四川省遂宁市2015-2016学年高一数学上册期末试题.doc

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2015-2016学年四川省遂宁市高一（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，则a等于（　　）
A．1 B．0 C．﹣2 D．﹣3

2．化简﹣+所得的结果是（　　）
A． B． C．0 D．

3．下列函数中，值域为（0，+∞）的是（　　）
A． B． C． D．y=x2+x+1

4．函数y=ln（x﹣2）的定义域是（　　）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，2） C．（0，2） D．（2，+∞）

5．若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tan的值为（　　）
A．0 B． C．1 D．

6．函数y=x﹣的图象大致为（　　）
A． B． C． D．

7．设是的相反向量，则下列说法错误的是（　　）
A．与的长度必相等 B．∥
C．与一定不相等 D．+=

8．已知函数f（x）=ex﹣x2+8x，则在下列区间中f（x）必有零点的是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）

9．为了得到的图象，只需要将（　　）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，
f（x）=，
则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（　　）
A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1

二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）
11．已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=　　　　　　．

12．已知函数f（x）=2x+2ax+b，且f（1）=，f（2）=，则实数a=　　　　　　．

13．log6[log4（log381]=　　　　　　．

14．已知函数f（x）=，则f（f（））=　　　　　　．

15．对于下列结论：
①函数y=ax+2（x∈R）的图象可以由函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象平移得到；
②函数y=2x与函数y=log2x的图象关于y轴对称；
③方程log5（2x+1）=log5（x2﹣2）的解集为{﹣1，3}；
④函数y=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）为奇函数．
其中正确的结论是　　　　　　（把你认为正确结论的序号都填上）．

三、解答题
16．已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，C={x|x＞a}．
（1）求A∪B；
（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．

17．已知
（1）化简f（α）
（2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．

18．函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）写出f（x）的最值及相应的x的取值构成的集合．

19．已知函数y=f（x），若存在x0，使得f（x0）=x0，则称x0是函数y=f（x）的一个不动点，设二次函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2．
（1）当a=2，b=1时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两具不同的不动点，求实数a的取值范围．

20．已知函数f（x）=b•ax（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于任意的x∈（﹣∞，1]，（）x+（）x﹣m≥0恒成立，求m的取值范围；
（3）若g（x）=，试用定义法证明g（x）在区间[1，+∞）上单调递减．

21．设a为实数，函数f（x）=x2+|x﹣a|+1，x∈R
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的最小值．

2015-2016学年四川省遂宁市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，则a等于（　　）
A．1 B．0 C．﹣2 D．﹣3
【考点】集合关系中的参数取值问题．
【专题】计算题．
【分析】由题设条件A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，根据集合的包含关系知，应有a+3=1，由此解出a的值选出正确选项
【解答】解：∵集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，
∴a+3=1
∴a=﹣2
故选C
【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是由集合之间的关系得出参数所满足的方程或不等式，从而解同参数的取值范围，集合中参数的取值范围问题，是集合知识综合运用题，需要运用集合中的相关知识综合判断，正确转化，考查了推理判断能力及转化的思想

2．化简﹣+所得的结果是（　　）
A． B． C．0 D．
【考点】向量加减混合运算及其几何意义．
【专题】计算题．
【分析】利用向量加法的三角形法则，（+ ）=，代入要求的式子化简．
【解答】解：化简=（+ ）﹣=﹣=，
故选 C．
【点评】本题考查两个向量加法的三角形法则、几何意义，及其应用．

3．下列函数中，值域为（0，+∞）的是（　　）
A． B． C． D．y=x2+x+1
【考点】函数的值域．
【专题】计算题．
【分析】；y=＞0；；，可判断
【解答】解：可得函数的值域[0，+∞），故A不符
由且可得y=＞0，值域（0，+∞），故B合题意
，值域（﹣∞，0）∪（0，+∞），故C不符
，值域[），故D不符
故选B
【点评】本题主要考查了函数值域的求解，要注意一些常见函数值域求解方法的总结积累

