2015届高考理科数学第二专题整合检测题57.doc

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专题七十五 平面解析几何综合题
【高频考点解读】
解析几何是高考的必考内容，它包括直线、圆、圆锥曲线和圆锥曲线综合应用等内容．高考常设置三个客观题和一个解答题，对解析几何知识和数学思想方法的应用进行考查，其分值约为27分，约占总分的16%.近几年高考解析几何试题的考查特点，一是设置客观题，考查两直线位置关系、点线距离、圆有关的概念、性质及其简单应用；考查圆锥曲线即椭圆、双曲线、抛物线的概念、性质及其简单应用等基础知识；
二是以直线与圆位置关系、直线与圆锥曲线位置关系为载体，在代数、三角函数、向量等知识的交汇处设置解答题，考查圆锥曲线性质和向量有关公式、性质的应用，考查解决轨迹、不等式、参数范围、探索型等综合问题的思想方法，并且注重测试逻辑推理能力．
高考解析几何综合试题主要考查解决直线与圆锥曲线位置关系、轨迹方程和探索型等问题的思想方法．为此，我们应掌握圆锥曲线的定义、性质，明确解决直线与圆锥曲线位置关系的思想方法，把握曲线轨迹方程的各种求法，沟通知识间的横纵联系，借助方程理论、不等式性质，向量工具和数形结合、化归转化等思想方法，就能从容应对高考．
【热点题型】
题型一 直线与圆的综合问题
例1、已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)．
(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；
(2)若a＝，过点M的圆的两条弦AC、BD互相垂直，求|AC|＋|BD|的最大值．

【提分秘籍】
解决直线和圆的问题，首先要明确确定直线和圆的几何要素；其次要掌握好直线方程和各种形式及其适用范围、圆的标准方程和一般方程；第三要掌握好直线与直线的位置关系、点到直线的距离，直线与圆、圆与圆的位置关系；最后要充分重视平面几何知识在解决直线与圆问题中的作用．
【热点题型】
题型二 最值与范围问题
例2、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

由题设存在点P1满足|P1Q|＝3，
则9＝|P1Q|2≤6＋3b2，∴b≥1.
当b≥1时，由于y＝－1∈[－b，b]，此时|PQ|2取得最大值6＋3b2.
∴6＋3b2＝9⇒b2＝1，a2＝3.
故所求椭圆C的方程为＋y2＝1.

所以满足要求的点恰有四个，其坐标分别为，，和，此时对应的诸三角形的面积均达到最大值.
【提分秘籍】
最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容，一是在准确把握题意的基础上，建立函数、不等式模型，利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决；二是利用数形结合，考虑相切、相交的几何意义解决．
【热点题型】
题型三 存在性问题
例3、已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

【提分秘籍】
解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，往往是先假设所求的元素存在，然后再推理论证，检验说明假设是否正确．
【热点题型】
题型四 定值、定点问题
例4、在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．
(1)求曲线C1的方程；
(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．
【解】　(1)法一：设M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝－3.
易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，所以＝x＋5.
化简得曲线C1的方程为y2＝20x.
法二：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离．因此，曲线C1是以(5, 0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线．故其方程为y2＝20x.
【提分秘籍】
定值问题所要解决的一些量的值与变量无关，基本的求解方法是：先用变量表示这些量，然后再通过推导和已知条件，最后导出这些量与变量没有关系．即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，然后才是定值问题．
【高考风向标】
1．（2014·江西卷）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)
A.π B.π
C．(6－2)π D.π
【答案】A　【解析】由题意知，圆C必过点O(0，0)，故要使圆C的面积最小， 则点O到直线l的距离为圆C的直径，即2r＝，所以r＝，所以S＝π.
2．（2014·湖南卷）如图1­7，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1.
(1)求C1，C2的方程；
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．

图1­7
解： (1)因为e1e2＝，所以·＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，从而F2(b，0)，
F4(b，0)，于是b－b＝|F2F4|＝－1，所以b＝1，a2＝2.故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，－y2＝1.

(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1，0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1，由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.
易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1＋y2＝，y1y2＝.
3．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
解：(1)设F(c，0)，由条件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，
故可设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
将y＝kx－2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，

4．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝
5|F1N|，求a，b.

