2016届高考数学第一轮总复习检测18.doc

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第6讲　双曲线

1．双曲线的概念
平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(0＜2a＜2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0：
(1)当a＜c时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
图形

性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
[做一做]
1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)
A．2　　　　　　　　　 B.
C. D．1
答案：D
2．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率等于，则C的方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：B

1．辨明三个易误点
(1)双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．
(2)区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
(3)双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1)．
2．求双曲线标准方程的两种方法
(1)定义法
根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a，b，c，即可求得方程．
(2)待定系数法
①与双曲线－＝1共渐近线的可设为－＝λ(λ≠0)；
②若渐近线方程为y＝±x，则可设为－＝λ(λ≠0)；
③若过两个已知点，则可设为＋＝1(mn＜0)．
3．双曲线几何性质的关注点
双曲线的几何性质可从以下三点关注：
(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点；
(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；
(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．
[做一做]
3．“k＞9”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.当k＞9时，9－k＜0，k－4＞0，方程表示双曲线．当k＜4时，9－k＞0，k－4＜0，方程也表示双曲线．
∴“k＞9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件．
4．(2014·高考北京卷)设双曲线C经过点(2，2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．
解析：设双曲线C的方程为－x2＝λ，将点(2，2)代入上式，得λ＝－3，∴C的方程为－＝1，其渐近线方程为y＝±2x.
答案：－＝1　y＝±2x

__双曲线的定义________________________

　(1)(2014·高考大纲全国卷)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2 ，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆圆心M的横坐标是(　　)
A．a B．b
C．c D．a＋b－c
[解析]　(1) 由e＝＝2，得c＝2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2a，
又|F1A|＝2|F2A|，
故|F1A|＝4a，
|F2A|＝2a，
∴cos∠AF2F1＝＝.

(2)
如图，内切圆圆心M到各边的距离分别为MA，MB，MC，切点分别为A，B，C，由三角形的内切圆的性质则有：|CF1|＝|AF1|，|AF2|＝|BF2|，|PC|＝|PB|，
∴|PF1|－|PF2|＝|CF1|－|BF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，
又|AF1|＋|AF2|＝2c，
∴|AF1|＝a＋c，则|OA|＝|AF1|－|OF1|＝a.
∵M的横坐标和A的横坐标相同．

[答案]　(1)A　(2)A
　本例(1)中双曲线方程变为x2－＝1，若点A在C上，|F1A|＝2|F2A|不变，求cos∠AF2F1的值．
解：如图，由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2，
又|F1A|＝2|F2A|，
故|F1A|＝4，
|F2A|＝2，
∴cos∠AF2F1＝
＝.
[规律方法]　(1)在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
(2)在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系．
　1.(1)已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线－＝1的左，右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
解析：(1)在△ABP中，由正弦定理知＝＝＝＝.
(2)设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，所以x＝－1，x＋2＝＋1，所以|PF2|＋|PF1|＝2.
答案：(1)A　(2)2
__求双曲线的标准方程__________________

　(1)(2015·东北三校联合模拟)与椭圆C：＋＝1共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－＝1 B．y2－＝1
C.－＝1 D.－x2＝1
(2)(2014·高考江西卷)过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[解析]　(1)椭圆＋＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0，2)，
设双曲线的标准方程为－＝1(m>0，n>0)，
则，解得m＝n＝2.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由得∴A(a，－b)．
由题意知右焦点到原点的距离为c＝4，
∴＝4，即(a－4)2＋b2＝16.
而a2＋b2＝16，∴a＝2，b＝2.
∴双曲线C的方程为－＝1.
[答案]　(1)C　(2)A
[规律方法]　求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法．待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．
　2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦距为26，且经过点M(0，12)．
解：(1)设双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知，2b＝12，e＝＝，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)∵双曲线经过点M(0，12)，
∴M(0，12)为双曲线的一个顶点，
故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13.
∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
__双曲线的几何性质(高频考点)__________

双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．
高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下四个命题角度：
(1)求双曲线的离心率(或范围)；
(2)求双曲线的渐近线方程；
(3)求双曲线方程；
(4)求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长．
　(1)(2014·高考广东卷)若实数k满足0<k<5，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)
A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
(2)(2014·高考重庆卷)设F1、F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C．4 D.
(3)(2014·高考山东卷)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0

