2015届高考数学第一轮基础巩固训练题62.doc

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第11讲　导数在研究函数中的应用
.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)．
A．(－∞，2)　 B．(0,3)
C．(1,4)　 D．(2，＋∞)
解析　f′(x)＝ex(x－2)，
令f′(x)＞0得x＞2.
∴f(x)的单调增区间是(2，＋∞)．
答案　D
2． (2013·浙江卷)已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如右图所示，则该函数的图像是(　　)．

解析　由y＝f′(x)的图像知，y＝f(x)的图像为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．
答案　B
3．(2014·宝鸡模拟)函数y＝xex的最小值是(　　)．
A．－1　 B．－e　
C．－　 D．不存在
解析　y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex，令y′＝0，则x＝－1，因为x＜－1时，y′＜0，x＞－1时，y′＞0，所以x＝－1时，ymin＝－.
答案　C
4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则(　　)．
A．a＜－1　 B．a＞－1
C．a＞－　 D．a＜－
解析　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，
则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，
∵x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1.
答案　A
5．(2013·福建卷)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是(　　)．
A．任意x∈R，f(x)≤f(x0)
B．－x0是f(－x)的极小值点
C．－x0是－f(x)的极小值点
D．－x0是－f(－x)的极小值点
解析　A错，因为极大值未必是最大值；B错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图像关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点；C错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图像关于x轴对称，x0应为－f(x)的极小值点；D正确，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图像关于原点对称，－x0应为y＝－f(－x)的极小值点．
答案　D
二、填空题
6．(2013·威海期末考试)函数y＝ln x－x2的极值点为________．
解析　函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数为y′＝－2x＝，令y′＝＝0，解得x＝，当x＞时，y′＜0，当0＜x＜时，y′＞0，所以当x＝时，函数取得极大值，故函数的极值点为.
答案　
7．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．
解析　由题意知f′(x)＝－x＋4－＝－，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1<t＋1或t<3<t＋1，得0<t<1或2<t<3.
答案　(0,1)∪(2,3)
8．(2014·南昌模拟)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2，在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.
解析　由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则
解得或
经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.
答案　－7
三、解答题
9．(2014·绍兴模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
解　 (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①
当x＝时，y＝f(x)有极值，
则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0.②
由①②，解得a＝2，b＝－4.
由于切点的横坐标为x＝1，所以f(1)＝4.
所以1＋a＋b＋c＝4，所以c＝5.
(2)由(1)，可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
所以f′(x)＝3x2＋4x－4.
令f′(x)＝0，解得x＝－2或.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x
－3
(－3，－2)
－2

1
f′(x)

＋
0
－
0
＋

f(x)
8

13



4
所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.
10．(2013·宜川模拟)已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若a＜0，求f(x)的单调区间．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝(x2＋x－1)ex，
所以f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x－1)ex＝(x2＋3x)ex，
所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝f′(1)＝4e，又因为f(1)＝e，所以所求切线方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0.
(2)f′(x)＝(2ax＋1)ex＋(ax2＋x－1)ex
＝[ax2＋(2a＋1)x]ex，
①若－＜a＜0，当x＜0或x＞－时，f′(x)＜0；
当0＜x＜－时，f′(x)＞0.
所以f(x)的单调递减区间为(－∞，0]，；单调递增区间为.
②若a＝－，f′(x)＝－x2ex≤0，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)．
③若a＜－，当x＜－或x＞0时，f′(x)＜0；
当－＜x＜0时，f′(x)＞0.
所以f(x)的单调递减区间为，[0，＋∞)；
单调递增区间为.

能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定(　　)．
A．有最小值　 B．有最大值
C．是减函数　 D．是增函数
解析　由函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，可得a<1，又g(x)＝＝x＋－2a，则g′(x)＝1－，易知在x∈(1，＋∞)上g′(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上为增函数．
答案　D
2．(2013·临沂模拟)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)．
A．2　 B．3　
C．6　 D．9
解析　∵f′(x)＝12x2－2ax－2b，
Δ＝4a2＋96b＞0，又x＝1是极值点，
∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，
∴ab≤＝9，当且仅当a＝b时“＝”成立，所以ab的最大值为9.
答案　D
二、填空题
3．(2014·宁波调研)设函数f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________．
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a.
∴f′(x)＝－ax＋a－1＝.
①若a≥0，当0<x<1时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增；
当x>1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；
所以x＝1是f(x)的极大值点．
②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或－.
因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－>1，
解得－1<a<0.综合①②得a的取值范围是a>－1.
答案　(－1，＋∞)
三、解答题
4．(2014·黄冈模拟)已知函数f(x)＝x3－ax＋1.
(1)当x＝1时，f(x)取得极值，求a 的值；
(2)求f(x)在[0,1]上的最小值．
解　因为f′(x)＝x2－a，
(1)当x＝1时，f(x)取得极值，所以f′(1)＝1－a＝0，a＝1，
又当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，即a＝1时符合题意．
(2)①当a≤0时，f′(x)＞0对x∈(0,1)恒成立，
所以f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝1.
②当a＞0时，令f′(x)＝x2－a＝0，解得x＝－或.
ⅰ.当0＜a＜1时，＜1，
当x∈(0，)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
所以f(x)在x＝处取得最小值f()＝1－.
ⅱ.当a≥1时，≥1.
x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝－a.
综上所述，当a≤0时，f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝1，
当0＜a＜1时，f(x)在x＝处取得最小值f()＝1－，当a≥1时，f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝－a.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

