2017届江苏高考理科数学考点专题复习检测18.doc

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训练目标
(1)函数的单调性与导数的关系；(2)函数单调性的应用.
训练题型
(1)求函数单调区间；(2)利用函数单调性求参数值；(3)利用函数单调性比较函数值大小.
解题策略
(1)函数的单调性可通过解不等式f′(x)>0或f′(x)<0判断；(2)若f(x)在区间D上是增函数，则f′(x)≥0在D上恒成立；(3)已知条件中含f(x)的不等式，可构造函数，利用单调性求解.
1．设函数f (x)＝－，则f (x)的单调减区间是________．
2．如图所示是函数f (x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是________．

①函数f (x)在区间(－3,0)上是减函数；②函数f (x)在区间(－3,2)上是减函数；
③函数f (x)在区间(0,2)上是减函数；④函数f (x)在区间(－3,2)上是单调函数．
3．已知函数f (x)＝mx3＋3(m－1)x2－m2＋1(m>0)的单调递减区间是(0,4)，则m＝________.
4．已知函数f (x)＝＋ln x，若函数f (x)在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a的取值范围为________．
5．(2015·广东江门普通高中调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x)＝xsin x＋cos x，则f (x)的单调递增区间是________________．
6．已知函数f (x)＝x2＋3x－2ln x，则函数f (x)的单调递减区间为__________．
7．已知函数f (x)＝x2－2ax－aln x在(1,2)上单调递减，则a的取值范围是________．
8．设函数y＝f (x)，x∈R的导函数为f′(x)，且f(x)＝f (－x)，f′(x)<f(x)．则下列三个数：ef (2)，f (3)，e2f (－1)从小到大依次排列为________________．
9．若f (x)是定义在R上的可导函数，且对任意x∈R，满足f (x)＋f′(x)>0，则对任意实数a，b，下列结论成立的是________．
①a>b⇔ea f (b)>ebf (a)；②a>b⇔eaf (b)<ebf (a)；
③a>b⇔eaf (a)<ebf (b)；④a>b⇔eaf (a)>eb f (b)．
10．已知函数f (x)＝－－ax(a∈R)．
(1)当a＝时，求函数f (x)的单调区间；
(2)若函数f (x)在[－1,1]上为单调函数，求实数a的取值范围．

答案解析
1．(－1,1)
解析　f′(x)＝－＝，
当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1<x<1时，f′(x)<0，
所以函数f (x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．
2．①
解析　当x∈(－3,0)时，f′(x)<0，则f (x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．
3.
解析　函数f (x)＝mx3＋3(m－1)x2－m2＋1(m>0)，则f′(x)＝3mx2＋6(m－1)x，
令f′(x)<0，即3mx2＋6(m－1)x<0，
因为m>0，f (x)的单调递减区间是(0,4)，所以0,4是方程3mx2＋6(m－1)x＝0的两根，所以0＋4＝，所以m＝.
4．[1，＋∞)
解析　∵f (x)＝＋ln x(x>0)，
∴f′(x)＝(a>0)，
∵函数f (x)在[1，＋∞)上为增函数，
∴f′(x)＝≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，
∴ax－1≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，
即a≥对x∈[1，＋∞)恒成立，
∴a≥1.
5．(－π，－ ]和[ 0， ]
解析　f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x．令f′(x)＝xcos x≥0，则其在区间(－π，π)上的解集为(－π，－ ]和[0， ]，即f(x)的单调递增区间是(－π，－ ]和[ 0， ]．
6.
解析　函数f (x)＝x2＋3x－2ln x的定义域为(0，＋∞)．因为f′(x)＝2x＋3－，所以令2x＋3－<0，即2x2＋3x－2<0，解得x∈.又x∈(0，＋∞)，所以x∈.所以函数f (x)的单调递减区间为.
7．[ ，＋∞)
解析　因为函数f (x)＝x2－2ax－aln x在(1,2)上单调递减，所以f′(x)＝x－2a－＝≤0在(1,2)上恒成立，即a≥在x∈(1,2)上恒成立，易知函数y＝在(1,2)上是增函数，所以<＝，故a≥.
8．f (3)<ef (2)<e2f (－1)
解析　构造函数g(x)＝，g′(x)＝<0，
所以g(x)在R上为减函数，所以g(1)>g(2)>g(3)，即>>，得e2f (1)>ef (2)>f (3)，又f (－1)＝f (1)，所以f (3)<ef (2)<e2f (－1)．
9．④
解析　设F(x)＝exf (x)，则F′(x)＝exf (x)＋exf′(x)>0，故函数F(x)在实数集R上是增函数，当a>b时，F(a)>F(b)，即eaf (a)>ebf (b)，反之成立．故④成立．
10．解　(1)当a＝时，f (x)＝－－x，f′(x)＝[(ex)2－3ex＋2]＝(ex－1)(ex－2)，
令f′(x)＝0，得ex＝1或ex＝2，即x＝0或x＝ln 2；
令f′(x)>0，得x<0或x>ln 2；令f′(x)<0，得0<x<ln 2.
∴f (x)的增区间是(－∞，0]，[ln 2，＋∞)，减区间是(0，ln 2)．
(2)f′(x)＝＋－a，
令ex＝t，由于x∈[－1,1]，
∴t∈[，e]．
令h(t)＝＋(t∈[，e])，
h′(t)＝－＝，
∴当t∈[，)时，h′(t)<0，函数h(t)为单调递减函数；
当t∈(，e]时，h′(t)>0，函数h(t)为单调递增函数．
故h(t)在[，e]上的极小值点为t＝，且h()＝.
又h(e)＝＋<h()＝＋e，∴≤h(t)≤e＋.
∵函数f(x)在[－1,1]上为单调函数，
①若函数在[－1,1]上单调递增，则a≤＋对t∈[，e]恒成立，所以a≤；
②若函数f (x)在[－1,1]上单调递减，则a≥＋对t∈[，e]恒成立，所以a≥e＋，
综上可得a的取值范围是(－∞，]∪[e＋，＋∞)．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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