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双曲线及其几何性质
　　[解析]　(1)因为0<k<5，所以两曲线都表示双曲线，在－＝1中a2＝16，b2＝5－k；在－＝1中a2＝16－k，b2＝5.由c2＝a2＋b2知两双曲线的焦距相等，故选D.
(2)根据双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝2a，由(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，可得4a2＝b2－3ab，即b2－3ab－4a2＝0，所以－3－4＝0，解得＝4(负值舍去)．所以e＝＝＝＝＝.
(3)由题意知e1＝，e2＝，
∴e1·e2＝·＝＝.
又∵a2＝b2＋c，c＝a2＋b2，∴c＝a2－b2，
∴＝＝1－，
即1－＝，
解得＝±，
∴＝.
令－＝0，解得bx±ay＝0，∴x±y＝0.
[答案]　(1)D　(2)D　(3)A
[规律方法]　与双曲线几何性质有关问题的解题策略
在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e＞1.
　3.(1)(2015·忻州市高三联考)已知双曲线C：－＝1的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
(2)(2015·唐山模拟)已知双曲线x2－y2＝4左支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为，则a＋b＝(　　)
A．2 B．－2
C．4 D．－4
(3)(2015·湖北宜昌调研)已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若△ABF2是正三角形，那么双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D．3
解析：(1)选B.由双曲线的方程－＝1知，双曲线的焦点在x轴上，∴＝()2＝3，∴n＝，∴a2＝，b2＝4－＝，从而双曲线的渐近线方程是y＝±x.
(2)选B.利用点到直线的距离公式，得＝，即|a－b|＝2，又P(a，b)为双曲线左支上一点，故应在直线y＝x的上方区域，∴a－b＜0，∴a－b＝－2.∵P(a，b)在双曲线上，∴a2－b2＝4，
∴(a＋b)(a－b)＝4，∴a＋b＝－2.
(3)选B.由△ABF2是正三角形，可得∠AF2F1＝30°，在Rt△AF1F2中，|F1F2|＝2c，∴|AF1|＝c，|AF2|＝c.
根据双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝c，
∴e＝＝.故选B.
__与双曲线有关的综合问题______________

　(2015·湖南宁远一中测试)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点，F1为左焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．
[解]　(1)依题意知，b＝，＝2⇒a＝1，c＝2，
∴双曲线的方程为x2－＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)知F2(2，0)．
易验证当直线l斜率不存在时不满足题意，故可设直线l：y＝k(x－2)，
由
消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，
∵直线l与双曲线有两个交点，∴k≠±，
x1＋x2＝，x1x2＝，
y1－y2＝k(x1－x2)，
△F1AB的面积
S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|
＝2|k|·
＝12|k|·＝6.
得k4＋8k2－9＝0，
则k＝±1.
所以直线l的方程为y＝x－2或y＝－x＋2.
[规律方法]　双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题.
　4.(2015·铜陵模拟)若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若|AB|＝6，求k的值．
解：(1)由，得
故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
∵直线与双曲线右支交于A，B两点，
故
即
所以1＜k＜.
(2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝·
＝2＝6，
整理得28k4－55k2＋25＝0，
∴k2＝或k2＝.
又1＜k＜，
∴k＝.

方法思想——方程思想在求离心率中的应用

　　　设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
[解析]　设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，不妨设一个焦点为F(c，0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB＝－.又渐近线的斜率为±，所以由直线垂直关系得(－)·＝－1(－显然不符合)，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，所以c2－a2＝ac，两边同除以a2，整理得e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)．
[答案]　D
[名师点评]　(1)本题利用方程思想，将已知条件转化为关于a，c的方程，然后求出离心率e.
(2)求解椭圆、双曲线的离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于a，c的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e的方程或不等式求解．
　　　已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
解析：根据对称性，只要∠AEF<即可．由题意，知F(－c，0)，直线AB的方程为x＝－c，将x＝－c代入双曲线方程，得y2＝，取点A(－c，)，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即<a＋c⇒b2<a2＋ac⇒c2－ac－2a2<0⇒e2－e－2<0，解得－1<e<2，又e>1，故1<e<2.故离心率e的取值范围是(1，2)．
答案：(1，2)

1．已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的(　　)
A．实轴长相等　　　　　　 B．虚轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析：选D.由双曲线C1知：a2＝sin2θ，b2＝cos2θ⇒c2＝1，由双曲线C2知：a2＝cos2θ，b2＝sin2θ⇒c2＝1.
2．(2015·福建宁德模拟)已知椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　　)
A. B.
C．4 D.
解析：选C.因为椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点(±，0)，
则有a2－9＝7，∴a＝4.
3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)
A. B．3
C.m D．3m
解析：选A.双曲线C的标准方程为－＝1(m>0)，其渐近线方程为y＝± x＝±x，即y＝±x，不妨选取右焦点F(，0)到其中一条渐近线x－y＝0的距离求解，得d＝＝.
4．(2015·河南开封模拟)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.易知|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以由双曲线的定义知|PF1|＝2a＋2c，因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，所以(a＋c)2＋(2a)2＝(2c)2，即3c2－2ac－5a2＝0，两边同除以a2，得3e2－2e－5＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．
5．(2015·兰州市、张掖市高三联考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选C.由题意知，圆的半径为5，又点(3，4)在经过第一、三象限的渐近线y＝x上，因此有，
解得，所以此双曲线的方程为－＝1.
6．已知双曲线－＝1的右焦点的坐标为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：依题意知()2＝9＋a，所以a＝4，
故双曲线方程为－＝1，
则渐近线方程为±＝0.
即2x±3y＝0.
答案：2x＋3y＝0或2x－3y＝0
7．(2015·浙江六市六校联盟模拟)如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．

