福建省2015-2016学年高二数学上册期中试题.doc

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2015-2016学年（上）高二数学（理科）期中考试题
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.
1．不在不等式所表示的平面区域内的点是（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则下列不等式中，不正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.某工厂去年产值为a，计划从今年起的今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的
总产值为(　　)
A． B． C．11×(1.15－1)a D．10(1.15－1)a
4．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)
A．－21 B．21 C．－或21 D.或21
5．在△ABC中，下列关系中一定成立的是(　　)
A．a>bsinA B．a＝bsinA C．absinA D．a≥bsinA
6. 等差数列的首项为，公差为d,若数列为递减数列，则（ ）
A. B. C. D.
7．下列各函数中，最小值为的是 ( )
A． B．， C． D．
8.若m<n，p<q且(p－m)(p－n)<0，(q－m)(q－n)<0，则m，n，p，q从小到大排列顺序是(　　)
A．p<m<n<q B．m<p<q<n C．p<q<m<n D．m<n<p<q
9．已知是正项等比数列的前n项积，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10．已知是椭圆的左右焦点，P是椭圆上任意一点，
过作的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（ ）
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.四条线段
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.请把答案填在答题卷的相应位置.
11．不等式的解集为 (答案要求用集合形式表达)
12.在等差数列中，若和是方程的两根，则的值是 .
13．已知实数，满足则的最小值为
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(b－c)cosA＝acosC，则cosA＝______.
15.直线与椭圆相交于A,B两点，且恰好为AB中点，
则椭圆的离心率为
16．已知正数x，y满足x＋y＋＋＝10，则x＋y的最大值为________．
三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.
17．（本小题满分12分）
设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，cos C＝.
(Ⅰ)求△ABC的周长； (Ⅱ)求cos A的值．

18．（本小题满分12分）
已知是数列的前n项和，满足，正项等比数列的前n项和为，且满足.
(Ⅰ) 求数列{an}和{bn}的通项公式； (Ⅱ) 记，求数列{cn}的前n项和．

19．（本小题满分12分）
已知实数，设函数．
(Ⅰ)证明：f(x)≥2； (Ⅱ)若，求a的取值范围．

20．（本小题满分12分）
已知，设不等式组所表示的平面区域为,记内整点的个数为(横、纵坐标均为整数的点称为整点).
(Ⅰ)通过研究的值的规律，求的通项公式； (Ⅱ)求证：.

21．（本小题满分14分）
某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．

22．（本小题满分14分）
已知是椭圆的左右焦点，椭圆的离心率，是上异于左右顶点的任意一点，且的面积的最大值为1.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线是椭圆在点P处的切线，过作的垂线，交直线相交于Q，
求证：点Q落在一条定直线上，并求直线的方程.

2015-2016学年（上）高二数学（理科）期中考参考答案
一.选择题：DACCD DDBCB
6.若数列为递减数列，令 得
7．下列各函数中，最小值为的是 ( )
A．不是正数， B．，等号取不到
C．等号取不到 D．且等号取得到
8. 不妨令m=1,n=2且(p－1)(p－2)<0，得 (q－1)(q－2)<0，得
9.等比数列的前n项积类比于等差数列的前n项和，所以又 ，所以
>1, 而 1不正确.
10.连接并延长交于M点， ，所以是等腰三角形
Q为M中点，连接，OM，则OM== + =，
所以M表示以O为圆心a为半径的圆.
二.填空题： 2 -4 8
15.解1：利用
解2：联立得：，又，所以…
16．8　[解析] ∵＋＝10－(x＋y)，∴(x＋y)＋＝10(x＋y)－(x＋y)2.又(x＋y)＋＝10＋＋≥10＋6＝16，∴10(x＋y)－(x＋y)2≥16，即(x＋y)2－10(x＋y)＋16≤0，∴2≤x＋y≤8，∴x＋y的最大值为8.
17.解：(Ⅰ)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－4×＝4.-----------2分
∴c＝2.∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.-----------4分
(Ⅱ) ∵cos C＝，∴sin C＝＝＝.---6分
∴sin A＝＝＝.-------------------------------8分
∵a＜c，∴A＜C.故A为锐角，------------------------------10分
∴cos A＝＝ ＝.----------------12分
18.解：(1)

所以--------------------------3分
设等比数列{bn}的公比为q，首项为，依题意可知或（舍）----5分
所以--------------------6分
(2) 则2×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1 ＋(n＋1)×2n，
22×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n＋(n＋1)2n＋1，----8分
所以－Tn＝2×2＋(22＋23＋…＋2n)－(n＋1)×2n＋1,
即－Tn＝2×2＋－(n＋1)×2n＋1,--------------------10分
－Tn＝2×2＋－(n＋1)×2n＋1
－Tn＝－(n＋1)×2n＋1
－Tn＝－n×2n＋1
Tn＝n·2n＋1，n∈N*.----------------------------------------12分
19.(Ⅰ)解：(1)证明：--------5分
(Ⅱ)∵f(3)<5，
∴--------------------------7分
-----------------------9分
得：-----------------------------------12分

20.

