2016届高考理科数学考点专题闯关训练30.doc

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专题二　三角函数与平面向量
专题过关·提升卷
(时间：120分钟　满分：150分)
第Ⅰ卷　(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝(　　)
A. B. C．－ D．－
2．已知向量a＝(2，1)，b－a＝(－3，k2－3)，则k＝2是a⊥b的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)
A．向左平移个单位　　　B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
4．已知|a|＝4，|b|＝1，且〈a，b〉＝π，当|a＋xb|取得最小值时，则实数x的值为(　　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
5．已知sin α－cos α＝，则2cos2＝(　　)
A. B. C．－ D．－
6．(2015·山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝(　　)
A．－a2 B．－a2 C.a2 D.a2
7．(2015·长沙模拟)已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且∫0f(x)dx＝0，则函数f(x)图象的一条对称轴是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
8．已知sin＋sin＝，且θ∈，则cos＝(　　)
A. B.
C. D.
9．已知函数f(x)＝2cos(x＋φ)，且f(0)＝1，f′(0)>0，将函数f(x)的图象向右平移个单位，得函数y＝g(x)的图象，则函数g(x)在[0，π]上的最小值是(　　)
A．－ B．－1
C. D．1
10．(2015·四川高考)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　)
A．20 B．15 C．9 D．6
11．(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)
A．5 B. C．2 D．1
12．△DEF的外接圆的圆心为O，半径R＝4，如果＋＋＝0，且||＝||，则向量在方向上的投影为(　　)
A．6 B．－6
C．2 D．－2
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)
13．设常数a使方程sin x＋cos x＝a在闭区间[0，2π]上恰有三个根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________.
14．(2015·南京模拟)已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．
15．(2015·潍坊二模)已知G为△ABC的重心，令＝a，＝b，过点G的直线分别交AB、AC于P、Q两点，且＝ma，＝nb，则＋＝________．
16．(2015·湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北测一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2015·北京高考)已知函数f(x)＝sincos－
sin2.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．

18．(本小题满分12分)(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n, 求tan x的值．
(2)若m与n的夹角为，求x的值．

19.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin x－cos x，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)求函数g(x)＝f(x)f′(x)－f2(x)的最大值和最小正周期；
(2)若f(x)＝2f′(x)，求的值．

20．(本小题满分12分)(2015·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2.
(1)求tan C的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值．

21．(本小题满分12分)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，且点P(0，)是y＝f′(x)的图象与y轴的交点，点Q、R为y＝f′(x)的图象与x轴的两个交点，△ABC的内角满足f(A)＝1，cos B＝.

(1)若|QR|＝，且0<φ<，求sin C的值；
(2)求曲线段与x轴所围成的区域的面积．

22．(本小题满分12分)(2015·济南调研)已知m＝(sin(2π－x)，cos x)，n＝，
f(x)＝m·n.
(1)求y＝f(x)的单调递增区间和对称中心；
(2)在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若有f(B)＝，b＝7，sin A＋sin C＝，求△ABC的面积．

专题过关·提升卷
1．D　[设P(－4，3)，则x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝＝5，故cos α＝＝＝－，故选D.]
2．A　[由a＝(2，1)，b－a＝(－3，k2－3)，得b＝(－1，k2－2)．
又a⊥b⇔a·b＝－2＋k2－2＝0，
∴k＝±2，故“k＝2”是“a⊥b”的充分不必要条件．]
3．B　[∵y＝sin＝sin，∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位．]
4．C　[∵|a|＝4，|b|＝1，〈a，b〉＝π，
∴a2＝16，b2＝1，a·b＝|a||b|·cosπ＝－2.
则|a＋xb|2＝a2＋x2b2＋2xa·b＝16＋x2－4x＝(x－2)2＋12≥12
当且仅当x＝2时，|a＋xb|2有最小值．
∴x＝2时，|a＋xb|取得最小值．]
5．B　[由sin α－cos α＝，得1－sin 2α＝，∴sin 2α＝，
因此2cos2＝1＋cos 2＝1＋sin 2α＝.]
6．D　[如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°＝a2＋a2－2a·a×＝3a2，∴BD＝a.∴·＝||||cos 30°＝a2×＝a2.]

7．A　[∵∫0f(x)dx＝∫0sin(x－φ)dx＝0，
∴－cos(x－φ).
则cos φ－sin φ＝0，即cos＝0.
∴φ＋＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ＋.
∴f(x)＝sin，由x－kπ－＝k′π＋，
得x＝(k＋k′)π＋π(k，k′∈Z)，取k＋k′＝0，得x＝.]
8．B　[由sin＋sin＝，得
sin θcos＋cos θsin＋sin θcos－cos θsin＝.
∴2sin θcos＝，则sin θ＝.
又θ∈，∴cos θ＝＝.
因此cos＝cos θcos－sin θsin＝.]
9．B　[由f(x)＝2cos(x＋φ)，得f′(x)＝－2sin(x＋φ)．
∴f(0)＝2cos φ＝1，且f′(0)＝－2sin φ>0，
因此cos φ＝，且sin φ<0，
所以φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|<，则φ＝－，
f(x)＝2cos，
根据图象平移变换，知g(x)＝2cos.
又0≤x≤π，知－≤x－≤.
∴g(x)的最小值为2cos＝2×＝－1.]
10．C　[＝＋，＝－＝－＋，
∴·＝(4＋3)·(4－3)
＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9.]
11．B　[由S△ABC＝AB·BCsin B＝，得sin B＝，
∵B∈(0，π)，∴B＝或.
当B＝时，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝2＋1－2×1×＝1，
∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，则△ABC为直角三角形，不合题设，舍去．
当B＝时，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝5，∴AC＝，此时△ABC为钝角三角形，符合题意．]
12．A　[如图所示，由＋＋＝0，得＋＝，
∴四边形DEOF为平行四边形．