4．函数y=ln（x﹣2）的定义域是（　　）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，2） C．（0，2） D．（2，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】要使函数有意义，则需x﹣2＞0，解出即可得到定义域，注意用集合或区间表示．
【解答】解：要使函数有意义，则需x﹣2＞0，
解得，x＞2，
则定义域为（2，+∞）．
故选D．
【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意对数的真数必须大于0，考查运算能力，属于基础题．

5．若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tan的值为（　　）
A．0 B． C．1 D．
【考点】指数函数的图像与性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】先将点代入到解析式中，解出a的值，再根据特殊三角函数值进行解答．
【解答】解：将（a，9）代入到y=3x中，得3a=9，
解得a=2．
∴=．
故选D．
【点评】对于基本初等函数的考查，历年来多数以选择填空的形式出现．在解答这些知识点时，多数要结合着图象，利用数形结合的方式研究，一般的问题往往都可以迎刃而解．

6．函数y=x﹣的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【专题】计算题．
【分析】利用y=x﹣x为奇函数可排除C，D，再利用x＞1时，y=x﹣x＞0再排除一个，即可得答案．
【解答】解：令y=f（x）=x﹣x，
∵f（﹣x）=﹣x+=﹣（x﹣）=﹣f（x），
∴y=f（x）=x﹣x为奇函数，
∴其图象关于原点成中心对称，故可排除C，D；
又x=1时，y=1﹣1=0，
当x＞1时，不妨令x=8，y=8﹣8=6＞0，可排除B，
故选A．
【点评】本题考查函数的图象，着重考查函数的奇偶性与单调性，考查识图能力，属于中档题．

7．设是的相反向量，则下列说法错误的是（　　）
A．与的长度必相等 B．∥
C．与一定不相等 D．+=
【考点】相等向量与相反向量．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据相反向量的定义是大小相等，方向相反的两个向量，对每一个选项进行分析即可．
【解答】解：当是的相反向量时，与的长度相等，即||=||，∴A正确；
=﹣，∴∥，B正确；
当==时，两向量相等，∴C错误；
∵=﹣，∴+=，D正确．
故选：C．
【点评】本题考查了相反向量的概念及其应用问题，是基础题目．

8．已知函数f（x）=ex﹣x2+8x，则在下列区间中f（x）必有零点的是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】构造函数g（x）=ex，h（x）=x2﹣8x，画出图象判断，交点个数，运用特殊函数值判断区间．
【解答】解：∵函数f（x）=ex﹣x2+8x，
令g（x）=ex，h（x）=x2﹣8x，

画出图象判断交点1个数．
∵g（0）=1，h（0）=0，
g（﹣1）=e﹣1，h（﹣1）=9，
∴g（0）＞h（0），g（﹣1）＜h（﹣1），
∴交点在（﹣1，0）内，
即函数f（x）=ex﹣x2+8x，则在下列区间中f（x）必有零点的是（﹣1，0）
故选：B
【点评】本题考查了构造函数，运用图象的交点问题求解有关的函数的零点，画出图象判断，利用特殊函数值判断即可．

9．为了得到的图象，只需要将（　　）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由于把函数的图象向右平移个单位，可得的图象，从而得出结论
【解答】解：∵函数sin2（x+），函数=sin2（x﹣），
故把函数的图象向右平移=个单位，可得y=sin[2（x﹣）+]=的图象，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，左加右减，属于中档题．

10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，
f（x）=，
则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（　　）
A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1
【考点】函数的零点．
【专题】数形结合；函数的性质及应用．
【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标．
作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．
【解答】解：∵当x≥0时，
f（x）=；
即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；
x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；
x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；
画出x≥0时f（x）的图象，
再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；

则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，
最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，
∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），
∴f（﹣x）=（﹣x+1），
又f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），
∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，
解得x=1﹣2a，
∴所有根的和为1﹣2a．
故选：A．
【点评】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．