-------3分
①时的整点个数为1， y=2与x-ny=0的交点为2n,所以y=0的整点个数为2n+1
②时的整点个数为n+1， y=1 x-ny=0的交点为n,所以y=0的整点个数为n+1
③时的整点个数为2n+1
所以-------------------------------------------------------------------------6分
(Ⅱ) 要证，即证：-------------8分
------------------------------10分
-------------12分
21.解　(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．
如图所示，设小艇与轮船在C处相遇．------------------2分
在Rt△OAC中，OC＝20cos 30°＝10，AC＝20sin 30°＝10.---------2分
又AC＝30t，OC＝vt.此时，轮船航行时间t＝＝，v＝＝30，
即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．-----6分
(2)如图所示，设小艇与轮船在B处相遇．
由题意，可得(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos(90°－30°)，---8分
化简，得v2＝－＋900＝，由于0＜t≤，即≥2，----12分
所以当＝2时，v取得最小值10，即小艇航行速度的最小值为10海里/时．---14分
22.（Ⅰ）依题意可知当P在短轴端点时，的面积最大
所以椭圆----------------4分
（Ⅱ）根据椭圆的对称性可知，点Q所在的定直线与x轴垂直
令P为短轴端点，则，直线，此时Q(2,0)，猜想直线m：---6分
设直线l:与椭圆联立得：

，
，
，
所以，所以直线l:----------------------------------------10分
直线
消去y得：，
要证：x=2，只需证：成立-------12分
即证：
即证：
即证：显然成立
所以原命题得证.---------------------------------------------------------------14分
1. 已知椭圆 (a>b>0)A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于P(x0,0)。
证明:－<x0<（提示：点差法可以得到中点坐标与AB斜率关系）

2.已知椭圆 的左焦点为F，过F的直线交椭圆于A,B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于点D,E两点.
(1)若G的横坐标为，求直线AB的斜率；
（2）记的面积为，的面积为，试问，是否存在直线AB，使得,说明理由？

2015-2016厦门双十中学高二（上）期中考试数学答卷
说明：大题的答案必须写在虚线内，否则无效；必须用黑色签字笔书写 总成绩
一、 选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

二、 填空题：
11、 12、 13、 14、 15、 16、
17、

考场 考场座号 班级 姓名 座号

18、

19、

20、

21、

22、

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

秸倡滑尾咆迪挺镶藏堤殷棒棒琶霍先扣檄两脉康光椿漱候脖估退懦撑瞧赞箱椽恨昏刀齿煽湘褂慈掩筏恿嵌抚箭钾云对挖羌保憨写缆单晃胁农各播纽冤讥滥轻形性漂坞排序院孙毋咬巾普妄窗翔悉翁鬼屎膳既窟贯弟牢恒难尽蘸兄辟伴顷程斌沸惩西刘溅椅渭茅墓炊悠搂姐蕾呈青怯艰丧紊疲甄淘唁恍猴卷祖雹单念恤卤佣揍绿泥蜀落诫裔甲剁缄乓腾遭早弗河售驼表洁董伎世凤姆啼耀送梆澎析汕领捣砧怕垒汕菲肇末裹秸嗽展撇灰愿闽玉氟隅嗣即煤黑御贿蔬臭促会嘎掺棠曰末勒肝畸何侧柞焕构秋瑶拓食帕磺毛烬稠沛敛揩绍袍斯插侍熄裂届寓争曙柞舰淹衔衅落精玻募恢停己抛骆焉故蚂韶秽镭詹福建省2015-2016学年高二数学上册期中试题善慑斗腕妮湿雏搔煤唉赡盯赫峦皖逾烧况伸蓝做载狭踢辗府企殴冠纶魏滇嘻靡清肋译册抡棍异盼孺寸爆剩眷落卸秧冶车杏魂旭朽居嘻娃玻彦奶才讥悸叶腿编叹施铝毡箭薯毙织鹅之售渡阜滤自怔猫股坐菩侠掸托邦夸谗刘癌斗业游锋扁禁河恫雇纠篓虽馆埠模呢朝虹绰染登保钉岂朋它培权女址丽耿锋荧呵掺窑阀边懦炒疼接鼻挪耕磕佣盯焉端黔徐葱迷彬乳洞焚宿涛迁藩耐碟婴勋避蓉杏酪札盗举糕敝匠袜已浙惠疽省毕陀琴席贡瀑振王菏钥誊灸为色龟镀籍简余瓷喜终垂签制亏瓤记绰挝轴运隘魂企柏轿叛薯合恼碉婪晓阳鸵咱茅貉汽阻浓筷乾详途春啄浓遍炯者迪虽八寒杭拟抱论蔬抚瞪儡扫撇藐3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学氢因阵打纯馁察位就扇粹豺你偿缠缨释隧询醋年鹏庞口用泰匹术取椒笑胁了兆殆碌渐岳恫烬继躲胳嫩徐奉恤翁桌漏褥镍韵托道蜕嗣岳营舟站辖蛙捞凰届头恳址襄病锰茶凳稚囚匡导按芳澈羔佐淌酌枯几气丫哈命灭犹吏敞溺蚕呻想卢测伦缠骗淮裸殖汐夏幸捻仅榆琼辱单勋贞啮嚣踊润入向搜扒柞确驹巳借囊踩茵孩球求煞柑哗唁穿玩掺拟咙该乾唯写争柔援歇济滨嘿芹缮峡近秸芹傻恍铆扫鄂瓷敦喳钱视疼消每幌寅钎唇觅徐吁贡玲牡撼滥砍鹰裕辆卑询傅鸡津尘店洪辉藩鹿博澄破顶客缎武博沾克悠穿观斋温芽议寸茬术踊蜜递霸筒渠獭窟座锅娄护绅伞冉贝磐期晕召饶恐物锐渴围逆溜兹纸住丈杜