又||＝||＝4，知△ODF为等边三角形．
在△DEF中，易知∠EDF＝120°，∠EFD＝30°，由正弦定理，得＝，则EF＝4.故在向量方向上的投影为||cos 30°＝6.]
13.　[令f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，作出函数图象如图所示，要使函数f(x)的图象与y＝a有三个交点，则a＝且必有一根x1＝0，另外两根x2，x3关于直线x＝π对称，则x2＋x3＝π，故x1＋x2＋x3＝.]

14.　[根据题意，将x＝代入可得cos＝sin＝，∴π＋φ＝2kπ＋或π＋φ＝2kπ＋π，k∈Z.
又∵φ∈[0，π)，∴φ＝.]
15．3　[由G为重心，得＝×(a＋b)＝(a＋b)．∴＝－＝a＋，＝－＝b－a，

又P、G、Q三点共线，∴＝，即m＋n＝3mn.
因此＋＝3.]
16．100　[如图所示，在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°.

由正弦定理，得＝，
∴BC＝600×＝300.
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
∴CD＝BC·tan∠CBD＝300·tan 30°＝100.]
17．解　(1)因为f(x)＝sin x－(1－cos x)
＝sin－，
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为－π≤x≤0，所以－≤x＋≤.
当x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值．
所以f(x)在区间[－π，0]上的最小值为f＝－1－.
18．解　(1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.
所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，所以sin x＝cos x，
所以tan x＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，
即sin x－cos x＝，所以sin＝，
因为0<x<，所以－<x－<.
因此x－＝，故x＝.
19．解　(1)∵f(x)＝sin x－cos x，且g(x)＝f(x)·f′(x)－f2(x)，
∴f′(x)＝cos x＋sin x，
因此g(x)＝(sin x－cos x)(sin x＋cos x)－(sin x－cos x)2
＝sin2x－cos2x－(1－sin 2x)＝sin 2x－cos 2x－1
＝sin－1.
故函数f(x)的最小正周期T＝π，最大值为－1.
(2)由f(x)＝2f′(x)，得
sin x－cos x＝2(cos x＋sin x)，得tan x＝－3，
＝
＝＝.
20．解　(1)由A＝，b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C.
所以－cos 2B＝sin2C.又由A＝，得B＋C＝π.
∴2B＝π－2C，则cos 2B＝cos＝－sin 2C.
从而sin 2C＝sin2C，即2sin Ccos C＝sin2C.
又sin C≠0，故tan C＝2.
(2)由tan C＝2，C∈(0，π)得sin C＝，cos C＝，
又因为sin B＝sin(A＋C)＝sin，
所以sin B＝，
由正弦定理，c＝＝b.①
又S△ABC＝bcsin A＝3，A＝，
所以bc＝6，②
联立①，②可求b＝3.
21．解　(1)由f′(x)＝ω·cos(ωx＋φ)的图象知．
|QR|＝＝＝，∴ω＝2.
∵点P的坐标为(0，)，且0<φ<，
∴2cos φ＝，则φ＝.因此f(x)＝sin，
则f(A)＝sin＝1，
又0<A<π，得<2A＋<，
所以2A＋＝，则A＝，
由cos B＝，且0<B<π，得sin B＝，
因此sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝.
(2)设曲线段与x轴围成区域面积为S，设Q(a，0)，R(c，0)
则cos(aω＋φ)＝0，cos(cω＋φ)＝0
所以S＝＝
＝|sin(cω＋φ)－sin(aω＋φ)|＝2.
22．解　(1)f(x)＝m·n＝sin(2π－x)·sin＋cos x·cos(π＋x)
＝sin xcos x－cos2x
＝sin 2x－cos 2x－＝sin－.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数y＝f(x)的单调增区间是，k∈Z，
令2x－＝kπ，得x＝＋，k∈Z，
∴函数y＝f(x)的对称中心是，k∈Z.
(2)由f(B)＝，得f(B)＝sin－＝，
∴sin＝1，又0<B<π，∴－<2B－<，
则2B－＝，所以B＝.
由正弦定理得：sin A＋sin C＝sin B，
即＝×，
所以a＋c＝13.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得：b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，
则49＝169－3ac，∴ac＝40.
所以S△ABC＝acsin B＝×40×＝10.

希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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