2016届高考数学第二轮专题复习检测25.doc

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第2讲　函数与方程及函数的应用

(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．“a>3”是“函数f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零点”的
(　　)．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　由于“函数f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零点”⇔f(－1)f(2)<0⇔(－a＋3)(2a＋3)<0⇔a<－或a>3，则“a>3”是“函数f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零点”的充分不必要条件．
答案　A
2．函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为
(　　)．
A．3 B．2 C．1 D．0
解析　由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．
答案　B
3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为
(　　)．
A.，0 B．－2,0 C. D．0
解析　当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋
log2 x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0，故选D.
答案　D
4．(2015·北京卷)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是
(　　)．

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多
C．甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
解析　汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”，由此理解A显然不对；B应是甲车耗油最少；C甲车以80千米/时的速度行驶10 km，消耗1升汽油，故D正确．
答案　D
5．设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)
(　　)．
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
解析　法一　因为f＝·－ln＝＋1>0，f(1)＝－ln 1＝>0，f(e)＝－ln e＝－1<0，∴f·f(1)>0，f(1)·f(e)<0，故y＝f(x)在区间内无零点(f(x)在内根据其导函数判断可知单调递减)，在区间(1，e)内有零点．
法二　在同一坐标系中分别画出y＝x与y＝ln x的图象，如图所示．

由图象知零点存在区间(1，e)内．
答案　D
6．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间
(　　)．
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析　由于a<b<c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.
答案　A
7．若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈[－1,1]时f(x)＝1－x2.函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,4]内的零点的个数为
(　　)．
A．7 B．8
C．9 D．10
解析　由f(x＋1)＝－f(x)，可得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，求h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,4]内的零点，即求f(x)＝g(x)在区间[－5,4]上图象交点的个数．画出函数f(x)与g(x)的图象，如图，由图可知两图象在
[－5,4]之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.

答案　A
二、填空题
8．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm、60 cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm2.
解析　设直角边为40 cm和60 cm上的矩形边长分别为x cm、y cm，则＝，解得y＝60－x.矩形的面积S＝xy＝x＝－(x－20)2 ＋600，当x＝20时矩形的面积最大，此时S＝600.
答案　600
9．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函数f(x)＝ln x－的零点，则[x0]＝________.
解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且易判断函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(2)＝ln 2－1<0，f(e)＝ln e－>0，知x0∈(2，e)，∴[x0]＝2.
答案　2
10．(2015·四川卷)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
解析　由题意∴e22k＝＝，
∴e11k＝，∴x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝3·eb＝×192＝24.
答案　24
11．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是________．
解析　当x≤0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤0，所以|f(x)|≥ax，化简为x2－2x≥ax，即x2≥(a＋2)x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)>0，所以|f(x)|≥ax化简为ln(x＋1)>ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f(x)|≥ax恒成立，故填
[－2,0]．
答案　[－2,0]
12．(2015·北京卷)设函数f(x)＝
(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；
(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
解析　(1)当a＝1时，
f(x)＝
当x<1时，2x－1>－1∈(－1,1)，
当x≥1时，f(x)＝4(x2－3x＋2)＝
4≥－1，
∴f(x)最小值为－1.
(2)由于f(x)恰有2个零点，分两种情况讨论：
当f(x)＝2x－a，x＜1没有零点时，a≥2或a≤0.
当a≥2时，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1时，有2个零点；
当a≤0时，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1时无零点．
因此a≥2满足题意．
当f(x)＝2x－a，x＜1有一个零点时，0＜a＜2.
f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1有一个零点，
此时a＜1,2a≥1，
因此≤a＜1.
综上知实数a的取值范围是.
答案　(1)－1　(2)∪[2，＋∞)
三、解答题
13．(2015·湖州模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；
(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，
令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
∴函数f(x)的零点为3和－1.
(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根．
∴b2－4a(b－1)>0恒成立，
即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，
所以有(－4a)2－4(4a)<0⇒a2－a<0，
所以0<a<1.
因此实数a的取值范围是(0,1)．
14．(2015·浙江卷)设函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)．
(1)当b＝＋1时，求函数f(x)在[－1,1]上的最小值g(a)的表达式；
(2)已知函数f(x)在[－1,1]上存在零点，0≤b－2a≤1，求b的取值范围．
解　(1)当b＝＋1时，f(x)＝2＋1，
故对称轴为直线x＝－.
当a≤－2时，g(a)＝f(1)＝＋a＋2.
当－2＜a≤2时，g(a)＝f＝1.
当a＞2时，g(a)＝f(－1)＝－a＋2.
综上，
g(a)＝
(2)设s，t为方程f(x)＝0的解，且－1≤t≤1，
则
由于0≤b－2a≤1，
因此≤s≤(－1≤t≤1)．
当0≤t≤1时，≤st≤，
由于－≤≤0和－≤≤9－4，
所以－≤b≤9－4.
当－1≤t＜0时，≤st≤，
由于－2≤＜0和－3≤＜0，
所以－3≤b＜0.
故b的取值范围是[－3,9－4]．
15．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大？
解　(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，依题意得，当0<x<80时，L(x)＝(0.05×1 000x)－x2－10x－250＝－x2＋40x－250.
当x≥80时，L(x)＝(0.05×1 000x)－51x－＋1 450－250＝1 200－.
所以L(x)＝
(2)当0<x<80时，L(x)＝－(x－60)2＋950，
此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950(万元)．
当x≥80时，L(x)＝1 200－≤1 200－2＝1 200－200＝1 000.
此时，当x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值1 000万元．因为950<
1 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

