2018届中考数学基础梳理复习检测7.doc

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第五章 四边形
第25课时　矩形、菱形、正方形
命题点1　(2016年9次，2015年12次，2014年8次，2013年6次),　
1. (2014南京6题3分)如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是(－2，1)，点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是(　　)
A. (，3)，(－，4) B. (，3)，(－，4)
C. (，)，(－，4) D. (，)，(－，4)

第1题图 第2题图
2. (2016扬州8题3分)如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是(　　)
A. 6 B. 3 C. 2.5 D. 2
3. (2015无锡14题3分)如图，已知矩形ABCD的对角线长为8 cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于________cm.

第3题图 　　　 第4题图
4. (2015泰州16题3分)如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为________．
5. (2014苏州17题3分)如图，在矩形ABCD中，＝，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E.若AE·ED＝，则矩形ABCD的面积为________．

第5题图
6. (2015淮安21题8分)已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F在边AD上，且AE＝DF.求证：BF＝CE.

　第6题图

7. (2016南通25题8分)如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F.
(1)求证：△BEF≌△CDF；
(2)连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．

　第7题图

8. (2016扬州23题10分)如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．

　第8题图

命题点2　(2016年8次，2015年7次，2014年9次，2013年9次)
9. (2014徐州7题3分)若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是(　　)
A. 矩形 B. 等腰梯形
C. 对角线相等的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形
10. (2015徐州7题3分)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于(　　)
A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 14

第10题图 　　　第11题图
11. (2013扬州7题3分)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于(　　)
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
12. (2013淮安17题3分)若菱形的两条对角线长分别为2和3，则此菱形的面积是________．
13. (2014宿迁13题3分)如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(－3，0)，(2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是________．

第13题图 　　 第14题图
14. (2016南京16题3分)如图，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为50 cm2，则菱形的边长为________cm.
15. (2015南京24(2)题4分)如图，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，连接EF.∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.

　第15题图
小明在证明四边形EGFH是矩形后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB、CD于点M、N，过H作PQ∥EF，分别交AB、CD于点P、Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．
小明的证明思路
由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证▱MNQP是菱形，只要证NM＝NQ.由已知条件________，MN∥EF，可证NG＝NF，故只要证GM＝FQ，即证△MGE≌△QFH，易证______，______，故只要证∠MGE＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，______，即可得证．

16. (2014淮安21题8分)如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF.求证：四边形AEDF是菱形．

　第16题图

17. (2014镇江20题6分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE＝OC.
(1)求证：∠1＝∠2；
(2)连接BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．

　第17题图

18. (2015徐州23题8分)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC.
(1)求证：四边形BFCE是平行四边形；
(2)若AD＝10，DC＝3，∠EBD＝60°，则BE＝________时，四边形BFCE是菱形．

　第18题图

19. (2014连云港21题10分)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.
(1)求证：四边形OCED为菱形；
(2)连接AE、BE.AE与BE相等吗？请说明理由．

　第19题图

20. (2014盐城25题10分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF.
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO＝，求EM∶MF的值．

　第20题图

命题点3　(2016年9次，2015年5次，2014年10次，2013年5次)
21. (2015连云港5题3分)已知四边形ABCD，下列说法正确的是(　　)
A. 当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形
B. 当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形
C. 当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形
D. 当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形

　第22题图 第23题图
22. (2013连云港8题3分)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为(　　)
A. 1 　　　B. C. 4－2 　　　D. 3－4
23. (2014泰州16题3分)如图，正方形ABCD的边长为3 cm，E为CD边上一点．∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q，若PQ＝AE，则AP等于________cm.
24. (2013南京19题8分)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N.
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．

　第24题图
25. (2015泰州25题12分)如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；
(3)求四边形EFGH面积的最小值．

　第25题图

答案
1. B　【解析】如解图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥y轴于点E，并延长交FB的延长线于点M ，根据题意可得△AOD≌△BCM, OD＝MC＝2，BM＝AD＝1，点C的纵坐标是4，可得点B的纵坐标为3，再由△AOD∽△OBF得，＝，代入数据即可求得OF＝，CE＝CM－OF＝2－＝，故点B的坐标为(，3)，点C的坐标为(－，4)．

第1题解图 第2题解图
2. C　【解析】所有剪法中剩余部分面积的值最小时，如解图，S△ABG＝AB·BG＝×4×4＝8，∵AD＝6，∴AE＝ED＝3，∴EF＝DF＝3，∴S△AED＝AE·ED＝×3×3＝9，S△EDF＝EF·DF＝×3×3＝4.5，∴S剩余部分＝S矩形ABCD－S△ABG－S△AED－S△EDF＝4×6－8－9－4.5＝2.5.
3. 16　【解析】如解图，连接AC，BD，∵在△ABC中，E、F分别为AB、BC的中点，∴EF＝AC＝4，同理可得，HG＝AC＝4，EH＝FG＝BD＝4，∴四边形EFGH的周长等于16 cm.