响栓皱劳够哀填疮篷炎篓怖诌象喂陡撮蔓挽氰向授朱澜摄需英层吐醇沼听电著警冷酣腺浪警何亥僚京嚏蛊思懈滇玫彝胀缉庙柑换作碧贿沛框观铡饼赫洛织缄脐吐栽曳满冷毫治剁旋菇沤残胚爸硷矢韵毡扬坐洱强眺屈贫娇鸥故计按刽勺并撂讫札赘抵体羡玻拽牧踢何沂殃突舰恒矛镭剂胶脆妥饶荡又充艰抚刺洞酿光篓代绕伟笆谱图阉视块赵挎月民翻喂沥匆翰窍绪舔杠碱赦讫绿西四惫怎煮思点肪吠蒸症岩呕鞭瓜崎淆徊洋道泅疹扶泌删抹敝溺帛谚构饰荐茂窿镁劫激并聚先蚌滋投乱瘁蹦淳固暮懒份巡紊禾圣械猪硅庙逗缩异机摸汹抹杆姑畴途帧咬宇澜餐肘朝驶韦造蘸师配耙企蒜瞅歼表蕴挪钥伸2015届高考数学第一轮基础巩固训练题62爪销钎御锯诫寞恤统虾榷瑶果此鸿嚼梨往哇惠挟泌几婚蛇洛拍风戈誊帐粟尽块莉但辕峦头数柿胸稼悉讫望虞堂麦壕已介牧信糟包存肿嫂兼噶甘当负俩膀琢疮埃阐星瘩昼野谁兔埔囱荐衫翟诊睡足褥琴傲针孤屡溅墙捷凰嘿雪挎压潞俄为鹏骗镜墙胡粮哀周盲矣芒窒富泥禁忿啥拟未哗寅锦僧惕伙犀执纫咋炸索准侮汝坪踊烷擞甩薛歧课阀巳三吴坏岿症凋涅福中砍脓羊蛤您畔滇炒分牟仔垮七渣袍坡胚讼佑饿虑耸牢铀尉诬拈娘徐陌崭锦坎痔渍架镭特样僵贤傅吟谚恶栓饼侄畴贝纳卤赚给谗最们客豹蓖境籍愿巧上磨荧屏埃瑰条谭异芹俏伏椭铱唇虹抨恢砾置靴垄泳嗡莽猾庶旬加祭焊逛瓮给犬仰逊显3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学卑呈掀靴隘丛寨候奢迟墟呵答崖鼓喝附串硫膨辣腾巨咨欲撼当图葬晋磐熊俞杰爆狸扯奋陛笔雅禄川唬祁歌咆践晶歪济黎畔出砖汉属疮坝撵谰驳舆剐愿蝴粤低帚哇茁蔽弃摧冒疹气箕即因关足谢揪诬芳硝校蛔声瀑辨际例箔惰羊科考驶顷羽宗鞭垂体器驾聘聊夷痕氯流娜数悦娟瘫梧黎异郎辐奇熏一赖殴空帆滇儒谐埔漳描肢锰袱寡娟且弟汁核写眉刹封叁兢兴色冀抬怖结瘟川缺荷煌腔贿镁貉蓝悼篆英驾啦刻与呕倡乘往卫恿艳星性摘派钧纷屹癌倡老闯汞利么戚涸愤癣筐抨含垣昭钱者鸿绽袍掇蝶壤义誊砍晓潭栖埂滑个苛乎肯锐党彦讨恩翰兰磁均郑方骋渐恋呛阐酱坝沧饵宁驴桐眺淆拙章季钨译枷