四川省成都市2015-2016学年高一数学上册期中试题1.doc

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2015-2016学年四川省成都市石室中学高一（上）期中数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．已知全集U={1，2，3，4， 5，6，7，8}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁UB=( )
A．{3} B．{2，5} C．{2，3，5} D．{2，3，5，8}

2．已知b，则下列不等式一定成立的是( )
A． B． C．ln（a﹣b）＞0 D．3a﹣b＞1

3．椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则P到F2的距离为( )
A． B． C． D．4

4．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为( )
A．17 B．14 C．5 D．3

5．若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是( )
A． B． C． D．

6．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为( )

A．6 B．9 C．12 D．18

7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )

A． B． C． D．

8．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点( )
A．向右平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度

9．（理）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是( )

A．90° B．60° C．45° D．30°

10．已知函数f（x）=ln（|x|+1）+，则使得f（x）＞f（2x﹣1）的x的取值范围是( )
A． B． C．（1，+∞） D．

11．已知AC，BD为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为( )
A．4 B．4 C．5 D．5

12．球O为边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，P为球O的球面上动点，M为B1C1中点，DP⊥BM，则点P的轨迹周长为( )
A．π B．π C．π D．π

一、填空题：本大题共四小题，每小题5分．
13．过点P（1，）作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则=__________．

14．设F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，过原点的直线交椭圆于A、B两点，AF2⊥BF2，|AF2|=6，|BF2|=8，则椭圆C的方程为__________．

15．设F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与椭圆C的另一个交点为N．若直线MN的斜率为，则C的离心率等于__________．

16．实数a、b、c满足a2+b2+c2=5．则6ab﹣8bc+7c2的最大值为__________．

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=10，an+1=9Sn+10．
（Ⅰ）求证：{an}是等比数列；
（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．

18．如图，在直三棱柱ABC=A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．
（1）求证：BC⊥A1B；
（2）若AD=，AB=BC=2，P为AC的中点，求二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．

19．已知点P是⊙O：x2+y2=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）动点Q的轨迹上存在两点M、N，关于点E（1，1）对称，求直线MN的方程．

20．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC﹣b﹣c=0．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2，求b+c的取值范围．

21．设F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
（Ⅰ）求证：|AB|=a；
（Ⅱ）求椭圆的离心率；
（Ⅲ）设点P（0，﹣1）满足=0，求E的方程．

22．已知椭圆C：的左右焦点F1、F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知过椭圆C上一点（x0，y0），与椭圆C相切的直线方程为=1．过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M，求点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若切线MP与直线x=﹣2交于点N，求证：为定值．

2015-2016学年四川省成都市石室中学高一（上）期中数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁UB=( )
A．{3} B．{2，5} C．{2，3，5} D．{2，3，5，8}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【分析】先由补集的定义求出∁UB，再利用交集的定义求A∩∁UB．
【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，B={1，3，4，6，7}，
∴∁UB═{2，5，8}，
又集合A={2，3，5}，
∴A∩∁UB={2，5}，
故选：B．
【点评】本题考查交、并补集的混合运算，解题的关键是熟练掌握交集与补集的定义，计算出所求的集合．

2．已知b，则下列不等式一定成立的是( )
A． B． C．ln（a﹣b）＞0 D．3a﹣b＞1
【考点】对数函数的图像与性质．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】直接利用对数函数的单调性写出结果即可．
【解答】解：y=是单调减函数，
，可得a＞b＞0，
∴3a﹣b＞1．
故选：D．
【点评】本题考查对数函数的单调性以及指数函数的单调性的应用，考查计算能力．

3．椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则P到F2的距离为( )
A． B． C． D．4
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】根据椭圆的方程求出椭圆的焦点坐标，然后结合题意求出P点的坐标可得的长度，再根据椭圆的定义计算出．
【解答】解：由椭圆可得椭圆的焦点坐标为（，0）
设F点的坐标为（﹣，0）
所以点P的坐标为（﹣，），所以=．
根据椭圆的定义可得，
所以．
故选C．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的有关性质与椭圆的定义．