解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2，0)，C(2，3)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
8．(2015·武汉模拟)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点．若＝8a，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
解析：设|PF2|＝y，则(y＋2a)2＝8ay⇒(y－2a)2＝0⇒y＝2a≥c－a⇒e＝≤3.
答案：(1，3]
9．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．
解：切点为P(3，－1)的圆x2＋y2＝10的切线方程是3x－y＝10.
∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，
∴两渐近线方程为3x±y＝0.
设所求双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵点P(3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80，
∴所求的双曲线方程为－＝1.
10．已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2.
(1)求椭圆及双曲线的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、B，在第二象限内取双曲线上一点P，连结BP交椭圆于点M，连结PA并延长交椭圆于点N，若＝，求四边形ANBM的面积．
解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则根据题意知双曲线的方程为－＝1且满足
解方程组得
∴椭圆的方程为＋＝1，双曲线的方程为－＝1.
(2)由(1)得A(－5，0)，B(5，0)，|AB|＝10，设M(x0，y0)，则由＝，得M为BP的中点，所以P点坐标为(2x0－5，2y0)．
将M、P坐标代入椭圆和双曲线方程，
得
消去y0，得2x－5x0－25＝0.
解得x0＝－或x0＝5(舍去)．
∴y0＝.由此可得M(－，)，
∴P(－10，3)．
则直线PA的方程是y＝－(x＋5)，
代入＋＝1，得2x2＋15x＋25＝0.
解得x＝－或x＝－5(舍去)，
∴xN＝－，则xN＝xM，所以MN⊥x轴．
∴S四边形ANBM＝2S△AMB＝2××10×＝15.

1．(2015·唐山市高三年级统考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点为F1，F2，且C上点P满足·＝0，||＝3，||＝4，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.
C. D．5
解析：选D.依题意得，2a＝|PF2|－|PF1|＝1，|F1F2|＝＝5，因此该双曲线的离心率e＝＝5.
2．(2015·山西阳泉高三第一次诊断)已知F1、F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B.由题意知a＝1，b＝1，c＝，
∴|F1F2|＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°
＝|F1F2|2＝8，
即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝8，①
由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝2，两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，②
①－②得|PF1||PF2|＝4.
3．(2015·浙江杭州调研)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，左、右顶点分别为A1和A2，过焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若||是||和||的等比中项，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题意可知||2＝||×||，即＋(a＋c)2＝2c(a＋c)，化简可得a2＝b2，则e＝＝＝＝.
答案：
4．已知c是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的半焦距，则的取值范围是________．
解析：＝＝－e＝－，由于e＞1，且函数f(e)＝－在(1，＋∞)上是增函数，那么的取值范围是(－1，0)．
答案：(－1，0)
5．(2015·湛江模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c，0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
解：(1)∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴a＝b，
∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，
∴a2＝b2＝2，
∴双曲线方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1，
∴x0＝y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，
∴x0＝c，
∴点A的坐标为(c，c)，
代入双曲线方程得－＝1，
即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又∵a2＋b2＝c2，
∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得
c4－2a2c2＋a4＝0，
∴3()4－8()2＋4＝0，
∴(3e2－2)(e2－2)＝0，
∵e＞1，∴e＝，
∴双曲线的离心率为.
6．(选做题)直线l：y＝(x－2)和双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，且|AB|＝，又l关于直线l1：y＝x对称的直线l2与x轴平行．
(1)求双曲线C的离心率e；
(2)求双曲线C的方程．
解：(1)设双曲线C：－＝1过一、三象限的渐近线l1：－＝0的倾斜角为α.
因为l和l2关于l1对称，记它们的交点为P，l与x轴的交点为M.
而l2与x轴平行，记l2与y轴的交点为Q.
依题意有∠QPO＝∠POM＝∠OPM＝α.
又l：y＝(x－2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，
所以tan 30°＝＝.
于是e2＝＝1＋＝1＋＝，
所以e＝.
(2)由于＝，于是设双曲线方程为－＝1(k≠0)，
即x2－3y2＝3k2.
将y＝(x－2)代入x2－3y2＝3k2中，
得x2－3×3(x－2)2＝3k2.
化简得到8x2－36x＋36＋3k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝2
＝2×＝＝，
解得k2＝1.
故所求双曲线C的方程为－y2＝1.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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