二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）
11．已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=　﹣2　．
【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】由α∈（﹣，0）sin（α+）=，利用诱导公式可求得cosα，从而可求得sinα与tanα．
【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，
∴cosα=，
又α∈（﹣，0），
∴sinα=﹣，
∴tanα==﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的基本关系，属于中档题．

12．已知函数f（x）=2x+2ax+b，且f（1）=，f（2）=，则实数a=　﹣1　．
【考点】函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由已知得，由此能求出实数a的值．
【解答】解：∵f（x）=2x+2ax+b，且f（1）=，f（2）=，
∴，整理得，
解得a=﹣1，b=0，
∴实数a=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

13．log6[log4（log381]=　0　．
【考点】对数的运算性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用对数的运算性质即可得出．
【解答】解：原式=log6（log44）=log61=0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．

14．已知函数f（x）=，则f（f（））=　﹣2　．
【考点】三角函数的化简求值．
【专题】三角函数的求值．
【分析】利用分段函数求出f（）的值，然后求解即可．
【解答】解：因为，
所以f（）==﹣1，
所以=f（﹣1）=2（﹣1）3=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．

15．对于下列结论：
①函数y=ax+2（x∈R）的图象可以由函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象平移得到；
②函数y=2x与函数y=log2x的图象关于y轴对称；
③方程log5（2x+1）=log5（x2﹣2）的解集为{﹣1，3}；
④函数y=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）为奇函数．
其中正确的结论是　①④　（把你认为正确结论的序号都填上）．
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】①利用图象的平移关系判断．②利用对称的性质判断．③解对数方程可得．④利用函数的奇偶性判断．
【解答】解：①y=ax+2的图象可由y=ax的图象向左平移2个单位得到，①正确；
②y=2x与y=log2x互为反函数，所以的图象关于直线y=x对称，②错误；
③由log5（2x+1）=log5（x2﹣2）得，即，解得x=3．所以③错误；
④设f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），定义域为（﹣1，1），关于原点对称，f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x）
所以f（x）是奇函数，④正确，故正确的结论是①④．
故答案为：①④
【点评】本题考查函数的性质与应用．正确理解概念是解决问题的关键．

三、解答题
16．已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，C={x|x＞a}．
（1）求A∪B；
（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】（1）根据并集运算即可求A∪B；
（2）若A∩C≠∅，根据集合关系即可求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，
∴A∪B={x|1＜x≤8}；
（2）∵A={x|2≤x≤8}，C={x|x＞a}，
∴若A∩C≠∅，则a＜8，
即a的取值范围是（﹣∞，8）．
【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，比较基础．

17．已知
（1）化简f（α）
（2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用诱导公式化简f（α ）的结果为cosα．
（2）利用诱导公式求出sinα，再由同角三角函数的基本关系求出cosα，从而得到f（α）的值．
【解答】解：（1）==cosα．
（2）∵，∴，
又∵α为第三象限角，∴，∴．
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，化简f（α ）是解题的突破口．

18．函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）写出f（x）的最值及相应的x的取值构成的集合．

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（1）利用图象的最低点确定A的值，利用周期确定ω，再根据图象过点（，0），确定φ的值，即可求函数f（x）的解析式；
（2）由2x+=2k，k∈Z，2x+=2kπ，k∈Z，即可解得f（x）的最值及相应的x的取值构成的集合．
【解答】解：（1）由题意，函数的最小值为﹣1，∴A=1，
∵T=4×（π﹣）=π，
∴ω=2，
∴f（x）=sin（2x+φ），
∵图象过点（，0），
∴sin（2×+φ）=0，
∵|φ|＜，∴φ=
∴f（x）=sin（2x+）；
（2）当2x+=2k，k∈Z，即有x∈{x|x=k，k∈Z}时，f（x）max=1；
当2x+=2kπ，k∈Z，即有x∈{x|x=kπ+，k∈Z}时，f（x）min=﹣1．
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基础题．