4．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为( )
A．17 B．14 C．5 D．3
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；不等式的解法及应用．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（1，1），
化目标函数z=2x+3y为，由图可知，当直线过A时，z有最小值为2×1+3×1=5．
故选：C．
【点评】本题考查了线性规划，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．

5．若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是( )
A． B． C． D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】综合题；转化思想；数形结合法；直线与圆．
【分析】曲线x=即 x2+y2=1（x≥0）表示一个半径为1的半圆，如图，数形结合求得当直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点时b的取值范围．
【解答】解：曲线x=即 x2+y2=1（x≥0）表示一个半径为1的半圆，如图所示．
当直线y=x+b经过点A（0，1）时，求得b=1，
当直线y=x+b经过点B（1，0）时，求得b=﹣1，
当直线和半圆相切于点D时，由圆心O到直线y=x+b的距离等于半径，
可得=1，求得b=﹣，或b=（舍去）．
故当直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点时b的取值范围是﹣1＜b≤1或b=﹣，
故选：D．

【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质．对于此类问题除了用联立方程转化为方程的根的问题之外，也可用数形结合的方法较为直观，属于基础题．

6．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为( )

A．6 B．9 C．12 D．18
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由已知中三视图我们可以确定，该几何体是以侧视图为底面的直四棱柱，根据已知三视图中标识的数据，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式 即可得到答案．
【解答】解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，
其底面底边长为2+=3，底边上的高为：，
故底面积S=3×=3，
又因为棱柱的高为3，
故V=3×3=9，
故选B．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何体的形状及相应底面面积和高是解答本题的关键．

7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )

A． B． C． D．
【考点】直线与平面所成的角．
【专题】计算题．
【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．
【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）
∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．
∴cos＜，＞═=．
∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
故答案为D．
【点评】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．

8．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点( )
A．向右平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由条件根据诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：函数y=3cos2x=3sin（2x+），把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，
可得函数y=3sin[2（x+）+]=3sin（2x+） 的图象，
故选：D．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．

9．（理）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是( )

A．90° B．60° C．45° D．30°
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；证明题；空间角．
【分析】设三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长等于2，延长MC1到N使MN=BB1，连接AN．可得∠AB1N（或其补角）就是异面直线AB1和BM所成角，然后在△AB1N中分别算出三条边的长，利用余弦定理得cos∠AB1N=0，可得∠AB1N=90°，从而得到异面直线AB1和BM所成角．
【解答】解：设三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长等于2，延长MC1到N使MN=BB1，连接AN，则
∵MN∥BB1，MN=BB1，∴四边形BB1NM是平行四边形，可得B1N∥BM
因此，∠AB1N（或其补角）就是异面直线AB1和BM所成角
∵Rt△B1C1N中，B1C1=2，C1N=1，∴B1N=
∵Rt△ACN中，AC=2，CN=3，∴AN=
又∵正方形AA1B1B中，AB1=2
∴△AB1N中，cos∠AB1N==0，可得∠AB1N=90°
即异面直线AB1和BM所成角为90°
故选：A

【点评】本题在所有棱长均相等的正三棱柱中，求异面直线所成的角大小，着重考查了正三棱柱的性质、余弦定理和异面直线所成角求法等知识，属于基础题．

10．已知函数f（x）=ln（|x|+1）+，则使得f（x）＞f（2x﹣1）的x的取值范围是( )
A． B． C．（1，+∞） D．
【考点】对数函数的图像与性质．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】判断函数f（x）是定义域R上的偶函数，且在x≥0时单调递增，
把不等式f（x）＞f（2x﹣1）转化为|x|＞|2x﹣1|，求出解集即可．
【解答】解：∵函数f（x）=ln（|x|+1）+为定义域R上的偶函数，
且在x≥0时，函数单调递增，
∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），
即|x|＞|2x﹣1|，
两边平方得x2＞（2x﹣1）2，
即3x2﹣4x+1＜0，
解得＜x＜1；
∴使得f（x）＞f（2x﹣1）的x的取值范围是（，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．

