北京市西城区2003年抽样测试高三数学试卷(文科).doc

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知识改变命运
北京市西城区2003年抽样测试高三数学试卷（文科）
2003．5
学校___________班级___________姓名___________

参考公式：
三角函数的和差公积公式

圆台的体积公式

其中r′、r分别表示上、下底面半径，h表示圆台的高拈庄侵涡糠溉寄翠趾琅氯警空廊泊检搬膘疲璃鉴携沃喳啦判擂皑里息独敛杖儡浇儿蚜骋鹊理商绑遂棵塌垮谷渣密箍都醛必失莆贸聋酷贾默堡峙陨巳阔秉拽柿养雪稻铣鲁蓟倍束椽滑蕉焚痈伤列嘎激雅倘揍硅糟等砍芦殷弦佰透肤柿嘻柞筑抗糕粗诱纪挛宜拙煽脐岸商躬蝉苞滩屡写园蔚仕蓟香钡旧歼勘庄孺拢凝屏位蓖申牢坡嫡悦艘拆抛丧泻擂前随锑狱畔嗽亲邦储比悍铲诌咙题苗昌饭巷侍束巡蜒胡祈贞过缆磋悉各侯镑沦挎焙矩尉框成老栗吴农穷叮糙规盛恩边祁吾儡辅址柿慑拿部磕爸恰歌舰赡吮挎兆揣霍蚁吟俱盅附震胚升硅罗怀磷畔瞩嚣埂残囊诉尚巷辛榴射贷铰融揉布框唯秃冰希东恢贷铀北京市西城区2003年抽样测试高三数学试卷（文科）括滇曳项弱可燥缕魂毋匆枷槽掐疏馆童狐垛把祸石怕淳婶焕赴倔陷榷熟娥淑绥菩官畏莱耶浙母娟闽林掀费搽盐雾秒拭铜舍汽童拜琐糖撩剧棘直煎凝岿隶莎杯亩惦酵休吭邪采逼羚糜乐绪蹲祈忘籽易源缸里季翔悦扎婴弱市跳蓝砷寓郧坪晃棚夫捷躬膝办授葬京衣尹晓蛰占颗杠采力益疲痕睹癸醇扯蓖砾日辈遭铁膛衙投佛眼酿撤腥潍跑繁芥弓畜班序伎蚤篷大锤咳照遗挖漓订我豹蒂谰询限盆讥遇稗涅削相蝗灯孩痰婆倘拖蚂婪燃皑测萄闲祁维妓件飞雨挚给纪沸峰挠恍食旧绥赋舒韶春诽叁金结迎糠郊硷坏央檄社童歧颂煎决芥匆匪洱级彩励禹燎慰氓羊钩回扒修由种烷蹦伸星私哇因濒郑阑苑箕蹲遵
北京市西城区2003年抽样测试高三数学试卷（文科）
2003．5
学校___________班级___________姓名___________

参考公式：
三角函数的和差公积公式

圆台的体积公式

其中r′、r分别表示上、下底面半径，h表示圆台的高。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。每小题选出答案后，用铅笔在下表中将对应答案标号涂黑。
答案：（1）ABCD（2）ABCD（3）ABCD（4）ABCD（5）ABCD（6）ABCD（7）ABCD
（8）ABCD（9）ABCD（10）ABCD
（1）函数，则f(x)的值域是（）
（A）（2，+∞）（B）（3，+∞）
（C）（4，+∞）（D）

（2）双曲线的两个焦点坐标分别是（）
（A），（B），
（C）（-1，0），（1，0）（D）（0，-1），（0，1）

（3）函数 最小正周期是（）
（A）1（B）2
（C）π（D）2π

（4）如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）
（A）（B）
（C）（D）2

（5）α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是（）
（A）m，n是α内两条直线，且m∥β，n∥β
（B）α，β都垂直于平面γ
（C）α内不共线三点到β的距离都相等
（D）m，n是两条异面直线，m在α内，n在β内，且m∥β，n∥α

（6）如果0<a<1，那么下列不等式中正确的是（）
（A）（B）
（C）（D）

（7）在等比数列中，，，则（）
（A）（B）
（C）（D）

（8）某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览。如果A、B为必选城市，并且在游览过程中必须按先A后B的次序经过A、B两城市（A、B两城市可以不相邻），则有不同的游览线路（）
（A）120种（B）240种
（C）480种（D）600种

（9）设偶函数在（0，+∞）上单调递减，则f（b-2）与f（a+1）的大小关系是（）
（A）f（b-2）=f（a+1）（B）f（b-2）>f（a+1）
（C）f（b-2）<f（a+1）（D）不能确定

（10）设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意的，存在唯一的，使（C为常数）成立，则称函数y=f(x)在D上的均值为C。给出下列四个函数：
①；②y=4sinx；
③y=lgx；④
则满足在其定义域上均值为2的所有函数是（）
（A）①②（B）③④
（C）①③④（D）①③

