2016届高考理科数学第一轮课时冲关检测20.doc

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第十一章 第4节

一、选择题
1．(2015·太原模拟)命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立(　　)
A．不成立　　　　　 B．成立
C．不能断定 D．与n取值有关
解析：因为Sn＝2n2－3n，所以n＝1时a1＝S1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，n＝1时适合an，且an－an－1＝4，故{an}为等差数列，即命题成立．
答案：B
2．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”正确的反设为(　　)
A．a，b，c中至少有两个偶数
B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．a，b，c都是奇数
D．a，b，c都是偶数
解析：a，b，c恰有一个是偶数说明有且只有一个是偶数．其否定有a，b，c均为奇数或a，b，c至少有两个偶数．
答案：B
3．设a＝－，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小顺序是(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．a>c>b
解析：∵a＝－＝，
b＝－＝，c＝－＝，
又∵＋>＋>＋>0，
∴a>b>c.故选A.
答案：A
4．(2015·宁波模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证 <a”索的因应是(　　)
A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
解析： <a⇔b2－ac<3a2
⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0
⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0
⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.
答案：C
5．设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b，a<b及a＝b中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立，
其中正确判断的个数为(　　)
A．0　　 B．1
C．2　　　 D．3
解析：①②正确；③中，a≠b，b≠c，a≠c可以同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故正确的判断有2个．
答案：C
6．(2015·福州模拟)设0<x<1，a>0，b>0，a，b为常数，＋的最小值是(　　)
A．4ab B．2(a2＋b2)
C．(a＋b)2 D．(a－b)2
解析：(x＋1－x)
＝a2＋＋＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
当且仅当x＝时，等号成立．
答案：C
二、填空题
7．有下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是________．
解析：要使＋≥2，只要>0且>0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．
答案：3
8．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________．
解析：取a＝2，b＝1，得m<n.再用分析法证明：
－<⇐<＋⇐a<b＋2·＋a－b⇐2·>0，显然成立．
答案：m<n
9．关于x的方程ax＋a－1＝0在区间(0,1)内有实根，则实数a的取值范围是________．
解析：(1)当a＝0时，方程无解．
(2)当a≠0时，令f(x)＝ax＋a－1，则f(x)在区间(0,1)上是单调函数．依题意，得f(0)f(1)<0，
∴(a－1)(2a－1)<0，∴<a<1.
答案：
10．凸函数的性质定理为如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，
有
≤f，已知函数y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值为________．
解析：∵f(x)＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，
且A、B、C∈(0，π)，
∴≤f＝f，
即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝，
所以sin A＋sin B＋sin C的最大值为.
答案：
三、解答题
11．如图，已知四棱锥S­ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.
(1)求证：SA⊥平面ABCD；
(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．
(1)证明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，
∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.
又AB∩AD＝A，
∴SA⊥平面ABCD.
(2)解：假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.
∵BC∥AD，BC⊄平面SAD.
∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，
∴平面SBC∥平面SAD.
这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，
∴假设不成立．故不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.
12．(2014·郑州模拟)已知数列{an}与{bn}满足bnan＋an＋1＋bn＋1an＋2＝0，bn＝，n∈N*，且a1＝2，a2＝4.
(1)求a3，a4，a5的值．
(2)设cn＝a2n－1＋a2n＋1，n∈N*，证明：{cn}是等比数列．
(1)解：由bn＝，n∈N*，
可得bn＝
又bnan＋an＋1＋bn＋1an＋2＝0，
当n＝1时，a1＋a2＋2a3＝0，由a1＝2，a2＝4，
可得a3＝－3；
当n＝2时，2a2＋a3＋a4＝0，可得a4＝－5；
当n＝3时，a3＋a4＋2a5＝0，可得a5＝4.
(2)证明：对任意n∈N*，a2n－1＋a2n＋2a2n＋1＝0，　①
2a2n＋a2n＋1＋a2n＋2＝0，　②
a2n＋1＋a2n＋2＋2a2n＋3＝0，　③
②－③，得a2n＝a2n＋3，　④
将④代入①，可得a2n＋1＋a2n＋3
＝－(a2n－1＋a2n＋1)，
即cn＋1＝－cn(n∈N*)．又c1＝a1＋a3＝－1，故cn≠0，因此＝－1.所以{cn}是等比数列．

[备课札记]

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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