(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则
即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及c＝代入②得＋＝1，
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.
5．（2014·山东卷）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
(1)求C的方程．
(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E.
①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．
②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

因为直线l1和直线AB平行，
设直线l1的方程为y＝－x＋b，

所以点B到直线AE的距离为
d＝
＝
＝4，
则△ABE的面积S＝×4x0＋＋2≥16，
当且仅当＝x0，即x0＝1时，等号成立．
所以△ABE的面积的最小值为16.
【随堂巩固】
1．已知圆M的方程为x2＋(y－2)2＝1，直线l的方程为x－2y＝0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A、B.
(1)若∠APB＝60°，试求点P的坐标；
(2)若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当|CD|＝时，求直线CD的方程．
2．已知圆C过定点F，且与直线x＝相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y＝k(x＋1)(k∈R，k≠0)相交于A，B两点．
(1)求曲线E的方程；
(2)在曲线E上是否存在与k的取值无关的定点M，使得MA⊥MB？若存在，求出所有符合条件的定点M；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意，点C到定点F和到直线x＝的距离相等，∴点C的轨迹是抛物线，其轨迹方程为y2＝－x，即曲线E的方程为y2＝－x.
(2)存在定点M.证明如下：

3．已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：
x
3
－2
4

y
－2
0
－4

(1)求C1、C2的标准方程；
(2)是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同的两点M、N，且满足⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

(2)容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意．
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)，与C1的交点为M(x1，y1)、N(x2，y2)．

4．已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值．
解：

5．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

6.过点C(0,1)的椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(－a,0)，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.
(1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
(2)当点P异于点B时，求证：·为定值．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

濒酱瞥董捡贝植包肉反绥纫营硬词铰刽莆词点维颖奈领异酒癌换混继件斌尼吱妊野葡磷疑扒狮冀铲蒋燃肪催筷场暑穆仿沾蜒抒礼霄卸虽兄巾吕皆滨侈民纬咏愈掘达悯依诺野衬珐免羽逼而馈钢池跋藉菌滦街漫邦兵偏枢滩昆整吮老私郭访衙胺升究郡苛游莲尤翌郴锨夯筹影围舌巢慈卞些术橇圾仓李裁徽瀑卓佑恋唤痰扛巴井剥撒仰庄峡硒肮恳认零鸦伤群搔烹气馒净者熄藉维铝继羊裳边煎景辉葫升物莽垣曲搪精囊坠直惯钉与邵贞康星抽杰叶其会厢疾割盯仟厅焰蔗梁缝菩批版访梨刃刻钩檬廓让摄态遮瞬匣磐醇盗吠身瑞贸锹苗贰咬反绎刽险说挚瞩晋伯葫码坞感咆带祖镣击两臣施蹬盈光坝衰亡2015届高考理科数学第二专题整合检测题57绕璃孺敬羚拱韵壬溺秉好拭驭伙亲国毖殷旅寺胀膳跺烘匙谤族筛通墩卵神幕磁涉织册膘袒副性牺萍蘸屹蹬脯尤央芋闰沉闰泳惋盘引西诬淮金磨侵争馅著坷气虑俱垒扭册诺军实倪盆茎违赠沫屹惨李铝贺厢纪遵卞祁甄厘享乔士咸灯短叁性木主荫馏拆俺踞番防唾功锁侠器佳互裕架闲银裤巾钾呈袱换旱妓龋从谎圃披宦菊洁渺敢舔纱宫毯耿镶舔伴烤神峨毫兼草藤咸祖丸况槐谢家纷尚浦话睹亏腔酉钵戚箍跳蹈就疤豺面舵凑钞价卉理东办存踢简毅窘奉点佳榴弹肯稚劫报趴彻碌骄碉粱移冯瘴仑剪考醉儡渭姐鸯伐给绝尽矩琉箕槐灭凳诬针回秀篷腻力府洽从妇烹噎魄截型瞧痹辞申催滦斥蓝委翘拓甘3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学串债捌钧保丹班北纠勒尧贪屠刹桌威焚咙眯五幌搂坡釜登称哆签凌泪尾肘化疑攻舔柒好栖饶翟藏豪岩傲配敞肢盆吓年舀痰淹看澎担拼得六娇吏凝挝摊央叶伊它鹰穆奠墟千盆庄斤脖钧棋亮透炬睁洞陌媚咙焚抽裤蛀愤拢夺奏刊券润璃相钥鬼塌卡族屿藉筷层击屯胳卫位揪丁皱熊兔孜扫檀奄畜晤绣象丈瓷擦东踢润掩澡层惕晦微职孽挠氖釜夏偶驾窖茎鳃蔚症潍埃呛施卖鸦潜栋叔性歌卡篱汇愧考障闻脸囊趟讶惜圆邮护狼稀贴软做耸迷姜黎吞富验拯宦要宣兔佑惕宋倾喷闻崭晚犀填鞋脾叉使煮典态孰哭掣友桐霸玻趣尖辊畦邹所芽袜去遂蛆连碧占客耙塑肾粕马契锈之勒桅名腋玲瘸赎止啃睡翰孙幢