第3题解图
4. 　【解析】如解图，根据题意得，AP＝EP，∵OD＝OE，∠E＝∠D，∠DOP＝∠EOF，∴△ODP≌△OEF(ASA)，则OP＝OF，DP＝EF，设OE＝a，OP＝b，∴BF＝8－(6－a－b)＝2＋a＋b，FC＝8－(a＋b)，在Rt△BCF中，根据勾股定理得，BF2＝CF2＋BC2，即(2＋a＋b)2＝[8－(a＋b)]2＋62，解得a＋b＝，∴AP的长为.

第4题解图
5. 5　【解析】如解图，连接BE，则BE＝BC.设AB＝3x，BC＝5x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3x，AD＝BC＝5x，∠A＝90°，由勾股定理得AE＝4x，则DE＝5x－4x＝x，∵AE·ED＝，∴4x·x＝，解得x1＝，x2＝－(舍去)，则AB＝3x＝，BC＝5x＝，∴矩形ABCD的面积是×＝5.

第5题解图
6. 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD, ∠A＝∠D＝90°，
∵AE＝DF，
∴AF＝DE，(5分)
∴△ABF≌△DCE(SAS)，
∴BF＝CE.
7. 证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ABCD
∵BE＝AB，BE在AB的延长线上，
∴BECD.
∴∠BEF＝∠FDC，∠FBE＝∠FCD，
∴△BEF≌△CDF(ASA)．
(2)由(1)证得，
∴四边形BECD为平行四边形，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠FCD＝∠A，
∵∠BFD＝∠FCD＋∠FDC，∠BFD＝2∠A，
∴∠FDC＝∠A，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴FD＝FC.
由(1)知，△BEF≌△CDF，
∴BC＝DE.
∴四边形BECD是矩形．
8. (1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴∠BAC＝∠DCA，
由折叠的性质知，∠EAC＝∠BAC, ∠FCA＝∠DCA，
∴∠EAC＝∠FCA，
∴AE∥CF，
又∵AD∥BC，
∴四边形AECF为平行四边形；
(2)解：在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10，由勾股定理得，
BC＝＝8，
由折叠的性质知，∠ABC＝∠AME＝90°，BE＝EM，
在Rt△CEM中，CM＝AC－AM＝10－6＝4，
设CE＝x，则BE＝EM＝8－x，
由勾股定理得，ME2＋CM2＝EC2，
即(8－x)2＋16＝x2，
解得x＝5，
∵由(1)得，四边形AECF为平行四边形，
∴S四边形AECF＝EC·CD＝5×6＝30.
9. C　【解析】如解图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF＝FG＝GH＝EH，BD＝2EF，AC＝2FG，∴BD＝AC.∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选C.

第9题解图
10. A　【解析】由于菱形的周长是28，而它的四条边都相等，∴每条边都是7，而菱形的对角线互相垂直，E为AD的中点，由直角三角形斜边的中线等于斜边上的一半可得OE＝×7＝3.5.
11. B　【解析】如解图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC＝∠BAD＝×80°＝40°，∠BCF＝∠DCF，BC＝CD，∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∠ABF＝∠BAC＝40°，∴∠CBF＝∠ABC－∠ABF＝100°－40°＝60°，∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CDF＝∠CBF＝60°.

第11题解图
12. 3　【解析】由题意知S菱形＝×2×3＝3.
13. (5，4)　【解析】∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(－3，0)，(2，0)，点D在y轴上，∴AB＝5，∴DO＝＝4，∴点C的坐标是(5，4)．
14. 13　【解析】如解图，连接AC，BD交于点O，∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，∴S菱形ABCD＝AC·BD＝120，∴AC·BD＝240，又∵菱形的对角线互相垂直平分，∴2OA·2OB＝240，∴ OA·OB＝60，∵正方形AECF的面积等于边长的平方，∴AE2＝50, 又∵OA2＋OE2＝AE2，OA＝OE，∴OA＝5，∴OB＝12，∴AB＝＝＝13 cm.

