湖南省常德市2015-2016学年高一数学上册期中试题.doc

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2015-2016学年湖南省常德市津市一中高一（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={a，b，c}，下列可以作为集合A的子集的是( )
A．a B．{a，c} C．{a，e} D．{a，b，c，d}

2．下列函数是偶函数的是( )
A．y=x B．y=2x2﹣3 C．y= D．y=x2，x∈[0，1]

3．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )

A． B． C． D．

4．已知函数f（x）=，则f（2）=( )
A．3 B．2 C．1 D．0

5．下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A． B．f（x）=lgx2，g（x）=2lgx
C． D．

6．三个数0.67，70.6，log0.67的大小关系为( )
A． B．0.67＜70.6＜log0.67
C． D．

7．若（）2a+1＜（）3﹣2a，则实数a的取值范围是( )
A．（1，+∞） B．（，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，）

8．如果奇函数f（x）在区间[﹣10，﹣4]上是减函数且最大值为9，那么f（x）在区间[4，10]上是( )
A．增函数且最小值是﹣9 B．增函数且最大值是﹣9
C．减函数且最大值是﹣9 D．减函数且最小值是﹣9

9．设a＞1，函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=( )
A． B．2 C． D．4

10．根据表格内的数据，可以断定方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是( )
x
﹣1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.08
x+2
1
2
3
4
5
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）
11．已知幂函数的图象经过点（2，32）则它的解析式f（x）=__________．

12．计算：=__________．

13．若loga2=m，loga3=n，a2m+n=__________．

14．若一个球的表面积是4π，则它的体积是__________．

15．若函数f（2x+1）=4x2+2x+1，则f（3）=__________．

三、解答题（本大题共6小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．已知集合A={x|2x﹣4＜0}，B={x|0＜x＜5}，全集U=R，求：
（Ⅰ）A∩B；
（Ⅱ）（∁UA）∩B．

17．已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x≤﹣1或x≥3}，
（1）若A∩B=∅，求实数a的范围；
（2）若A⊆B，求实数a的范围．

18．已知函数f（x）=lg（10+x）+lg（10﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．

19．已知函数，
（1）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（2）求f（x）在[2，7]上的最大值及最小值．

20．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），并在定义域内为减函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），及f（4）=1，
（1）求f（1）；
（2）解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥1．

21．某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到35元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为．
（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）
（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少？
（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损．若是盈利，最大利润是多少？若是亏损，最小亏损是多少？

2015-2016学年湖南省常德市津市一中高一（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={a，b，c}，下列可以作为集合A的子集的是( )
A．a B．{a，c} C．{a，e} D．{a，b，c，d}
【考点】子集与真子集．
【专题】常规题型．
【分析】根据集合的子集的定义，即可判断得到答案．
【解答】解：根据集合的子集的定义，
∴集合A={a，b，c}的子集为：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，
对应选项，则可以作为集合A的子集的是{a，c}．
故选B．
【点评】本题考查了集合的子集与真子集，研究集合的子集问题时，要特别注意∅．如果集合A的元素个数是n，则其子集个数是2n，真子集个数是2n﹣1．属于基础题．

2．下列函数是偶函数的是( )
A．y=x B．y=2x2﹣3 C．y= D．y=x2，x∈[0，1]
【考点】函数奇偶性的判断．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】偶函数满足①定义域关于原点对称；②f（﹣x）=f（x）．
【解答】解：对于选项C、D函数的定义域关于原点不对称，是非奇非偶的函数；
对于选项A，是奇函数；
对于选项B定义域为R，并且f（x）=f（x）是偶函数．
故选B．
【点评】本题考查了函数奇偶性的判定；①判断函数的定义域是否关于原点对称；②如果不对称是非奇非偶的函数；如果对称，再利用定义判断f（﹣x）与f（x）的关系．

3．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )

A． B． C． D．
【考点】由三视图还原实物图．
【分析】正视图和左视图可以得到A，俯视图可以得到B和D，结合三视图的定义和作法解答本题正确答案D．
【解答】解：正视图和左视图相同，说明组合体上面是锥体，下面是正四棱柱或圆柱，俯视图可知下面是圆柱．故选D
【点评】本题主要考查三视图，三视图的复原，可以直接解答，也可以排除作答，是基本能力题目．

4．已知函数f（x）=，则f（2）=( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据分段函数的表达式，直接代入即可得到结论．
【解答】解：由分段函数可知，f（2）=﹣2+3=1，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式直接代入即可得到结论．

5．下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A． B．f（x）=lgx2，g（x）=2lgx
C． D．
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．
【解答】解：对于A，f（x）=|x|（x∈R），与g（x）==|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；
对于B，f（x）=lgx2=2lg|x|（x≠0），与g（x）=2lgx（x＞0）的定义域不同，对应关系也不同，∴不是同一函数；
对于C，f（x）==x+1（x≠1），与g（x）=x﹣1（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，∴不是同一函数；
对于D，f（x）=•=（x≥1），与g（x）=（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数．
故选：A．
【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．