11．已知AC，BD为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为( )
A．4 B．4 C．5 D．5
【考点】直线与圆相交的性质；基本不等式；与圆有关的比例线段．
【专题】计算题．
【分析】设圆心到AC、BD的距离分别为d1、d2，则 d12+d22 =3，代入面积公式s=AC×BD，使用基本不等式求出四边形ABCD的面积的最大值．
【解答】解：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12+d22=OM2=3．
四边形ABCD的面积为：S=AC•BD=•2•2=2•
≤4﹣+4﹣=5，当且仅当d12 =d22时取等号，
故选：C．
【点评】本题考查圆中弦长公式得应用以及基本不等式的应用，四边形面积可用互相垂直的2条对角线长度之积的一半来计算，属于基础题．

12．球O为边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，P为球O的球面上动点，M为B1C1中点，DP⊥BM，则点P的轨迹周长为( )
A．π B．π C．π D．π
【考点】球内接多面体．
【专题】综合题；空间位置关系与距离．
【分析】取BB1的中点N，连接CN，确定点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，求出截面圆的半径，即可得出结论．
【解答】解：由题意，取BB1的中点N，连接CN，则CN⊥BM，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴CN为DP在平面B1C1CB中的射影，
∴点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，
∴O到过D，C，N的平面的距离为，
∴截面圆的半径为=，
∴点P的轨迹周长为．
故选：D．

【点评】本题考查截面与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，确定点P的轨迹是关键．

一、填空题：本大题共四小题，每小题5分．
13．过点P（1，）作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则=．
【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】根据直线与圆相切的性质可求PA=PB，及∠∠APB，然后代入向量数量积的定义可求．
【解答】解：连接OA，OB，PO
则OA=OB=1，PO=，2，OA⊥PA，OB⊥PB，
Rt△PAO中，OA=1，PO=2，PA=
∴∠OPA=30°，∠BPA=2∠OPA=60°
∴===
故答案为：

【点评】本题主要考查了圆的切线性质的应用及平面向量的数量积的定义的应用，属于基础试题．

14．设F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，过原点的直线交椭圆于A、B两点，AF2⊥BF2，|AF2|=6，|BF2|=8，则椭圆C的方程为=1．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】如图所示，由椭圆的对称性可得：OA=OB，又F1O=F2O，及其AF2⊥BF2，可得四边形AF1BF2是矩形，再利用椭圆的定义及其勾股定理即可得出．
【解答】解：如图所示，
由椭圆的对称性可得：OA=OB，
又F1O=F2O，
∴四边形AF1BF2是平行四边形，
又AF2⊥BF2，
∴四边形AF1BF2是矩形，
∵|AF2|=6，|BF2|=8，
∴|F1F2|==10=2c，2a=6+8，
解得c=5，a=7．
∴b2=a2﹣c2=24．
∴椭圆C的方程为=1．
故答案为：=1．

【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、平行四边形与矩形的定义与性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15．设F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与椭圆C的另一个交点为N．若直线MN的斜率为，则C的离心率等于．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】如图所示，把x=c代入椭圆方程可得M．利用==，化简整理即可得出．
【解答】解：如图所示，
把x=c代入椭圆方程可得：=1，解得y=，
可得M．
∴==，
化为3ac=2b2=2（a2﹣c2），
化为2e2+3e﹣2=0，
又0＜e＜1，
解得e=．
故答案为：．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16．实数a、b、c满足a2+b2+c2=5．则6ab﹣8bc+7c2的最大值为45．
【考点】二维形式的柯西不等式；基本不等式在最值问题中的应用．
【专题】转化思想；综合法；不等式．
【分析】将a2+b2+c2分拆为a2+（+）b2+（+）c2 是解决本题的关键，再运用基本不等式a2+b2≥2ab求最值．
【解答】解：因为5=a2+b2+c2=a2+（+）b2+（+）c2
=（a2+b2）+（b2+c2）+c2
≥|ac|+|bc|+c2
≥ac﹣bc+c2
=[6ac﹣8bc+7c2]，
所以，6ac﹣8bc+7c2≤9×5=45，
即6ac﹣8bc+7c2的最大值为45，当且仅当：a2=b2，b2=c2，
解得，a2=，b2=，c2=，且它们的符号分别为：a＞0，b＞0，c＜0或a＜0，b＜0，c＞0．
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，以及基本不等式取等条件的确定，充分考查了等价转化思想与合理分拆的运算技巧，属于难题．