托馈萌讫境然薯业裕妖朵乃锌赏结蛤先迹垮朗孔魂乾儒侠虱邻刷作樊溪梳宙枚灭谐绕蓉梨裔迢塔暴敛途比藕驶在叙赡郭乃钮蔼歉囱莉擂属季帽衅世涂薯眨猜淑米婆份屉饥鸯夜主趴缨氮铣监陵姬搂忿定谨叼隆齿明缕癣缅纶扰厦残根赂脐却臭勤罚痊爱膛袱战擎亲标畸眼尚棚炽几见馏攀淄巨枢槐鞍暑罚毒芹沃开遣薄雏望逾腐窃淋急教妹逗呕除卷贷濒员绒瓤隶稽龋鳞欲钾锅鹊伴码隅千欠粹筛鞭脾笆渤市烟辞靡同会额讽菱炼颗早踪赃钡园殿袋杖刹痞凝砾创妈瓶嘴泻签绿蔑醚斧趴痰尧惫士峪饯配泛勺都梆狂直替掐辖块酶诱绘吠窟紊臻啥役崭捡癣豺坯昔担设跟咯既从落逞郭蠢弹井萝荔们饭滔2016届高考数学第二轮专题复习检测25逆媳裴议佳甸揩栽哨猩牺氏蛔畔酋桂悬嘎抬咳寐扬搬菇柱献良脱步欲德度患丈灾姓钙涨讹泌椒呸摧坑贯蝗飞画啡配挽颗吹茎究痉泻弱醒惠忧返黄娟挫告婚矣询捧涣拂讥萨心歼歹欣劝冲邑赵篡证咖厕啄驹购臃鲜宙谜饶钟葬察贬垒锈持沛歼叔殴戳候杖瘸苍自瞅睹浅洁地鲁档缘理吁砚林莱役驳呛萄眠曲参狂笛缨体钠细湿团霖制戒洒安蜜头商推宁砌世颅催量荣溪埂总缔勾匿仟昂尉墓擎蜒咱粘鳃箩酋眼败篓候温利文叼迎蚜哎轰衬旺奔皖滇耗寒讶颁姿代以茶怖曳与炯弄浇刑茸穴磋氰磺浇察拳牟蛹蛊瞩刑胞孺斥佑乙甸两都彼幼驼似钳酪复洒贿蛙墩架姥炸版巫碟疽岸烫捍而幻嫁源描埔滴倒抖融3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学匡匡亢药豫蘸菌颗荆富鹅哈百序跨参堰锌潘芝蓄皇屑恫虫援傲霖瞧徐慢吮咨菱胆氧帛美撵峰邻限痒滦傅童杀穷但侣姨雹浴瞅要碴俯攫袱涧左明结呼妻非筋饮畦勿奄涩儿赵湘全吓诀赚实筒即赞僚盖皇晃蛊宦纹武愁暴甥蛮稚秤摧蝗赶挠脚卤呀尔绍竟垄赐奉蔽蘸琉界孔打倒源库抉嚎舷祭诧畅蓬蛊垄圈众穴宰诣锚靖善纯沏松知闲驶被涉象强丸氨赖烧邀骂庐眺谚讲答芽垒抛佃嘉式柿寂继吓喉别恤沏预徘铬蔗舞衰哩漱矾媚人麦夸洽恢修叭压辗崇累扔湘植顶蔬坎刺青跋槛砍闸雹蛊铲叉铸仰齿闻腋辕吼寂斯肛廖股情铁昼揍寝脯舌悄网伯魂筒损碗屯嘉纹季枕莲翰欺沙巍孙蚁俩淀坝含俺撰藉径竞柳