6．三个数0.67，70.6，log0.67的大小关系为( )
A． B．0.67＜70.6＜log0.67
C． D．
【考点】对数值大小的比较．
【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵三个数0＜0.67＜1＜70.6，log0.67＜0，
∴log0.67＜0.67＜70.6，
∴故选：D．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

7．若（）2a+1＜（）3﹣2a，则实数a的取值范围是( )
A．（1，+∞） B．（，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，）
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】考查指数函数，利用函数为单调减函数，可得不等式，从而可求实数a的取值范围．
【解答】解：考查指数函数
∵，（）2a+1＜（）3﹣2a，
∴2a+1＞3﹣2a
∴a＞
∴实数a的取值范围是（）
故选B．
【点评】本题考查指数函数的单调性，考查解不等式，正确运用指数函数的单调性是关键．

8．如果奇函数f（x）在区间[﹣10，﹣4]上是减函数且最大值为9，那么f（x）在区间[4，10]上是( )
A．增函数且最小值是﹣9 B．增函数且最大值是﹣9
C．减函数且最大值是﹣9 D．减函数且最小值是﹣9
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）在区间[﹣10，﹣4]上是减函数且最大值为9，
∴f（﹣10）=9，
又∵f（x）为奇函数，
∴f（x）在[4，10]上是减函数，且有最小值f（10）=﹣f（﹣10）=﹣9．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系，要求熟练掌握函数性质的综合应用，属于基础题．

9．设a＞1，函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=( )
A． B．2 C． D．4
【考点】对数函数的单调性与特殊点．
【分析】因为a＞1，函数f（x）=logax是单调递增函数，最大值与最小值之分别为loga2a、logaa=1，所以loga2a﹣logaa=，即可得答案．
【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为loga2a，logaa，
∴loga2a﹣logaa=，∴，a=4，
故选D
【点评】本题主要考查对数函数的单调性与最值问题．对数函数当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．

10．根据表格内的数据，可以断定方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是( )
x
﹣1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.08
x+2
1
2
3
4
5
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
【考点】二分法求方程的近似解．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】令f（x）=ex﹣x﹣2，求出选项中的端点函数值，从而由根的存在性定理判断根的位置．
【解答】解：由上表可知，
令f（x）=ex﹣x﹣2，
则f（﹣1）≈0.37+1﹣2＜0，
f（0）=1﹣0﹣2=﹣1＜0，
f（1）≈2.72﹣1﹣2＜0，
f（2）≈7.39﹣2﹣2＞0，
f（3）≈20.09﹣3﹣2＞0．
故f（1）f（2）＜0，
故选：C．
【点评】考查了二分法求方程近似解的步骤，属于基础题．

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）
11．已知幂函数的图象经过点（2，32）则它的解析式f（x）=x5．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】设出幂函数，通过幂函数经过的点，即可求解幂函数的解析式．
【解答】解：设幂函数为y=xa，因为幂函数图象过点（2，32），
所以32=2a，解得a=5，
所以幂函数的解析式为y=x5．
故答案为：x5
【点评】本题考查幂函数的函数解析式的求法，幂函数的基本知识的应用．

12．计算：=4．
【考点】有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】利用指数的运算法则即可得出．
【解答】解：原式=2﹣+1
=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了指数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

13．若loga2=m，loga3=n，a2m+n=12．
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题．
【分析】由题设条件先求出am=2，an=3，再由a2m+n=（am）2•an能够导出a2m+n的值．
【解答】解：∵loga2=m，loga3=n，
∴am=2，an=3，
∴a2m+n=（am）2•an=22•3=12．
故答案为：12．
【点评】本题考查对数的运算法则和运算性质，解题时要认真审题，仔细解答．

14．若一个球的表面积是4π，则它的体积是．
【考点】球的体积和表面积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由球的表面积是4π，求出球半径为1，由此能求出球的体积．
【解答】解：设球的半径为R，
∵球的表面积是4π，∴4πR2=4π，
解得R=1，
∴球的体积V==．
故答案为：．
【点评】本题考查球的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意球的表面积、体积的计算公式的合理运用．

15．若函数f（2x+1）=4x2+2x+1，则f（3）=7．
【考点】函数的值．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由已知条件利用函数性质直接求解．
【解答】解：∵f（2x+1）=4x2+2x+1，
∴f（3）=f（2×1+1）=4×12+2×1+1=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