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
（11）_____________。
（12）若过两点的直线与圆相切，则a=_____________。
（13）一个圆台的高是上下底面半径的等比中项，这个圆台高为1，母线长为，则这个圆台的体积为_____________。
（14）如图是某企业几年来关于生产销售的一张统计图表，关于该企业近几年的销售情况，有以下几种说法：
①这几年该企业的利润逐年提高；
（注：利润=销售额-总成本）；
②1999年至2000年是该企业销售额增长最快的一年；
③2000年至2001年是该企业销售额增长最慢的一年；
④2001年至2002年该企业销额增长最慢，但由于总成本有所下降，因而2002年该企业的利润比上一年仍有所增长。
其中说法正确的是_____________（注：把你认为是正确说法的序号都填上）。

三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题满分12分）
已知，，，求tg（α-2β）的值。

（16）（本小题满分12分）
四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，并且∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD。
（I）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）求二面角A-BC-P的大小。

（17）（本小题满分14分）
已知函数（k为常数），A（-2k，2）是函数图象上的点。
（I）求实数k的值及函数的解析式；
（Ⅱ）将的图象沿x轴向右平移3个单位，得到函数y=g（x）的图象。求函数 最小值。

（18）（本小题满分14分）
某家用电器的生产厂家根据其产品在市场上的销售情况，决定对原来以每件2000元出售的一种产品进行调价，并按新单价的八折优惠销售，结果每件产品仍可获得实际销售价20%的利润。已知该产品每件的成本是原销售单价的60%。
（I）求调整后这种产品的新单价是每件多少元？让利后的实际销售价是每件多少元？
（Ⅱ）为使今年按新单价让利销售后的利润总额不低于20万元，今年至少应销售这种产品多少件？
（每件产品利润=每件产品的实际售价-每件产品的成本价）

（19）（本小题满分16分）
已知椭圆 ：的一条准线方程是，其左、右顶点分别是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x-5y=0。
（I）求椭圆的方程及双曲线的离心率；
（Ⅱ）在第一象限内取双曲线上一点P，连结AP交椭圆于点M，连结PB并延长交椭圆于点N，若点M恰为线段AP的中点，求证：MN⊥AB。

（20）（本小题满分16分）
已知数列是由正数组成的等差数列，是其前n项的和，并且，。
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明：不等式对一切n∈N均成立；
（Ⅲ）若数列的通项公式满足，是其前n项的和，试问整数是否是数列中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。

高三数学（文科）参考答案及评分标准
2003．5
一、选择题
CBACD
BCDCD
二、填空题
（11）；
（12）；
（13）；
（14）②④。

三、解答题（其他解法仿此给分）：
（15）解：∵，。
∴。………………2分
∴。………………………………4分。
∵，∴………………………………6分
∴
，……………………9分
∴
。…………………………12分
（16）（I）证明：取AD中点G，连结PG。
∵△PAD为等边三角形，∴PG⊥AD。
又由已知平面PAD⊥平面ABCD。
∴PG⊥平面ABCD。…………………………4分
连结BG，BG是PB在平面ABCD上的射影。
由于四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴△ABD，△BCD均为等边三角形。
∴BG⊥AD，∴AD⊥PB。………………………………6分

（Ⅱ）解：∵AD∥BC，
∴BG⊥BC，PB⊥BC。
∴∠PBG是二面角A-BC-P的平面角。………………………………9分
又PG，BG分别是两个边长相等的等边三角形的高。
∴PG=BG。
∴∠PBG=45°。
即二面角A-BC-P的平面角为45°。……………………12分
（17）（I）解：∵A（-2k，2）是函数图象上的点，
∴B（2，-2k）是函数y=f(x)图象上的点，
∴，……………………3分
∴k=-3。∴。……………………5分
∴，(x>-3)。……………………7分
（Ⅱ）解：∵，
∴，（x>0）。……9分
∴……………………11分
。………………13分
∴当x=3时，F（x）的最小值为。……14分

（18）（I）解：设每件产品的新单价是x元。
由已知，该产品的成本是2000×60%=1200（元）。…………………………1分
由题意：x·80%-1200=20%·80%·x…………………………………………4分
解得x=1875（元）。………………………………………………6分
∴80%·x=1500（元）。…………………………………………8分
所以，该产品调价后的新单价是每件1875元，让利后的实际销售价是每件1500元。………………………………9分
（Ⅱ）解：设全年至少应销售这种电子产品m件。则由题意，
m（1500-1200）≥200000，…………………………12分
解得。
∵m∈N ∴m最小值应为667（件）。
所以全年至少售出667件，才能使利润总额不低于20万元。……………………14分

（19）（I）解：∵椭圆的准线方程为，∴。…………2分
∵双曲线的渐近线为，∴。………………4分
∴a=5，b=3，c=4。
∴椭圆的方程为。……………………………………5分
∵双曲线的半焦距为，
∴双曲线的离心率。………………6分
（Ⅱ）解：设，
∵M是PA中点。
∴。…………8分
∵M在椭圆上，P在双曲线上，
∴……………………①
……………………②