19．已知函数y=f（x），若存在x0，使得f（x0）=x0，则称x0是函数y=f（x）的一个不动点，设二次函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2．
（1）当a=2，b=1时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两具不同的不动点，求实数a的取值范围．
【考点】函数恒成立问题．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）当a=2，b=1时，解方程f（x0）=x0，即可求函数f（x）的不动点；
（2）根据函数f（x）恒有两具不同的不动点，转化为二次函数和判别式之间的关系，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=2，b=1时，f（x）=2x2+2x﹣1，
设x为其不动点，
即2x2+2x﹣1=x，
则2x2+x﹣1=0，
解得，
即f（x）的不动点为．
（2）由f（x）=x得a x2+bx+b﹣2=0，
关于x的方程有相异实根，则 b2﹣4a（b﹣2）＞0，
即 b2﹣4ab+8a＞0，
又对所有的b∈R，b2﹣4ab+8a＞0恒成立
故有（4a）2﹣4•8a＜0，
得0＜a＜2
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，正确理解不动点的定义是解决本题的关键．

20．已知函数f（x）=b•ax（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于任意的x∈（﹣∞，1]，（）x+（）x﹣m≥0恒成立，求m的取值范围；
（3）若g（x）=，试用定义法证明g（x）在区间[1，+∞）上单调递减．
【考点】指数函数综合题．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】（1）运用代入法，解方程组，即可得到a，b，进而得到f（x）的解析式；
（2）不等式化为m≤（）x+（）x在x≤1恒成立，运用指数函数的单调性求得右边的最小值即可；
（3）运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤．
【解答】（1）解：由题意可得，
解得a=2，b=3．
即有f（x）=3•2x；
（2）解：对于任意的x∈（﹣∞，1]，（）x+（）x﹣m≥0恒成立，
即为对于任意的x∈（﹣∞，1]，（）x+（）x﹣m≥0恒成立．
即有m≤（）x+（）x在x≤1恒成立，
由于y=（）x+（）x在x≤1递减，即有y≥+=，
即y的最小值为，
则m≤．
即有m的取值范围是（﹣∞，]；
（3）证明：g（x）===，
设m＞n≥1，则g（m）﹣g（n）=﹣
=，
由m＞n≥1，则m﹣n＞0，mn＞1，1﹣mn＜0，1+m2＞0，1+n2＞0，
则g（m）﹣g（n）＜0，即g（m）＜g（n）．
则g（x）在区间[1，+∞）上单调递减．
【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查不等式恒成立问题注意转化为求函数最值，考查定义法证明函数的单调性的方法，考查运算能力，属于中档题．

21．设a为实数，函数f（x）=x2+|x﹣a|+1，x∈R
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的最小值．
【考点】函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义．
【专题】压轴题．
【分析】第一问考查函数的奇偶性，用特殊值法判断函数及不是奇函数又不是偶函数；第二问是求最值的题目，先判断函数的单调性再求最值．
【解答】解：（1）当a=0时，函数f（﹣x）=（﹣x）2+|﹣x|+1=f（x）
此时，f（x）为偶函数
当a≠0时，f（a）=a2+1，f（﹣a）=a2+2|a|+1，f（a）≠f（﹣a），f（a）≠﹣f（﹣a）
此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数
（2）①当x≤a时，
当，则函数f（x）在（﹣∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为f（a）=a2+1．
若，则函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为，且．
②当x≥a时，函数
若，则函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为；
若，则函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）=a2+1．
综上，当时，函数f（x）的最小值为
当时，函数f（x）的最小值为a2+1
当时，函数f（x）的最小值为．
【点评】本题为函数的最值和奇偶性的考查；是高考常考的知识点之一；而求最值时需要注意的是先判断函数的单调性．

2016年2月4日

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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