2016届高考数学第二轮复习限时训练题49.doc

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限时规范训练五
(建议用时45分钟)
1．已知函数f(x)＝2x，g(x)＝＋2.
(1)求函数g(x)的值域；
(2)求满足方程f(x)－g(x)＝0的x的值．
解：(1)g(x)＝＋2＝|x|＋2，
因为|x|≥0，所以0<|x|≤1，
即2<g(x)≤3，故g(x)的值域是(2,3]．
(2)由f(x)－g(x)＝0，得2x－－2＝0，
当x≤0时，显然不满足方程，
当x>0时，由2x－－2＝0，
整理得(2x)2－2·2x－1＝0，(2x－1)2＝2，
故2x＝1±，因为2x>0，
所以2x＝1＋，
即x＝log2(1＋)．
2．为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－50x＋900，且每处理一吨废弃物可得价值10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．
(1)当x∈[10,15]时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？
(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
解：(1)根据题意得，利润P和处理量x之间的关系：
P＝(10＋10)x－y
＝20x－x2＋50x－900
＝－x2＋70x－900
＝－(x－35)2＋325，x∈[10,15]．
P＝－(x－35)2＋325，在[10,15]上为增函数，可求得
P∈[－300，－75]．
∴国家最少补贴75万元，
该工厂才不会亏损．
(2)设平均处理成本为
Q＝＝x＋－50
≥2 －50＝10，
当且仅当x＝时等号成立，
由x>0得x＝30.
因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元．
3．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．其炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解：(1)令y＝0，得
kx－(1＋k2)x2＝0，
由实际意义和题设条件知x>0，k>0，
故x＝＝≤＝10，
当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
(2)因为a>0，
所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，
使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6千米时，可击中目标．
4．(2015·高考浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，记M(a，b)是|f(x)|在区间[－1,1]上的最大值．
(1)证明：当|a|≥2时，M(a，b)≥2；
(2)当a，b满足M(a，b)≤2时，求|a|＋|b|的最大值．
(1)证明：由f(x)＝2＋b－，
得对称轴为直线x＝－.
由|a|≥2，得≥1，故f(x)在[－1,1]上单调，
所以M(a，b)＝max{|f(1)|，|f(－1)|}．
当a≥2时，由f(1)－f(－1)＝2a≥4，
得max{f(1)，－f(－1)}≥2，即M(a，b)≥2.
当a≤－2时，
由f(－1)－f(1)＝－2a≥4，
得max{f(－1)，－f(1)}≥2，即M(a，b)≥2.
综上，当|a|≥2时，M(a，b)≥2.
(2)解：由M(a，b)≤2得
|1＋a＋b|＝|f(1)|≤2，|1－a＋b|＝|f(－1)|≤2，
故|a＋b|≤3，|a－b|≤3.
由|a|＋|b|＝得|a|＋|b|≤3.
当a＝2，b＝－1时，|a|＋|b|＝3，
且|x2＋2x－1|在[－1,1]上的最大值为2，
即M(2，－1)＝2.所以|a|＋|b|的最大值为3.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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