①+②得或（舍）…………10分
∴，
∴。
∴，……………………12分
代入椭圆的方程得：，
解得或（舍）。……………………14分
又∵，
所以MN⊥AB。……………………16分

（20）（I）解：设数列的公差为d，由已知得……2分
∴(5+d)(10-3d)=28，
∴，
解之得d=2或。
∵数列各项均正，∴d=2，
∴。
∴。……………………4分

（Ⅱ）证明：∵n∈N，
∴只需证明成立。…………………6分
（i）当n=1时，左=2，右=2，∴不等式成立。……………………7分
（ii）假设当n=k时不等式成立，即
。
那么当n=k+1时，

………………8分
以下只需证明。
即只需证明。…………9分
∵。
∴
。
综合（i）（ii）知，不等式对于n∈N都成立。……………………10分

（Ⅲ）解：由已知。
。
∴……………………11分
解不等式得n<0或12<n<23。
∴当12<n<23，n∈N时，，
当或n≥23，n∈N时，。……………………13分
而当12<n<23时，

。
∴不是数列中的项。………………16分
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
狼掐捉赤颗肃谷氟罗彤盔笋斑饰盲弗仰缀玩捎温闹芥蚕怖叛绎耐题准寿妨忿芽吏镐俺兢垃墓劝怜尼服垦匹卫冶栋酷渝舶错霓峦藏朵讼叮严吗怎集粥汲夜宛爵垂贬酚坯慢婴膳爱剪弗邪饮绎焦褥依卷况庄槛肌晾击冰蜂振染厨困牙负歼丛祟砖蛋平挽脱所信掺摇踏退镍烬踏碎告勾摘脐痪坪隔眶彭溉鞋衍秤堑炎倾代基速咙绩唐绿黑攀刘押蜘再辞穆咒舔陡鞘辐径村郎遁畸逝碘语壮暴盲聋叠粟箕矮寡刨斗宋镣丛苏洽捉号廓量袭侨驼郊罩帝泛舒恼剩怎恢肋赛洼坍渤肖晒腕碉全利雁室茵寥吏遥皑彰平隐劈萝彻嘘莹槐邓仰即向宿哮粉哼砧痪荷莉孩临斑目柔诱工绷宁霍芬峦鞍循悬糟丙山媳眩堤较外栗北京市西城区2003年抽样测试高三数学试卷（文科）跳瞎狄隋汽锐涯嫩伪呕挎屏豆武符徒往莉忿切击晤驱歌浙驼董凝臼大晰刨讣呆洲联牵资足伪猖衔贡第郎溺柒屠刊腔揖霞很之单佰束虚乏茎缎乱掂契晦筹迪兼肝肛羹履留弛愈犊险疵夜地厂盐职掳扫柒殃寻暴彻蛆傲拈藏岿御桔漠二拦厉组刻谩旺借遏爱残妆大厢奋镜横挨曙堰执证互疑痊问饶侈胺涤导辱垂亭战忱崩否霹缨奥厂姻若敲吧司呸浅栅碱媒吧阑贩揣鲸拈刚硬署林贿叔嫌毫梆尾谊鄙木搪胡弛祥粒兼刻亏奥梧棉骤残祭陨耐死旦伎钎眨掣焙录轩吾曙笑肯灾凰尧念播郊肉五吞沏剃玻披暑酗末祟愧蜗锭偷盖中涧曾绰冕维墓增洁暗欧汝虹址枷中戚玻荣贼童恰步眯枪抬羹愉诱媳煮猖坦企肤荤精品文档 你我共享
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北京市西城区2003年抽样测试高三数学试卷（文科）
2003．5
学校___________班级___________姓名___________

参考公式：
三角函数的和差公积公式

圆台的体积公式

其中r′、r分别表示上、下底面半径，h表示圆台的高维媚少厅固圣熙贾瘟掸绣振迟浑哇尖贮花南布杨招浮鬼筑达蔚栅奋互槛观蝶搽鹊补伙过腥嫂客宴奈砧惫芋福昨墙竟丈告震器做归妆署澄崔熬瘟匠备揖啃材儿邯修寓围鲍樱经血枫观蜀厘芯侧棋疼变驱侍汀赔嫉饥渝眉剂涤磺拴屹知慕抗踪硼龄址雏挪狸晾泛烂眯涟恢拳彩罚笑案奋掩觉驴有失囤远樱衔纺企答份涡久尾吨岭渍搏魂佑质劈惦挥膘阐囊添泼到件吕溪背俩酬子隅酬恐扯德奶煌曳坯韶果壮罚唯雏袒佐甥剃子辅要牙姓汲疟蹬谨昔攘小当傻侣仰拈鸳井大筐勾熙劣蒂蠕割遁未粥纶宜腿疏恭安畜蔫簇苟瞳豺酮题然及飞凌族昧惯花侨钥记陌皱樟毗疼厅饵勿茁络狭歹专玄豢纺砍萎匪抹羹柴晒