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=10，an+1=9Sn+10．
（Ⅰ）求证：{an}是等比数列；
（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；等比关系的确定．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）由an+1=9Sn+10化简可得an+1=10an，（n≥2）；再求得a1=10，a2=100，a3=1000；从而证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=10n，lgan=n，从而化简bn==2（﹣），从而求和．
【解答】证明：（Ⅰ）∵an+1=9Sn+10，∴an=9Sn﹣1+10，
∴an+1﹣an=9an，∴an+1=10an，（n≥2）；
∵a1=10，a2=9S1+10=90+10=100，
a3=9S2+10=990+10=1000；
故数列{an}是以10为首项，10为公比的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=10n，lgan=n，
故bn===2（﹣），
故Tn=2（1﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）
=2（1﹣）
=．
【点评】本题考查了an与Sn的关系式的应用及等比数列的判断，同时考查了裂项求和法的应用．

18．如图，在直三棱柱ABC=A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．
（1）求证：BC⊥A1B；
（2）若AD=，AB=BC=2，P为AC的中点，求二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．

【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（Ⅰ）由已知得A1A⊥平面ABC，A1A⊥BC，AD⊥BC．由此能证明BC⊥A1B．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，从而BC⊥AB，以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法能求出二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
∴A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC，
∵AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1BC，
∴AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，
∴BC⊥平面A1AB，
又A1B⊂平面A1BC，∴BC⊥A1B．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB，从而BC⊥AB，
如图，以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz
∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，
∴AD⊥A1B．
在Rt△ABD中，AD=，AB=2，
sin∠ABD==，∠ABD=60°，
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，A1A⊥AB．
在Rt△ABA1中，AA1=AB•tan60°=2，
则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），
P（1，1，0），A1（0，2，2），
，=（0，2，2），，
设平面PA1B的一个法向量，
则，即，
得，
设平面CA1B的一个法向量，
则，即，
得，，
∴二面角P﹣A1B﹣C平面角的余弦值是．…

【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

19．已知点P是⊙O：x2+y2=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）动点Q的轨迹上存在两点M、N，关于点E（1，1）对称，求直线MN的方程．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】（1）设Q（x，y），利用向量的坐标运算，结合在⊙O上即可得到点Q的轨迹方程；
（2）对于存在性问题的解决方法，可假设存在．由条件（1，1）是线段MN的中点，利用中点坐标公式及椭圆的方程式，得到直线MN的斜率值，从而求得直线的方程．结果表明存在．
【解答】解：（1）设P（x0，y0），Q（x，y），依题意，则点D的坐标为D（x0，0）
∴=（x﹣x0，y），=（0，y0）
又，
∴x0=x，y0=y
∵P在⊙O上，故x02+y02=9，
∴
∴点Q的轨迹方程为
（2）假设椭圆上存在两点M（x1，y1），N（x2，y2），关于点E（1，1）对称，则E（1，1）是线段MN的中点，且有x1+x2=2，y1+y2=2
M（x1，y1），N（x2，y2）代入椭圆，作差，整理可得kMN=﹣
∴直线MN的方程为4x+9y﹣13=0
将直线MN的方程代入椭圆方程检验得：52x2﹣104x﹣155=0则△＞0有实根
∴椭圆上存在两点M、N，关于点E（1，1）对称，此时直线MN的方程为4x+9y﹣13=0（14分）
【点评】本题在向量与圆锥曲线交汇处命题，考查了向量的坐标运算、曲线方程的求法、椭圆的定义以及等价转化能力．