三、解答题（本大题共6小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．已知集合A={x|2x﹣4＜0}，B={x|0＜x＜5}，全集U=R，求：
（Ⅰ）A∩B；
（Ⅱ）（∁UA）∩B．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】求出A中不等式的解集，确定出集合A，
（Ⅰ）找出A与B的公共部分，即可求出两集合的交集；
（Ⅱ）由全集U=R，找出不属于A的部分，确定出A的补集，找出A补集与B的公共部分，即可确定出所求的集合．
【解答】解：A={x|2x﹣4＜0}={x|x＜2}，B={x|0＜x＜5}，
（Ⅰ）A∩B={x|0＜x＜2}
（Ⅱ）∵A={x|x＜2}，全集U=R，
∴CUA={x|x≥2}，
则（CUA）∩B={x|2≤x＜5}．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．

17．已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x≤﹣1或x≥3}，
（1）若A∩B=∅，求实数a的范围；
（2）若A⊆B，求实数a的范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．
【分析】由已知可得集合中端点之间的不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）由已知，∵A∩B=∅，
∴，解得﹣1＜a＜0；
（2）∵A⊆B，∴a+3≤﹣1或a≥3，
∴a≤﹣4或a≥3．
【点评】本题考查了集合的交集运算，以及由集合运算的性质求满足条件的参数范围，一般结合数轴数形结合解之．

18．已知函数f（x）=lg（10+x）+lg（10﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．
【考点】对数函数的图像与性质．
【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）根据真数大于0，构造不等式，解得函数f（x）的定义域；
（2）根据偶函数的定义，可判断出函数f（x）为偶函数．
【解答】解：（1）由得：x∈（﹣10，10），
故函数f（x）的定义域为（﹣10，10），
（2）函数f（x）为偶函数，理由如下：
由（1）知函数f（x）的定义域（﹣10，10）关于原点对称，
又由f（﹣x）=lg（10﹣x）+lg（10+x）=f（x），
故函数f（x）为偶函数．
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．

19．已知函数，
（1）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（2）求f（x）在[2，7]上的最大值及最小值．
【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明．
【专题】证明题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．
【分析】（1）x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，判断（x1）﹣f（x2）的符号，进而得到（x1），f（x2）的大小，根据单调性的定义即可得到答案．
（2）根据函数的单调性即可求出最值．
【解答】解：（1）证明：设x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2
则：f（x1）﹣f（x2）=x1+﹣（x2+）=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣）=（x1﹣x2），
∵1≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞1
∴（x1﹣x2）＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2），
∴所以f（x）在[1，+∞）上是增函数，
（2）由（1）可知f（x）在[2，7]上单调递增，
∴f（x）max=f（7）=7+=．
f（x）min=f（2）=2+=．
【点评】本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明和函数最值的求法，利用定义法（作差法）证明单调性的步骤是：设元→作差→分解→断号→结论．

20．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），并在定义域内为减函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），及f（4）=1，
（1）求f（1）；
（2）解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥1．
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】（1）利用特殊值法令y=1，可得f（x）=f（x）﹣f（1），求出f（1）=0；
（3）不等式可整理为x2﹣3x＜4，﹣x＞0，3﹣x＞0，解不等式可得．
【解答】：（1）令y=1，
∴f（x）=f（x）﹣f（1），
∴f（1）=0；
（3）∵f（﹣x）+f（3﹣x）≥1，
∴f（x2﹣3x）≥f（4），
∵函数在定义域内为减函数，
∴x2﹣3x＜4，﹣x＞0，3﹣x＞0，
∴﹣1＜x＜0，
故解集为（﹣1，0）．
【点评】考查了特殊值法求抽象函数问题，利用函数的奇偶性和单调性求解不等式问题．

21．某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到35元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为．
（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）
（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少？
（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损．若是盈利，最大利润是多少？若是亏损，最小亏损是多少？
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）因为25＜28＜30，所以把x=28代入y=40﹣x即可求出该产品的年销售量为多少万件；
（2）由（1）中y于x的函数关系式和根据年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本，得到w和x的二次函数关系，再有x的取值范围不同分别讨论即可知道该公司是盈利还是亏损，若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？
【解答】解：（1）∵25≤28≤30，，
∴把x=28代入y=40﹣x得y=12（万件），
答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件；
（2）①当 25≤x≤30时，W=（40﹣x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x2+60x﹣925=﹣（x﹣30）2﹣25，
故当x=30时，W最大为﹣25，即公司最少亏损25万；
②当30＜x≤35时，W=（25﹣0.5x）（x﹣20）﹣25﹣100
=﹣x2+35x﹣625=﹣（x﹣35）2﹣12.5
故当x=35时，W最大为﹣12.5，即公司最少亏损12.5万；
对比①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；
答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万．
【点评】本题主要考查二次函数在实际中应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要弄懂题意，确定变量，建立函数模型解答，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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