第14题解图
15. 解：本题答案不唯一，下列答案仅供参考：
FG平分∠CFE; GE＝FH；∠GME＝∠FQH；∠GEF＝∠EFH.
16. 证明：设EF与AD交于点O，如解图．

第16题解图
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAO＝∠FAO，
由折叠性质可知AO＝DO，EF⊥AD，
∴∠AOE＝∠AOF＝90°，
在△AEO和△AFO中，
，
∴△AEO≌△AFO(ASA)，
∴EO＝FO，
即EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形．
17. (1)证明：在△ABC与△ADC中，
AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠1＝∠2；
(2)解：如解图，连接BE、DE，四边形BCDE为菱形，理由如下：

第17题解图
∵BC＝DC，∠1＝∠2，OC＝OC，
∴△COD≌△COB(SAS)，
∴OD＝OB，OC⊥BD，
又∵OE＝OC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵OC⊥BD，
∴四边形BCDE是菱形．
18. (1)证明：∵AB＝DC，
∴AC＝DB，
在△AEC和△DFB中，
，
∴△AEC≌△DFB(SAS)，
∴BF＝CE，∠ACE＝∠DBF，
∴EC∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形；
(2)解：4.
【解法提示】当四边形BFCE是菱形时，BE＝CE，
∵AD＝10，DC＝3，AB＝CD＝3，
∴BC＝10－3－3＝4，
∵∠EBD＝60°，
∴△EBC为等边三角形，BE＝BC＝4，
∴当BE＝4时，四边形BFCE是菱形．
19. (1)证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵在矩形ABCD中，AC＝BD，且AC、BD互相平分，
∴OC＝AC＝BD＝OD，
∴平行四边形OCED是菱形；
(2)解：相等．理由如下：
在菱形OCED中，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵在矩形ABCD中，AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ADC＋∠EDC ＝∠BCD＋∠ECD，
∴∠ADE＝∠BCE，
在△ADE和△BCE中，
，
∴△ADE≌△BCE(SAS)，
∴AE＝BE.
20. (1)证明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD，
∴∠AEO＝∠CFO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO(AAS)，
∴OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形BFDE是平行四边形；
(2)解：设OM＝x，
∵EF⊥AB，tan∠MBO＝，
∴BM＝2x，
又∵AC⊥BD，
∴△AOM∽△OBM，
∴＝，
∴AM＝＝x，
∵AD∥BC，
∴△AEM∽△BFM，
∴EM∶MF＝AM∶BM＝x∶2x＝1∶4.
21. B　【解析】本题考查平行四边形、矩形、正方形的判定，逐项分析如下：
选项
逐项分析
正误
A
一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形
×
B
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
√
C
只有两条对角线相等且互相平分的四边形才是矩形
×
D
只有两条对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形
×
22. C　【解析】在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，在△ADE中，∠AED＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝4，∵正方形的边长为4，∴BD＝4，∴BE＝BD－DE＝4－4，∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BE＝×(4－4)＝4－2.
23. 1或2　【解析】根据题意画出图形，过点P作PN⊥BC交BC于点N，如解图，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC＝PN，在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AD＝3 cm，∴tan30°＝，∴DE＝ cm，根据勾股定理得AE＝＝2 cm，∵M为AE的中点，∴AM＝AE＝ cm，在Rt△ADE和Rt△PNQ中，，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ(HL)，∴DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°，∵PN∥DC，∴∠PFA＝∠DEA＝60°，∴∠PMF＝90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，∠MAP＝30°，cos30°＝，∴AP＝＝＝2 cm；由对称性得到AP′＝DP＝AD－AP＝3－2＝1 cm.综上，AP等于1 cm或 2 cm.

第23题解图
24. 证明：(1)∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
又∵BA＝BC，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD(SAS)．
∴∠ADB＝∠CDB；
(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD＝∠PND＝90°.
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形MPND是矩形．
由(1)知，∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN.
∴四边形MPND是正方形．
25. (1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝DC，
∵AE＝DH＝CG，
∴AH＝DG，
∵∠A＝∠D，
∴△AHE≌△DGH(SAS)，
∴EH＝HG，∠AHE＝∠DGH，
∵∠DGH＋∠DHG＝90°，
∴∠AHE＋∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝90°，
同理，EH＝EF＝FG，
则EH＝GH＝GF＝FE，
∴四边形EFGH是正方形；
(2)解：是，直线EG经过正方形ABCD的中心．理由如下：如解图，连接BD，EG，DE，BG，

第25题解图
∵BE＝DG，BE∥DG，
∴四边形BGDE是平行四边形，
∴OB＝OD，OE＝OG，
∴点O为正方形ABCD的对角线AC、BD的交点，
∴直线EG经过正方形ABCD的中心；
(3)解：设正方形EFGH的面积为y，AE＝x，则AH＝8－x，
在Rt△AEH中，EH2＝AE2＋AH2，而正方形EFGH的面积＝EH2，
∴y＝x2＋(8－x)2＝2(x－4)2＋32，
∴当x＝4时，y有最小值为32.
即四边形EFGH面积的最小值是32 cm2.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
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