lg x＝3－x有唯一解x1，且x1∈(2,3)，f(2)<0，f(3)>0，利用二分法，可列下表：

区间
中点值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
－0.102 059 991
(2.5,3)
2.75
0.189 332 694
(2.5,2.75)
2.625
0.044 129 308
(2.5,2.625)
2.562 5
－0.028 836 126
(2.562 5,2.625)

由于|2.625－2.562 5|＝0.062 5<0.1，
所以f(x)的零点可取2.562 5.

(10分)在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长10 km的线路，电线杆的间距为100 m．如何迅速查出故障所在呢？
解析：　如图所示，首先从AB线路的中点C开始检查，当用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，判定故障在BC；再到BC段中点D检查，这次发现BD段正常，可见故障出在CD段；再到CD段中点E来检查……每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半．要把故障可能发生的范围缩小到100 m左右，查7次就可以了．

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