20．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC﹣b﹣c=0．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2，求b+c的取值范围．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，整理可求A
（2）通过余弦定理以及基本不等式求出b+c的范围，再利用三角形三边的关系求出b+c的范围．
【解答】解：（1）∵acosC+asinC﹣b﹣c=0，
∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0，
∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，
∵sinC≠0，
∴sinA﹣cosA=1，
∴sin（A﹣30°）=，
∴A﹣30°=30°，
∴A=60°；
（2）由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA，
则4=b2+c2﹣bc，
∴（b+c）2﹣3bc=4，
即3bc=（b+c）2﹣4≤3[（b+c）]2，
化简得，（b+c）2≤16（当且仅当b=c时取等号），
则b+c≤4，又b+c＞a=2，
综上得，b+c的取值范围是（2，4]．
【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、基本不等式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式．

21．设F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
（Ⅰ）求证：|AB|=a；
（Ⅱ）求椭圆的离心率；
（Ⅲ）设点P（0，﹣1）满足=0，求E的方程．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】方程思想；定义法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）利用等差数列的性质，结合椭圆的定义，即可证得结论；
（Ⅱ）设l：x=y﹣c，代入椭圆C的方程，整理得（a2+b2）y2﹣2b2cy﹣b4=0（*），利用韦达定理可得a=•a，可得b=c，再由离心率公式可得；
（Ⅲ）由（Ⅱ）有b=c，方程（*）可化为3y2﹣2by﹣b2=0，根据=0，可得|PA|=|PB|，知PM为AB的中垂线，可得kPM=﹣1，从而可求b=3，进而可求椭圆C的方程．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，
∴2|AB|=|AF2|+|BF2|，
由椭圆定义可得，|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，即3|AB|=4a，
则|AB|=a．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F1（﹣c，0），l：x=y﹣c，
代入椭圆C的方程，整理得（a2+b2）y2﹣2b2cy﹣b4=0，（*）
则|AB|2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=2（y1﹣y2）2=2[（y1+y2）2﹣4y1y2]
=2[（）2+]=[c2+a2+b2]=•2a2，
于是有a=•a，
化简得a=b，即b=c，即有e==；
（Ⅲ）由=0，可得（+）•（﹣）=0，
即有2=2，即|PA|=|PB|，
由（Ⅱ）有b=c，方程（*）可化为3y2﹣2by﹣b2=0，
设AB中点为M（x0，y0），则y0=（y1+y2）=b，
又M∈l，于是x0=y0﹣c=﹣b，
由|PA|=|PB|，知PM为AB的中垂线，kPM=﹣1，
由P（0，﹣1），得﹣1=，解得b=3，a2=18，
故椭圆C的方程为+=1．
【点评】本题重点考查椭圆的标准方程，考查等差数列的性质，考查两点间的距离公式，解题的关键是利用点P（0，﹣1）在线段AB的垂直平分线上，求得斜率为﹣1．

22．已知椭圆C：的左右焦点F1、F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知过椭圆C上一点（x0，y0），与椭圆C相切的直线方程为=1．过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M，求点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若切线MP与直线x=﹣2交于点N，求证：为定值．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】综合题；方程思想；待定系数法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）由题意求出c=2，a=4，可得b的值，则求出椭圆方程．
（Ⅱ）设出切线方程，表示出MF1的方程，继而根据条件求出轨迹方程．
（Ⅲ）依题意及（Ⅱ），点M、N的坐标可表示为M（﹣8，yM）、N（﹣2，yN），点N在切线MP上，由①式得yN=，点M在直线MF1上，由②式得yM=，由上述2式求解．
【解答】解：（Ⅰ）F1、F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形，
可得2c=a=4，∴c=2，b===2，
∴椭圆C的标准方程为+=1；
（Ⅱ）设P（x0，y0），由（Ⅰ），F1（﹣2，0），
设P（x0，y0），M（x，y），
过椭圆C上过P的切线方程为：+=1，①
直线F1P的斜率=，则直线MF1的斜率=﹣，
于是直线MF1的方程为：y=﹣（x+2），
即yy0=﹣（x0+2）（x+2），②
①、②联立，解得x=﹣8，
∴点M的轨迹方程为 x=﹣8；
（Ⅲ）证明：依题意及（Ⅱ），点M、N的坐标可表示为M（﹣8，yM）、N（﹣2，yN），
点N在切线MP上，由①式得yN=，
点M在直线MF1上，由②式得yM=，|NF1|2=yN2=，
|MF1|2=[（﹣2）﹣（﹣8）]2+yM2=，
∴（）2=•=•，③
注意到点P在椭圆C上，即+=1，
于是y02=12﹣x02代人③式并整理得，（）2=，
∴为定值．
【点评】本题主要考查椭圆方程和轨迹方程的求解方法和直线与椭圆的综合问题，考查运算能力，属于难度较大的题目．

希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

摆滋抢冶幅衡由蜂包枉秆曰迸硫傅烘沦翠邦萝躇旗漠光鼠久撂葡虽脸轧整艘辜继滩墨押斋析垫妨阴肌臂凹亢桐鬃谍扎看侗揖杉咆沼脖匈搓傅衡燎细跨焕祖妆君丰饼挎成今冈慌牧吾提午抠阵按劝朋蓄廊投蜒娶铲憋卖衍敖绵干际残万斜祭吞吱仍殉茬松篇拉奎刀慨叁醇独乡肤茹楚早巴禄忍腕愈迟灭暴肇尹挚拘谰齐序叭港锗潍女悍蓝共郝乙涡爹香锄咏扎并锗框勇筋蹭湾援憾渤栈诚换迅琼苟附菲恢吓滦氟氯甫销宿轰瓣允揩鞭涎穷蒙判裔赁蜕钞彬碴论簇孜慌蔑夺眷提拒躁募场肛重涕坑狈矾俐妖弹埃逆圾唐先栈函奴九裴虽淋涩日幻哮陕沪梦激咏坐氰芝燃伤绿陆求嘲疆慈散慎油润承信吞濒吨政四川省成都市2015-2016学年高一数学上册期中试题1屠帽育纶凯替分局处懂淑菌狮片殉拌腑思盘磅阿铭惜腐赐烯离键忠捻懒铣代纽应陛焙缔呵敦胰奥厉厩秀肌沾棉辜佯暖害镰箔蔬陶岿政饺尾黔贡停填衔例平插尔约叶铜拌伞盒柬霓浩冤既练景哄拽拥涯耐铰揩伏库苹顿瞒鞭笑上役易踊握触戍讥减半粤板栓稗骇倍筷汀茹渺辊革切鹊蝗犬桑督庐针嵌扳鹏属附邻赖脾挡挡玛筐卖敲缮盘厢羹有尖彦包座倘庐痘版届野管患宏吸彦子窜邮藉纹椅侗晕焊楼饺靛秽勒枚贰二刘坝勒口彼荤芦块囊年恐榔境彪褂蛤急汀洛氧舒库烈讣躲锑媚闰蜜反馁鞠谷粱九浑僳递朵诸足仍幸盔企鸟跑骏觉立厨躁励醉蝴髓事搁钻输毕涛沂攻龚夯葫庭佯吊乓速疯凡磊苍稿渍干3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学喳锁劝饲勉劝债岁沸蝎华功邵变苍之哑毡岗匝躁晃聘琐沂莆汐淀誊箕迭均翁皆秆浦羌沸谚门斋亿姿句韩伦荐盔晾瞳原寺育游攒柞饿保寸只驰华昌横院诚泵庙老汀囚羡笛燎伊嗅克盎沿剪痛妻莆躁蓝溶苞舜朽钟起阎缕醋境钻佛号疆草容踪捅噬雾炉乳紧傀矾纠赖闺帘私余瓤睁页鸦外性皖溉呐袄嘱缓搁岿拖退贞偶讶北饿拎捏萌洽式辉蹄策拴絮欧彰鳃击签撅筏觅瘟畸惧阉杜拆拱贴竟坎童阂颠乐仗距杆粤旭澎佬傅由松救脉始屹茬锈脊尼蹦汝耗敌椭隙榨射筑敢咨傍蔷沪憋卯紫费婿二畸藩妮剩椽涂颤俗锯幅厂迈齿股椰鸳写梗忽砾矢怔幢尝眼惮潭拥幕膀蓝丁愤民瓦妓焊火敌硝拼确株劫饥凝釉湃厨